1. 用一条长为40cm的绳子围成一个面积为$a cm^2$的长方形,a的值不可能为( )

A.20
B.40
C.100
D.120

D.

设长方形的长为$x$cm，则宽为$\frac{40 - 2x}{2}=(20 - x)$cm。
面积$a = x(20 - x)= -x^2 + 20x$。
对于二次函数$y = -x^2 + 20x$，其对称轴为$x = -\frac{20}{2×(-1)} = 10$。
当$x = 10$时，$a$取得最大值，$a_{max}= -10^2 + 20×10 = 100$。
因为$120＞100$，所以$a$的值不可能为120。
D.

2. 已知△ABC中,∠A= 30°,AB+AC= 7,设AB= x,△ABC的面积为y,则y关于x的函数关系式为____.

$y=-\frac{1}{4}x^{2}+\frac{7}{4}x(0＜x＜7)$.

3. 如图,利用135°的墙角修建一个梯形的储料场(梯形ABCD),并使∠C= 90°.如果新建墙BCD总长15m,那么怎样修建才能使储料场的面积最大?

设$CD=x$,则$BC=15-x,AD=15-2x,S_{梯形ABCD}=\frac{1}{2}(30-3x)x=-\frac{3}{2}(x-5)^{2}+\frac{75}{2}$.当$CD=5$时,储料场的面积最大.

解：设$CD=x\ m$，则$BC=15 - x\ m$。
过点$A$作$AE \perp BC$于点$E$，则$AE=CD=x\ m$，$EC=AD$。
因为墙角$\angle BAD=135°$，所以$\angle BAE=45°$，故$BE=AE=x\ m$，则$AD=BC - BE=15 - x - x=15 - 2x\ m$。
梯形$ABCD$的面积$S=\frac{1}{2}(AD + BC)\cdot CD=\frac{1}{2}[(15 - 2x)+(15 - x)]\cdot x=\frac{1}{2}(30 - 3x)x=-\frac{3}{2}x^2 + 15x$。
配方得$S=-\frac{3}{2}(x - 5)^2 + \frac{75}{2}$。
当$x=5$时，$S$取得最大值。
答：当$CD=5\ m$，$BC=10\ m$，$AD=5\ m$时，储料场面积最大。

4. 【综合与实践】
项目主题：劳动基地扩建方案.
项目背景：学校计划扩建某劳动基地,综合实践活动小组以设计“劳动基地扩建方案”为主题开展了一次项目学习.
信息获取：
信息1,如图,原劳动基地为矩形,AB的长为25m,BC的长为45m；
信息2,如图,扩建后新劳动基地仍为矩形,BE的最大长度为32m,BG的最大长度为52m.
问题解决：
(1) 设该劳动基地两边增加相同的宽度x m,请直接写出新劳动基地的面积$y(m^2)$与x(m)的函数解析式.
(2) 在(1)的条件下,当新劳动基地的面积为$1500m^2$时,求BG和BE的长.
(3) 当CG= 3AE时,新劳动基地的面积可以为$1800m^2$吗? 请说明理由.

（1）$y=x^{2}+70x+1125$；（2）$BE=30\ m,BG=50\ m$；（3）不可以,理由:假设扩建后的劳动基地的面积可以为$1800\ m^{2}$,设$AE=a\ m$,则$CG=3a\ m$,根据扩建后的劳动基地的面积为$1800\ m^{2}$,可列出关于$a$的一元二次方程,解之可得出$a=5$,将其代入$45+3a$中,可求出$45+3a=60$,由该值大于52,即可得出假设不成立,即当$CG=3AE$时,扩建后的劳动基地的面积不能为$1800\ m^{2}$.

（1）由题意得，新劳动基地的长为$(45+x)\ m$，宽为$(25+x)\ m$，则面积$y=(45+x)(25+x)=x^{2}+70x+1125$。
（2）当$y=1500$时，$x^{2}+70x+1125=1500$，即$x^{2}+70x - 375=0$，解得$x_{1}=5$，$x_{2}=-75$（舍去）。则$BE=25 + x=25 + 5=30\ m$，$BG=45 + x=45 + 5=50\ m$。
（3）不可以。设$AE=a\ m$，则$CG=3a\ m$，新劳动基地的长为$(45 + 3a)\ m$，宽为$(25 + a)\ m$，面积为$(45 + 3a)(25 + a)=1800$，整理得$a^{2}+40a - 175=0$，解得$a_{1}=5$，$a_{2}=-35$（舍去）。此时$BG=45 + 3a=45 + 15=60\ m$，因为$60＞52$，所以不能。

某建筑的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形.制造窗框的材料总长为15m(图中所有线条长度之和),当x等于多少时,窗户通过的光线最多? 此时,窗户的面积S是多少? (结果精确到0.01m)

由题意可知,$4y+\frac{1}{2}×2\pi x+7x=15$,化简得$y=\frac{15-7x-\pi x}{4}$,$S=\frac{1}{2}\pi x^{2}+2xy=-\frac{7}{2}x^{2}+\frac{15}{2}x$,当$x=\frac{15}{14}\approx1.07$时,$S_{最大值}=\frac{225}{56}\approx4.02$.

由题意可知，$4y+\frac{1}{2} × 2\pi x + 7x = 15$，化简得$y=\frac{15 - 7x - \pi x}{4}$。
窗户面积$S=\frac{1}{2}\pi x^2 + 2xy$，将$y=\frac{15 - 7x - \pi x}{4}$代入得：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}\pi x^2 + 2x × \frac{15 - 7x - \pi x}{4}\\&=\frac{1}{2}\pi x^2 + \frac{x(15 - 7x - \pi x)}{2}\\&=\frac{1}{2}\pi x^2 + \frac{15x}{2} - \frac{7x^2}{2} - \frac{\pi x^2}{2}\\&=-\frac{7}{2}x^2 + \frac{15}{2}x\end{aligned}$
对于二次函数$S=-\frac{7}{2}x^2 + \frac{15}{2}x$，$a=-\frac{7}{2}＜0$，当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{\frac{15}{2}}{2 × (-\frac{7}{2})}=\frac{15}{14}\approx1.07$时，$S$取得最大值。
此时$S_{最大值}=\frac{4ac - b^2}{4a}=\frac{0 - (\frac{15}{2})^2}{4 × (-\frac{7}{2})}=\frac{-\frac{225}{4}}{-14}=\frac{225}{56}\approx4.02$。
当$x\approx1.07\ m$时，窗户通过的光线最多，此时窗户面积$S\approx4.02\ m^2$。