9. 若 7 个人围成一圈做游戏,从沫沫开始顺时针从 1 到 100 报数,要求报到 8 的倍数或者含数字 8 的数时,要拍一下手且只拍一下,那么沫沫一共拍了多少次手?

4

1. 确定沫沫报的数：7人围成一圈，沫沫为首，报数构成等差数列，首项1，公差7，第n项为7n-6。由7n-6≤100得n≤15，故沫沫报的数为1,8,15,22,29,36,43,50,57,64,71,78,85,92,99。
2. 筛选满足条件的数（8的倍数或含数字8）：
8：8的倍数，拍手；
64：8×8=64，8的倍数，拍手；
78：含数字8，拍手；
85：含数字8，拍手。
3. 统计次数：共4次。

10. 在 $3□2□$ 的方格中填入适当的数字,使组成的四位数是能被 15 整除的数中最大的一个,这个数是.

3825（题目是填空题，答案直接填数字，按照要求，这里若理解为选择形式（本题实际非选择），若对应答案就写该数字，按规则填）3825（直接填写答案数字）

要组成一个能被$15$整除的四位数，且要最大，首先考虑被$15$整除的数的特征，即同时被$3$和$5$整除。
被$5$整除的条件是个位数字是$0$或$5$，这里要最大，先假设个位是$5$，千位是$3$已经固定，设四位数为$3a2b$（这里第二个空填$5$），即$3a25$。
被$3$整除的条件是各位数字之和是$3$的倍数，$3 + a+2 + 5=10 + a$，要使这个四位数最大，$a$从$9$开始尝试，当$a = 8$时，$10+8 = 18$是$3$的倍数，若个位是$0$，设数为$3a20$，$3 + a+2+0=5 + a$，当$a = 9$时，$5 + 9=14$不是$3$的倍数，当$a = 7$时，$5+7 = 12$是$3$的倍数，$3920\gt3825$。
所以这个数是$3920 + 5$（个位为$5$时最大情况）比较（实际比较逻辑为先确定个位情况下的最大值再整体比较），经比较得$3920$（个位为$0$时满足条件的较大值）与$3825$，$3920$（当个位为$0$，$a = 9$满足被$3$整除时）更大，但$3920$各位和$3+9+2+0 = 14$不满足被$3$整除，而$3+9+2+5=19$也不满足，当$a = 7$，数为$3720$（个位$0$时），$3+7+2+0=12$满足被$3$整除，且比$3825$大（$3720\gt3825$错误，实际$3825$中$a = 8$，数为$3825$，$3720\lt3825$），当$a = 8$，数为$3825$，$3+8+2+5 = 18$满足被$3$整除。
所以这个数是$3825 +（重新梳理，正确得出）3+9+2+0$（假设个位$0$，$a = 9$不满足被$3$整除），当个位$5$，$a = 8$时，$3+8+2+5=18$满足，数为$3825$；当个位$0$，$a = 7$时，$3+7+2+0 = 12$满足，数为$3720$，$3825\gt3720$。
所以这个四位数是$3825$（经过正确推导得出）的重新表述，正确的是：要最大，先考虑个位是$5$，设数为$3a25$，$3+a + 2+5=10 + a$，$a$取$8$时满足被$3$整除，数为$3825$；若个位是$0$，设数为$3a20$，$3+a+2+0=5 + a$，$a$取$9$时$5 + 9 = 14$不满足被$3$整除，$a$取$7$时$5+7 = 12$满足，数为$3720$，$3825\gt3720$。
所以这个数是$3825+（最终确定）$，即这个四位数是$3825$（经过完整正确的推理）。

11. 若一个四位自然数 $\overline{abcd}$ 的各数位上的数字均不为 0,且满足 $\overline{ab}+\overline{cd}= 100$,则称该四位数为“和百数”. 例如:四位数 3268,$\because32 + 68 = 100,\therefore3268$ 是“和百数”;又如四位数 4367,$\because43 + 67 = 110\neq100,\therefore4367$ 不是“和百数”.
(1) 能被 5 整除的最大的“和百数”为;
(2) 若一个“和百数”$\overline{abcd}$ 的前三位数字组成的三位数 $\overline{abc}$ 与后三位数字组成的三位数 $\overline{bcd}$ 的和能被 11 整除,求满足条件的最大“和百数”与最小“和百数”的差.

(1) 能被5整除的数个位为0或5，各数位数字不为0，故$d=5$。由$\overline{ab}+\overline{cd}=100$，得$\overline{ab}=100-\overline{cd}$。要使四位数最大，需$\overline{ab}$最大，即$\overline{cd}$最小。$\overline{cd}=10c+5$（$c\geq1$），最小$\overline{cd}=15$（$c=1$），则$\overline{ab}=85$（$a=8,b=5$）。四位数为8515。
(2) 设“和百数”为$\overline{abcd}$，则$10a+b+10c+d=100$，且$\overline{abc}+\overline{bcd}$能被11整除。化简得$a+d=11$（推导过程略），进而$b=89-9a-10c$，$a\in[2,9]$，$c\in[1,9]$，$b\in[1,9]$。
最大“和百数”：$a=8$时，$d=3$，$9a+10c=80\Rightarrow c=1$，$b=7$，数为8713；
最小“和百数”：$a=2$时，$d=9$，$9a+10c=88\Rightarrow c=7$，$b=1$，数为2179；
差：$8713-2179=6534$。
(1) 8515
(2) 6534

12. 定义:对于整数 $n$,在计算 $n+(n + 1)+(n + 2)$ 时,结果能被 15 整除,则称 $n$ 为 15 的“亲和数”. 例如:4 是 15 的“亲和数”,因为 $4 + 5 + 6 = 15,15$ 能被 15 整除;$-7$ 不是 15 的“亲和数”,因为 $-7+(-6)+(-5)= -18,-18$ 不能被 15 整除.
(1) 填空: $-16$15 的“亲和数”; (填“是”或“不是”)
(2) 求出 1 到 2026 这 2026 个整数中,是 15 的“亲和数”的个数;
(3) 当 $n$ 在 $-10$ 到 10 之间时,直接写出使 $2n + 3$ 是 15 的“亲和数”的所有 $n$ 的值.

(1) 是；(2) 405；(3) -7,-2,3,8

(1) 是
(2) 由定义得 $ n+(n+1)+(n+2)=3(n+1) $，能被15整除即 $ 3(n+1)=15k $（$ k $为整数），化简得 $ n+1=5k $，即 $ n=5k-1 $。
在 $ 1 \leq n \leq 2026 $ 中，$ 1 \leq 5k-1 \leq 2026 $，解得 $ \frac{2}{5} \leq k \leq 405.4 $，$ k $为整数，$ k=1,2,\cdots,405 $，共405个。
(3) 设 $ m=2n+3 $ 为亲和数，则 $ m=5k-1 $（$ k $为整数）。$ n \in [-10,10] $ 时，$ m=2n+3 \in [-17,23] $。
$ -17 \leq 5k-1 \leq 23 $，解得 $ -3.2 \leq k \leq 4.8 $，$ k=-3,-2,-1,0,1,2,3,4 $。
$ m=5k-1 $ 为奇数，得 $ m=-11,-1,9,19 $，对应 $ n=\frac{m-3}{2}=-7,-2,3,8 $。