登录
1. 下列二次根式中,为最简二次根式的是(
A.$\sqrt{1.2}$
B.$\sqrt{18}$
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
C
)A.$\sqrt{1.2}$
B.$\sqrt{18}$
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
答案
C
解析
A. 对于 $\sqrt{1.2}$，可以将其转化为分数形式：$\sqrt{\frac{6}{5}}$。
由于被开方数含有分母，所以不是最简二次根式。
B. 对于 $\sqrt{18}$，可以将其分解为：$\sqrt{9 × 2} = 3\sqrt{2}$。
由于被开方数含有能开尽方的因数9，所以不是最简二次根式。
C. 对于 $\sqrt{2}$，其被开方数不含分母，也没有能开尽方的因数或因式，所以是最简二次根式。
D. 对于 $\sqrt{\frac{1}{3}}$，其被开方数含有分母，所以不是最简二次根式。
由于被开方数含有分母，所以不是最简二次根式。
B. 对于 $\sqrt{18}$，可以将其分解为：$\sqrt{9 × 2} = 3\sqrt{2}$。
由于被开方数含有能开尽方的因数9，所以不是最简二次根式。
C. 对于 $\sqrt{2}$，其被开方数不含分母，也没有能开尽方的因数或因式，所以是最简二次根式。
D. 对于 $\sqrt{\frac{1}{3}}$，其被开方数含有分母，所以不是最简二次根式。
2. 化简$\sqrt{\dfrac{5}{12}}$的结果是(
A.$\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{15}}{6}$
C.$\dfrac{\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}$
D.$\dfrac{\sqrt{5}}{6}$
B
)A.$\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{15}}{6}$
C.$\dfrac{\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}$
D.$\dfrac{\sqrt{5}}{6}$
答案
B
解析
原式为$\sqrt{\dfrac{5}{12}}$，可拆分为$\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{12}}$。
将分母$\sqrt{12}$化简为$\sqrt{4 × 3} = 2\sqrt{3}$，即$\dfrac{\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}$。
分子分母同乘$\sqrt{3}$，得$\dfrac{\sqrt{5} × \sqrt{3}}{2 × 3} = \dfrac{\sqrt{15}}{6}$。
3. 若$\sqrt{(1 - m)^{2}} = m - 1$,则$m$的取值范围是(
A.$m\geqslant1$
B.$m\leqslant1$
C.$m = 1$
D.一切实数
A
)A.$m\geqslant1$
B.$m\leqslant1$
C.$m = 1$
D.一切实数
答案
A
解析
根据二次根式的性质，$\sqrt{(1 - m)^{2}} = |1 - m|$，
已知$\sqrt{(1 - m)^{2}} = m - 1$，所以$|1 - m| = m - 1$，
根据绝对值的定义，若$|1 - m| = m - 1$，则$1 - m \leq 0$，
解得$m \geq 1$。
已知$\sqrt{(1 - m)^{2}} = m - 1$，所以$|1 - m| = m - 1$，
根据绝对值的定义，若$|1 - m| = m - 1$，则$1 - m \leq 0$，
解得$m \geq 1$。
4. 化简：$\sqrt{\dfrac{32}{9}} = $
$\dfrac{4\sqrt{2}}{3}$
；$\sqrt{\dfrac{8}{3}} = $$\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$
。答案
$\dfrac{4\sqrt{2}}{3}$；$\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$
解析
1. 对于$\sqrt{\dfrac{32}{9}}$，根据二次根式的性质$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a\geqslant0,b ＞ 0$），可得$\sqrt{\dfrac{32}{9}}=\dfrac{\sqrt{32}}{\sqrt{9}}$。
化简$\sqrt{32}=\sqrt{16×2}=4\sqrt{2}$，$\sqrt{9} = 3$，所以$\sqrt{\dfrac{32}{9}}=\dfrac{4\sqrt{2}}{3}$。
2. 对于$\sqrt{\dfrac{8}{3}}$，同样根据$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a\geqslant0,b ＞ 0$），可得$\sqrt{\dfrac{8}{3}}=\dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}$。
化简$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，则$\dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$。
为了将分母有理化，给分子分母同时乘以$\sqrt{3}$，得到$\dfrac{2\sqrt{2}×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$。
化简$\sqrt{32}=\sqrt{16×2}=4\sqrt{2}$，$\sqrt{9} = 3$，所以$\sqrt{\dfrac{32}{9}}=\dfrac{4\sqrt{2}}{3}$。
2. 对于$\sqrt{\dfrac{8}{3}}$，同样根据$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a\geqslant0,b ＞ 0$），可得$\sqrt{\dfrac{8}{3}}=\dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}$。
化简$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，则$\dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$。
为了将分母有理化，给分子分母同时乘以$\sqrt{3}$，得到$\dfrac{2\sqrt{2}×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$。
5. 化简：$\sqrt{4\dfrac{4}{9}} = $
$\frac{2\sqrt{10}}{3}$
；$5\sqrt{\dfrac{1}{5}} = $$\sqrt{5}$
。答案
$\frac{2\sqrt{10}}{3}$；$\sqrt{5}$
解析
1. 对于$\sqrt{4\frac{4}{9}}$，先将混合数化为假分数：$4\frac{4}{9}=\frac{4×9 + 4}{9}=\frac{40}{9}$，
则$\sqrt{4\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{40}{9}}=\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{9}}=\frac{\sqrt{4×10}}{3}=\frac{2\sqrt{10}}{3}$。
2. 对于$5\sqrt{\frac{1}{5}}$，根据二次根式的性质$a\sqrt{\frac{b}{c}}=\sqrt{a^{2}×\frac{b}{c}}(a\geq0)$，
可得$5\sqrt{\frac{1}{5}}=\sqrt{5^{2}×\frac{1}{5}}=\sqrt{5}$。
则$\sqrt{4\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{40}{9}}=\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{9}}=\frac{\sqrt{4×10}}{3}=\frac{2\sqrt{10}}{3}$。
2. 对于$5\sqrt{\frac{1}{5}}$，根据二次根式的性质$a\sqrt{\frac{b}{c}}=\sqrt{a^{2}×\frac{b}{c}}(a\geq0)$，
可得$5\sqrt{\frac{1}{5}}=\sqrt{5^{2}×\frac{1}{5}}=\sqrt{5}$。
6. 若二次根式$\sqrt{3a + 5}$是最简二次根式,则正整数$a$的最小值为
2
。答案
$2$
解析
最简二次根式$\sqrt{3a + 5}$需要满足被开方数$3a + 5$不含能开方的因数，且$3a + 5 ＞ 0$（因为根式有意义）。
由于$a$是正整数，从$a=1$开始尝试：
当$a=1$时，$3a + 5 = 3× 1+ 5 = 8$，$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$，不是最简二次根式。
当$a=2$时，$3a + 5 = 3× 2+ 5 = 11$，$\sqrt{11}$是最简二次根式。
所以正整数$a$的最小值为$2$。
由于$a$是正整数，从$a=1$开始尝试：
当$a=1$时，$3a + 5 = 3× 1+ 5 = 8$，$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$，不是最简二次根式。
当$a=2$时，$3a + 5 = 3× 2+ 5 = 11$，$\sqrt{11}$是最简二次根式。
所以正整数$a$的最小值为$2$。
7. 化简：
(1) $\sqrt{\dfrac{4}{9}}$；
(2) $\sqrt{\dfrac{125}{36}}$；
(3) $\sqrt{1\dfrac{1}{49}}$；
(4) $\sqrt{\dfrac{27}{16}}$；
(5) $\sqrt{\dfrac{5}{8}}$；
(6) $\sqrt{\dfrac{1}{27}}$；
(7) $\sqrt{1.4}$；
(8) $\sqrt{\dfrac{-3}{-5}}$。
(1) $\sqrt{\dfrac{4}{9}}$；
(2) $\sqrt{\dfrac{125}{36}}$；
(3) $\sqrt{1\dfrac{1}{49}}$；
(4) $\sqrt{\dfrac{27}{16}}$；
(5) $\sqrt{\dfrac{5}{8}}$；
(6) $\sqrt{\dfrac{1}{27}}$；
(7) $\sqrt{1.4}$；
(8) $\sqrt{\dfrac{-3}{-5}}$。
答案
(1)
$\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\dfrac{2}{3}$
(2)
$\sqrt{\dfrac{125}{36}}=\dfrac{\sqrt{125}}{\sqrt{36}}=\dfrac{\sqrt{25×5}}{6}=\dfrac{5\sqrt{5}}{6}$
(3)
$\sqrt{1\dfrac{1}{49}}=\sqrt{\dfrac{50}{49}}=\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{49}}=\dfrac{\sqrt{25×2}}{7}=\dfrac{5\sqrt{2}}{7}$
(4)
$\sqrt{\dfrac{27}{16}}=\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{16}}=\dfrac{\sqrt{9×3}}{4}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$
(5)
$\sqrt{\dfrac{5}{8}}=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{8}}=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{4×2}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{5}×\sqrt{2}}{2\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{10}}{4}$
(6)
$\sqrt{\dfrac{1}{27}}=\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{27}}=\dfrac{1}{\sqrt{9×3}}=\dfrac{1}{3\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3×3}=\dfrac{\sqrt{3}}{9}$
(7)
$\sqrt{1.4}=\sqrt{\dfrac{14}{10}}=\sqrt{\dfrac{7}{5}}=\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{7}×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{35}}{5}$
(8)
$\sqrt{\dfrac{-3}{-5}}=\sqrt{\dfrac{3}{5}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{3}×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{15}}{5}$
$\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\dfrac{2}{3}$
(2)
$\sqrt{\dfrac{125}{36}}=\dfrac{\sqrt{125}}{\sqrt{36}}=\dfrac{\sqrt{25×5}}{6}=\dfrac{5\sqrt{5}}{6}$
(3)
$\sqrt{1\dfrac{1}{49}}=\sqrt{\dfrac{50}{49}}=\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{49}}=\dfrac{\sqrt{25×2}}{7}=\dfrac{5\sqrt{2}}{7}$
(4)
$\sqrt{\dfrac{27}{16}}=\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{16}}=\dfrac{\sqrt{9×3}}{4}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$
(5)
$\sqrt{\dfrac{5}{8}}=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{8}}=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{4×2}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{5}×\sqrt{2}}{2\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{10}}{4}$
(6)
$\sqrt{\dfrac{1}{27}}=\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{27}}=\dfrac{1}{\sqrt{9×3}}=\dfrac{1}{3\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3×3}=\dfrac{\sqrt{3}}{9}$
(7)
$\sqrt{1.4}=\sqrt{\dfrac{14}{10}}=\sqrt{\dfrac{7}{5}}=\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{7}×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{35}}{5}$
(8)
$\sqrt{\dfrac{-3}{-5}}=\sqrt{\dfrac{3}{5}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{3}×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{15}}{5}$
8. 化简：
(1) $\sqrt{\dfrac{6×12}{7}}$；
(2) $\sqrt{\dfrac{49×3}{8}}$；
(3) $\sqrt{\dfrac{81×72}{5}}$；
(4) $\sqrt{\dfrac{64×125}{3}}$。
(1) $\sqrt{\dfrac{6×12}{7}}$；
(2) $\sqrt{\dfrac{49×3}{8}}$；
(3) $\sqrt{\dfrac{81×72}{5}}$；
(4) $\sqrt{\dfrac{64×125}{3}}$。
答案
(1) $\sqrt{\dfrac{6×12}{7}}=\sqrt{\dfrac{72}{7}}=\sqrt{\dfrac{72×7}{7×7}}=\dfrac{\sqrt{504}}{7}=\dfrac{\sqrt{36×14}}{7}=\dfrac{6\sqrt{14}}{7}$
(2) $\sqrt{\dfrac{49×3}{8}}=7\sqrt{\dfrac{3}{8}}=7\sqrt{\dfrac{3×2}{8×2}}=7\sqrt{\dfrac{6}{16}}=\dfrac{7\sqrt{6}}{4}$
(3) $\sqrt{\dfrac{81×72}{5}}=9\sqrt{\dfrac{72}{5}}=9\sqrt{\dfrac{72×5}{5×5}}=9×\dfrac{\sqrt{360}}{5}=9×\dfrac{6\sqrt{10}}{5}=\dfrac{54\sqrt{10}}{5}$
(4) $\sqrt{\dfrac{64×125}{3}}=8\sqrt{\dfrac{125}{3}}=8\sqrt{\dfrac{125×3}{3×3}}=8×\dfrac{\sqrt{375}}{3}=8×\dfrac{5\sqrt{15}}{3}=\dfrac{40\sqrt{15}}{3}$
(2) $\sqrt{\dfrac{49×3}{8}}=7\sqrt{\dfrac{3}{8}}=7\sqrt{\dfrac{3×2}{8×2}}=7\sqrt{\dfrac{6}{16}}=\dfrac{7\sqrt{6}}{4}$
(3) $\sqrt{\dfrac{81×72}{5}}=9\sqrt{\dfrac{72}{5}}=9\sqrt{\dfrac{72×5}{5×5}}=9×\dfrac{\sqrt{360}}{5}=9×\dfrac{6\sqrt{10}}{5}=\dfrac{54\sqrt{10}}{5}$
(4) $\sqrt{\dfrac{64×125}{3}}=8\sqrt{\dfrac{125}{3}}=8\sqrt{\dfrac{125×3}{3×3}}=8×\dfrac{\sqrt{375}}{3}=8×\dfrac{5\sqrt{15}}{3}=\dfrac{40\sqrt{15}}{3}$
