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10. 用含有字母的式子分别表示图 3-1-2①②③中阴影部分的面积。
图3-1-2
图3-1-2
答案
10. 解:题图 3-1-2①中阴影部分的面积为$(a-x)b$；
题图 3-1-2②中阴影部分的面积为 $R^2-\dfrac{1}{4}π R^2$；
题图 3-1-2③中阴影部分的面积为 $\dfrac{1}{2}π R^2-R^2$。
题图 3-1-2②中阴影部分的面积为 $R^2-\dfrac{1}{4}π R^2$；
题图 3-1-2③中阴影部分的面积为 $\dfrac{1}{2}π R^2-R^2$。
解析
【分析】
求阴影部分面积可采用和差法，将不规则阴影面积转化为规则图形面积的和或差计算：①图阴影是长方形，先确定其长和宽，再用长方形面积公式计算；②图阴影是正方形减去空白四分之一圆的部分，分别求出正方形和四分之一圆的面积再作差即可；③图阴影是两个四分之一圆的重叠部分，用两个四分之一圆的面积和减去正方形面积即可求出。
【解析】
1. 求题图①阴影面积：
阴影为长方形，长为$(a-x)$，宽为$b$，根据长方形面积=长×宽，可得面积为$(a-x)× b = b(a-x)$。
2. 求题图②阴影面积：
边长为$R$的正方形面积为$R^2$，空白部分是半径为$R$的$\dfrac{1}{4}$圆，面积为$\dfrac{1}{4}π R^2$，因此阴影面积=正方形面积$-\dfrac{1}{4}$圆面积，即$R^2-\dfrac{1}{4}π R^2$。
3. 求题图③阴影面积：
两个半径为$R$的$\dfrac{1}{4}$圆的面积和为$2×\dfrac{1}{4}π R^2=\dfrac{1}{2}π R^2$，两个扇形的面积和等于阴影面积加正方形面积，因此阴影面积=两个$\dfrac{1}{4}$圆面积和$-$正方形面积，即$\dfrac{1}{2}π R^2-R^2$。
【答案】
题图①阴影部分面积：$\boldsymbol{(a-x)b}$；
题图②阴影部分面积：$\boldsymbol{R^2-\dfrac{1}{4}π R^2}$；
题图③阴影部分面积：$\boldsymbol{\dfrac{1}{2}π R^2-R^2}$。
【知识点】
列代数式、面积和差计算、常见图形面积公式
【点评】
本题属于不规则图形面积的基础计算题，核心思路是化不规则为规则，通过割补、和差的方式转化为已知公式的图形面积运算，熟记基础图形面积公式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
求阴影部分面积可采用和差法，将不规则阴影面积转化为规则图形面积的和或差计算：①图阴影是长方形，先确定其长和宽，再用长方形面积公式计算；②图阴影是正方形减去空白四分之一圆的部分，分别求出正方形和四分之一圆的面积再作差即可；③图阴影是两个四分之一圆的重叠部分，用两个四分之一圆的面积和减去正方形面积即可求出。
【解析】
1. 求题图①阴影面积：
阴影为长方形，长为$(a-x)$，宽为$b$，根据长方形面积=长×宽，可得面积为$(a-x)× b = b(a-x)$。
2. 求题图②阴影面积：
边长为$R$的正方形面积为$R^2$，空白部分是半径为$R$的$\dfrac{1}{4}$圆，面积为$\dfrac{1}{4}π R^2$，因此阴影面积=正方形面积$-\dfrac{1}{4}$圆面积，即$R^2-\dfrac{1}{4}π R^2$。
3. 求题图③阴影面积：
两个半径为$R$的$\dfrac{1}{4}$圆的面积和为$2×\dfrac{1}{4}π R^2=\dfrac{1}{2}π R^2$，两个扇形的面积和等于阴影面积加正方形面积，因此阴影面积=两个$\dfrac{1}{4}$圆面积和$-$正方形面积，即$\dfrac{1}{2}π R^2-R^2$。
【答案】
题图①阴影部分面积：$\boldsymbol{(a-x)b}$；
题图②阴影部分面积：$\boldsymbol{R^2-\dfrac{1}{4}π R^2}$；
题图③阴影部分面积：$\boldsymbol{\dfrac{1}{2}π R^2-R^2}$。
【知识点】
列代数式、面积和差计算、常见图形面积公式
【点评】
本题属于不规则图形面积的基础计算题，核心思路是化不规则为规则，通过割补、和差的方式转化为已知公式的图形面积运算，熟记基础图形面积公式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
二、拓展性作业
11. 如图 3-1-3 所示：
问题1:看到这则招领启事,你有什么想法?
问题2:你觉得将 20 元改成什么比较好?
问题3:如果捡到的不是 20 元,可以用 $x$ 元表示吗? 还可以用其他字母表示吗?
11. 如图 3-1-3 所示：
问题1:看到这则招领启事,你有什么想法?
问题2:你觉得将 20 元改成什么比较好?
问题3:如果捡到的不是 20 元,可以用 $x$ 元表示吗? 还可以用其他字母表示吗?
答案
11. 解:问题 1:答案不唯一,合理即可。(1)要学习王玲同学拾金不昧的高尚品德；
(2)最好不要体现面值 20 元,因为别人会冒领。
问题 2:可以用一个字母表示,如:拾到面值 x 元的人民币一张。
问题 3:在这里,我们可以用任何一个字母表示任意的一个数字,如:也可以用字母 a 来表示任意的一个数字。
(2)最好不要体现面值 20 元,因为别人会冒领。
问题 2:可以用一个字母表示,如:拾到面值 x 元的人民币一张。
问题 3:在这里,我们可以用任何一个字母表示任意的一个数字,如:也可以用字母 a 来表示任意的一个数字。
解析
【分析】
解答本题可分三步思考：第一步处理问题1，需兼顾品德引导和招领的实用性两个角度，一方面王玲拾金不昧的行为值得学习，另一方面要意识到公开具体金额存在被冒领的风险；第二步处理问题2，结合用字母表示数的知识，用字母代替具体金额，既传递拾到财物的信息，又避免泄露具体金额；第三步处理问题3，回顾字母表示数的规则，可知表示未知量的字母没有固定限制，任意字母均可用来表示该未知金额。
【解析】
问题1：可从两个角度思考：①王玲同学拾金不昧的高尚品德值得所有人学习；②招领启事中直接写出人民币具体面值的做法不妥，很可能出现无关人员冒领的情况。
问题2：可以用字母来代替具体的面值，既说明拾到了人民币，又不会泄露具体金额，例如可修改为“拾到面值x元的人民币一张”。
问题3：可以用x元表示捡到的金额，也可以用其他字母表示。在表示未知数量时，字母的选取没有固定要求，任意字母都可以用来表示这个未知的钱数，比如也可以选取a、b等字母表示。
【答案】
11. 解:问题 1:答案不唯一,合理即可。(1)要学习王玲同学拾金不昧的高尚品德；(2)最好不要体现面值 20 元,因为别人会冒领。
问题 2:可以用一个字母表示,如:拾到面值 x 元的人民币一张。
问题 3:在这里,我们可以用任何一个字母表示任意的一个数字,如:也可以用字母 a 来表示任意的一个数字。
【知识点】
字母表示数；未知量表示；代数实际应用
【点评】
本题结合生活中常见的招领启事场景出题，将数学知识和生活实际紧密结合，既考察了对字母表示数相关知识的掌握与灵活运用能力，也引导学生关注生活细节、培养拾金不昧的良好品德，兼具知识性和教育意义。
【难度系数】
0.9
解答本题可分三步思考：第一步处理问题1，需兼顾品德引导和招领的实用性两个角度，一方面王玲拾金不昧的行为值得学习，另一方面要意识到公开具体金额存在被冒领的风险；第二步处理问题2，结合用字母表示数的知识，用字母代替具体金额，既传递拾到财物的信息，又避免泄露具体金额；第三步处理问题3，回顾字母表示数的规则，可知表示未知量的字母没有固定限制，任意字母均可用来表示该未知金额。
【解析】
问题1：可从两个角度思考：①王玲同学拾金不昧的高尚品德值得所有人学习；②招领启事中直接写出人民币具体面值的做法不妥，很可能出现无关人员冒领的情况。
问题2：可以用字母来代替具体的面值，既说明拾到了人民币，又不会泄露具体金额，例如可修改为“拾到面值x元的人民币一张”。
问题3：可以用x元表示捡到的金额，也可以用其他字母表示。在表示未知数量时，字母的选取没有固定要求，任意字母都可以用来表示这个未知的钱数，比如也可以选取a、b等字母表示。
【答案】
11. 解:问题 1:答案不唯一,合理即可。(1)要学习王玲同学拾金不昧的高尚品德；(2)最好不要体现面值 20 元,因为别人会冒领。
问题 2:可以用一个字母表示,如:拾到面值 x 元的人民币一张。
问题 3:在这里,我们可以用任何一个字母表示任意的一个数字,如:也可以用字母 a 来表示任意的一个数字。
【知识点】
字母表示数；未知量表示；代数实际应用
【点评】
本题结合生活中常见的招领启事场景出题，将数学知识和生活实际紧密结合，既考察了对字母表示数相关知识的掌握与灵活运用能力，也引导学生关注生活细节、培养拾金不昧的良好品德，兼具知识性和教育意义。
【难度系数】
0.9
12. 对于密码L dp d vwxghqw，你能看出它代表什么意思吗？如果给你一把破译它的“钥匙”$(x-3)$，联想英语字母表中字母的顺序，你再试试能不能解读它。英语字母表中字母是按以下顺序排列的：abcdefghi-jklmnopqrstuvwxyz，如果规定a又接在z的后面，使26个字母排成圈，并能想到$(x-3)$可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”，按这个规律就有L dp d vwxghqw→I am a student，这样你就能解读它的意思了。为了保密，许多情况下都要采用密码，这时就需要有破译密码的“钥匙”。上面的例子中，如果写和读密码的双方事先约定了作为“钥匙”的式子$(x-3)$的含义，那么他们就可以用一种保密方式通信了。你和同伴不妨也利用数学式子来制订一种类似的“钥匙”，并互相合作，通过游戏试试如何进行保密通信。
答案
12. 解:"钥匙"为$(x+1)$,英语字母表中字母是按以下顺序排列的:abcdefghijklmnopqrstuvwxyz,如果规定 a 又接在 z 的后面,使 26 个字母排成圈,并能想到$(x+1)$可以代表"把一个字母换成字母表中从它向后移动 1 位的字母",按这个规律就有 ktbjx→lucky。(答案不唯一)
解析
【分析】
这类密码的核心逻辑是先给26个英文字母按顺序对应1~26的数字，形成z后接a的循环排列；“钥匙”就是关于字母对应数字x的代数式，将原字母对应的x代入代数式计算得到新数字，再把新数字对应回字母，即可完成加密或解密。解题时先选一个简单的一次代数式作为钥匙，明确它对应的移位规则，再举符合规则的加密/解密例子即可，答案不唯一。
【解析】
1. 建立对应规则：将a、b、c……z依次对应数字1、2、3……26，规定z后面接a，26个字母形成循环排列。
2. 制定钥匙：选择一次式$(x+1)$作为钥匙，它的含义为：把原字母对应的数字x向后移1位，得到的新数字对应的字母就是加密后的字母，若加1后结果为27则对应a。
3. 举例验证：我们要解密加密内容“ktbjx”：
k对应13，$13-1=12$→l；
t对应22，$22-1=21$→u；
b对应4，$4-1=3$→c；
j对应12，$12-1=11$→k；
x对应26，$26-1=25$→y；
最终解密结果为lucky，符合规则。
（也可选择其他代数式作为钥匙，规则清晰合理即可）
【答案】
"钥匙"为$(x+1)$,英语字母表中字母是按以下顺序排列的:abcdefghijklmnopqrstuvwxyz,如果规定 a 又接在 z 的后面,使 26 个字母排成圈,并能想到$(x+1)$可以代表"把一个字母换成字母表中从它向后移动 1 位的字母",按这个规律就有 ktbjx→lucky。(答案不唯一)
【知识点】
代数式应用、周期规律、编码规则
【点评】
本题将代数式运算和生活中的保密通信场景结合，趣味性强，既考查了对代数式含义的理解，也锻炼了规则应用和实践创新能力，答案开放，可灵活制定不同的加密规则。
【难度系数】
0.8
这类密码的核心逻辑是先给26个英文字母按顺序对应1~26的数字，形成z后接a的循环排列；“钥匙”就是关于字母对应数字x的代数式，将原字母对应的x代入代数式计算得到新数字，再把新数字对应回字母，即可完成加密或解密。解题时先选一个简单的一次代数式作为钥匙，明确它对应的移位规则，再举符合规则的加密/解密例子即可，答案不唯一。
【解析】
1. 建立对应规则：将a、b、c……z依次对应数字1、2、3……26，规定z后面接a，26个字母形成循环排列。
2. 制定钥匙：选择一次式$(x+1)$作为钥匙，它的含义为：把原字母对应的数字x向后移1位，得到的新数字对应的字母就是加密后的字母，若加1后结果为27则对应a。
3. 举例验证：我们要解密加密内容“ktbjx”：
k对应13，$13-1=12$→l；
t对应22，$22-1=21$→u；
b对应4，$4-1=3$→c；
j对应12，$12-1=11$→k；
x对应26，$26-1=25$→y；
最终解密结果为lucky，符合规则。
（也可选择其他代数式作为钥匙，规则清晰合理即可）
【答案】
"钥匙"为$(x+1)$,英语字母表中字母是按以下顺序排列的:abcdefghijklmnopqrstuvwxyz,如果规定 a 又接在 z 的后面,使 26 个字母排成圈,并能想到$(x+1)$可以代表"把一个字母换成字母表中从它向后移动 1 位的字母",按这个规律就有 ktbjx→lucky。(答案不唯一)
【知识点】
代数式应用、周期规律、编码规则
【点评】
本题将代数式运算和生活中的保密通信场景结合，趣味性强，既考查了对代数式含义的理解，也锻炼了规则应用和实践创新能力，答案开放，可灵活制定不同的加密规则。
【难度系数】
0.8
