登录
1. 如图,一只蚂蚁从圆柱体的下底面点A处沿着侧面爬到上底面点B处,已知圆柱的底面周长为12cm,高为8cm,则蚂蚁爬行的最短路程是(
A.6cm
B.8cm
C.10cm
D.12cm
C
)A.6cm
B.8cm
C.10cm
D.12cm
答案
C
解析
将圆柱体侧面展开，得到一个长方形，长方形的长为底面周长$12cm$，宽为圆柱的高$8cm$。
点$A$和点$B$在展开图上的位置为：点$A$在长方形的左下角，点$B$在长方形上边右侧，且$B$点距离右边的距离等于$A$点初始位置到左侧的距离（因为圆柱体上下底面相对位置一致），设为在长方形上边右侧距离右边缘一定位置处。
此时$AB$的横向距离为底面周长的一半，即$12÷2 = 6cm$（因为蚂蚁从$A$点到$B$点沿侧面爬行，在展开图中$A$、$B$横向最短距离为底面周长的一半），纵向距离为圆柱的高$8cm$。
根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$（其中$a = 6cm$，$b = 8cm$），可得蚂蚁爬行的最短路程$c=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36 + 64}=\sqrt{100}=10cm$。
点$A$和点$B$在展开图上的位置为：点$A$在长方形的左下角，点$B$在长方形上边右侧，且$B$点距离右边的距离等于$A$点初始位置到左侧的距离（因为圆柱体上下底面相对位置一致），设为在长方形上边右侧距离右边缘一定位置处。
此时$AB$的横向距离为底面周长的一半，即$12÷2 = 6cm$（因为蚂蚁从$A$点到$B$点沿侧面爬行，在展开图中$A$、$B$横向最短距离为底面周长的一半），纵向距离为圆柱的高$8cm$。
根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$（其中$a = 6cm$，$b = 8cm$），可得蚂蚁爬行的最短路程$c=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36 + 64}=\sqrt{100}=10cm$。
2. 如图,一只蚂蚁沿正方体侧面从顶点C爬到顶点B,现将正方体侧面沿AC剪开,在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线,正确的是(
A
)答案
A
解析
将正方体侧面沿AC剪开后，侧面展开为平面图形。根据两点之间线段最短，蚂蚁从C到B的最短路线为展开图中连接C、B两点的线段。选项D为曲线，排除；B、C非直接连接两点的线段，A为连接C、B的线段。
3. 某校“灯谜节”的奖品是一个底面为等边三角形的灯笼(如图),在灯笼的侧面上,从顶点A到顶点A'缠绕一圈彩带.已知此灯笼的高为50cm,底面边长为40cm,则这圈彩带的长度至少为(
A.50cm
B.120cm
C.130cm
D.150cm
C
)A.50cm
B.120cm
C.130cm
D.150cm
答案
C
解析
将灯笼的侧面展开，得到一个矩形，其高为灯笼的高$50cm$，宽为底面等边三角形的周长，即$3 × 40 = 120cm$。
彩带从顶点$A$到顶点$A'$的最短路径为展开后矩形的对角线，利用勾股定理计算对角线的长度：
$\sqrt{50^2 + 120^2} = \sqrt{2500 + 14400} = \sqrt{16900} = 130cm$。
故本题答案为$C$选项。
彩带从顶点$A$到顶点$A'$的最短路径为展开后矩形的对角线，利用勾股定理计算对角线的长度：
$\sqrt{50^2 + 120^2} = \sqrt{2500 + 14400} = \sqrt{16900} = 130cm$。
故本题答案为$C$选项。
4. 如图,有一个圆柱,底面周长为16cm,高BC = 12cm,P为BC的中点,一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬到点P的最短路程为
10
cm.答案
10
解析
将圆柱侧面沿母线BC展开为长方形，底面周长16cm为长方形长，圆柱高12cm为长方形宽。P为BC中点，故BP=6cm。A在下底面圆周上，展开后A与B的水平距离为底面周长一半8cm（两点间最短路径取半周长）。在展开图中，A到P的水平距离8cm，垂直距离6cm，由勾股定理得AP=√(8²+6²)=10cm。
5. 如图是一个二级台阶的示意图,每一级台阶的高是20cm,长是50cm,宽是40cm,一只蚂蚁沿台阶从点A出发爬到点B,其爬行的最短路线的长度是
130
cm.答案
130
解析
将台阶表面展开为平面图形，展开后长方形的长为台阶的长50cm，宽为两级台阶的总高度与总宽度之和，即$2×20 + 2×40 = 40 + 80 = 120cm$。根据勾股定理，最短路线长度为$\sqrt{50^2 + 120^2} = \sqrt{2500 + 14400} = \sqrt{16900} = 130cm$。
6. 如图,圆柱的底面半径为$\frac{5}{2\pi}$cm,高为36cm,点A,B分别是圆柱两底面圆周上的点,且点A,B在同一高线上,用一根棉线从点A顺着圆柱侧面绕3圈到点B,则这根棉线的长度最短为
39
cm.答案
39
解析
圆柱底面周长为$C = 2\pi r = 2\pi × \frac{5}{2\pi} = 5\,cm$。棉线绕3圈，将圆柱侧面展开，水平方向总长度为$3C = 3 × 5 = 15\,cm$，垂直方向长度为圆柱高$36\,cm$。最短棉线长为直角三角形斜边，两直角边分别为15 cm和36 cm，由勾股定理得$\sqrt{15^2 + 36^2} = \sqrt{225 + 1296} = \sqrt{1521} = 39\,cm$。
7. 如图,长方体的底面边长分别为2cm和4cm,高为5cm.若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q,则蚂蚁爬行的最短路程为多少？画出侧面展开图,并解答.
答案
侧面展开图（有多种展开方式，以下以一种为例）：
将长方体四个侧面展开成一个长方形，长方形的长为$2×(2 + 4)=12cm$，宽为$5cm$。
根据两点之间线段最短，$P$、$Q$两点在展开图上的最短距离即为直角三角形的斜边。
根据勾股定理，斜边$d=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=\sqrt{144 + 25}=\sqrt{169}=13cm$。
所以蚂蚁爬行的最短路程为$13cm$。
将长方体四个侧面展开成一个长方形，长方形的长为$2×(2 + 4)=12cm$，宽为$5cm$。
根据两点之间线段最短，$P$、$Q$两点在展开图上的最短距离即为直角三角形的斜边。
根据勾股定理，斜边$d=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=\sqrt{144 + 25}=\sqrt{169}=13cm$。
所以蚂蚁爬行的最短路程为$13cm$。
8. 如图,一圆柱高15cm,底面半径为$\frac{20}{\pi}$cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程是多少？
答案
1. 圆柱底面周长：$ C = 2\pi r = 2\pi × \frac{20}{\pi} = 40 \, cm $。
2. 将圆柱侧面展开为矩形，矩形长为底面周长40 cm，宽为圆柱高15 cm。
3. 蚂蚁爬行最短路程为展开图中A、B两点连线的长度，此时A、B水平距离为底面周长一半$ \frac{40}{2} = 20 \, cm $，垂直距离为圆柱高15 cm。
4. 由勾股定理：$ 最短路程 = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25 \, cm $。
25 cm
2. 将圆柱侧面展开为矩形，矩形长为底面周长40 cm，宽为圆柱高15 cm。
3. 蚂蚁爬行最短路程为展开图中A、B两点连线的长度，此时A、B水平距离为底面周长一半$ \frac{40}{2} = 20 \, cm $，垂直距离为圆柱高15 cm。
4. 由勾股定理：$ 最短路程 = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25 \, cm $。
25 cm
