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1.已知$\sqrt{18}$与最简二次根式$\sqrt{a+2}$是同类二次根式，则$a$的值可能是（
A.16
B.0
C.2
D.任意实数
B
）A.16
B.0
C.2
D.任意实数
答案
1 B
∵ $\sqrt{18} = \sqrt{9 ×2} = 3\sqrt{2}$，$\sqrt{18}$与最简二次根式$\sqrt{a+2}$是同类二次根式，
∴ $a+2=2$,
∴ $a=0$.
得分要点
最简二次根式是指一个二次根式的被开方数不能再进行开方运算,同类二次根式是指两个及以上的最简二次根式的被开方数相同.
∵ $\sqrt{18} = \sqrt{9 ×2} = 3\sqrt{2}$，$\sqrt{18}$与最简二次根式$\sqrt{a+2}$是同类二次根式，
∴ $a+2=2$,
∴ $a=0$.
得分要点
最简二次根式是指一个二次根式的被开方数不能再进行开方运算,同类二次根式是指两个及以上的最简二次根式的被开方数相同.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，这几个二次根式就是同类二次根式。解题第一步先把非最简形式的$\sqrt{18}$化简为最简二次根式，再结合题目给出的$\sqrt{a+2}$是最简二次根式的条件，让两个最简二次根式的被开方数相等，列方程求解即可得到$a$的值。
【解析】
首先化简$\sqrt{18}$：
$\sqrt{18} = \sqrt{9 ×2} = 3\sqrt{2}$
已知$\sqrt{18}$与最简二次根式$\sqrt{a+2}$是同类二次根式，说明二者化简后的被开方数相同，因此可得：
$a+2=2$
解得$a=0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的化简，最简二次根式，同类二次根式
【点评】
本题是二次根式部分的基础易错题，解题时需注意必须先将非最简的二次根式化为最简形式后，再根据同类二次根式的定义判断被开方数是否相同，切忌直接用未化简的被开方数列等式，否则容易误选A选项。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需明确同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，这几个二次根式就是同类二次根式。解题第一步先把非最简形式的$\sqrt{18}$化简为最简二次根式，再结合题目给出的$\sqrt{a+2}$是最简二次根式的条件，让两个最简二次根式的被开方数相等，列方程求解即可得到$a$的值。
【解析】
首先化简$\sqrt{18}$：
$\sqrt{18} = \sqrt{9 ×2} = 3\sqrt{2}$
已知$\sqrt{18}$与最简二次根式$\sqrt{a+2}$是同类二次根式，说明二者化简后的被开方数相同，因此可得：
$a+2=2$
解得$a=0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的化简，最简二次根式，同类二次根式
【点评】
本题是二次根式部分的基础易错题，解题时需注意必须先将非最简的二次根式化为最简形式后，再根据同类二次根式的定义判断被开方数是否相同，切忌直接用未化简的被开方数列等式，否则容易误选A选项。
【难度系数】
0.7
2. [2025长治武乡期中]下列各式化简后,能与$\sqrt{5}$合并的是 (
A.$\sqrt{10}$
B.$\sqrt{0.4}$
C.$\sqrt{20}$
D.$\sqrt{\frac{1}{50}}$
C
)A.$\sqrt{10}$
B.$\sqrt{0.4}$
C.$\sqrt{20}$
D.$\sqrt{\frac{1}{50}}$
答案
2 C 选项 A, $\sqrt{10}$是最简二次根式,且不能与$\sqrt{5}$合并;选项B, $\sqrt{0.4} = \sqrt{\frac{4}{10}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{10}} = \frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{5}$,不能与$\sqrt{5}$合并;选项 C, $\sqrt{20} = \sqrt{4 ×5} = 2\sqrt{5}$,能与$\sqrt{5}$合并;选项 D, $\sqrt{\frac{1}{50}} = \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{1}{\sqrt{25 ×\sqrt{2}}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10}$,不能与$\sqrt{5}$合并.
解析
【分析】
要判断哪个式子化简后能与$\sqrt{5}$合并，首先要明确：只有同类二次根式才能合并，同类二次根式是指化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式。因此解题思路为：先将四个选项的二次根式全部化为最简二次根式，再判断化简后的被开方数是否为5，若为5则可以和$\sqrt{5}$合并。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $\sqrt{10}$已经是最简二次根式，被开方数为10，与$\sqrt{5}$的被开方数不同，不能与$\sqrt{5}$合并；
B. 先将小数化为分数再化简：$\sqrt{0.4}=\sqrt{\frac{4}{10}}=\sqrt{\frac{2}{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$，最简后被开方数为10，不能与$\sqrt{5}$合并；
C. 化简得：$\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=2\sqrt{5}$，最简后被开方数为5，是$\sqrt{5}$的同类二次根式，可以合并；
D. 化简得：$\sqrt{\frac{1}{50}}=\sqrt{\frac{2}{100}}=\frac{\sqrt{2}}{10}$，最简后被开方数为2，不能与$\sqrt{5}$合并。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
同类二次根式、二次根式的化简、最简二次根式
【点评】
本题核心考查同类二次根式的识别，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简方法，牢记只有化为最简后被开方数相同的二次根式才能合并，是二次根式章节的基础常规题型。
【难度系数】
0.8
要判断哪个式子化简后能与$\sqrt{5}$合并，首先要明确：只有同类二次根式才能合并，同类二次根式是指化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式。因此解题思路为：先将四个选项的二次根式全部化为最简二次根式，再判断化简后的被开方数是否为5，若为5则可以和$\sqrt{5}$合并。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $\sqrt{10}$已经是最简二次根式，被开方数为10，与$\sqrt{5}$的被开方数不同，不能与$\sqrt{5}$合并；
B. 先将小数化为分数再化简：$\sqrt{0.4}=\sqrt{\frac{4}{10}}=\sqrt{\frac{2}{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$，最简后被开方数为10，不能与$\sqrt{5}$合并；
C. 化简得：$\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=2\sqrt{5}$，最简后被开方数为5，是$\sqrt{5}$的同类二次根式，可以合并；
D. 化简得：$\sqrt{\frac{1}{50}}=\sqrt{\frac{2}{100}}=\frac{\sqrt{2}}{10}$，最简后被开方数为2，不能与$\sqrt{5}$合并。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
同类二次根式、二次根式的化简、最简二次根式
【点评】
本题核心考查同类二次根式的识别，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简方法，牢记只有化为最简后被开方数相同的二次根式才能合并，是二次根式章节的基础常规题型。
【难度系数】
0.8
3. [2024 齐齐哈尔中考] 在函数 $y=\frac{1}{\sqrt{3+x}}+\frac{1}{x+2}$ 中，自变量 $x$ 的取值范围是
x ＞ -3 且 x≠ -2
。答案
3 x ＞ -3 且 x≠ -2 由题意可得,$\begin{cases} 3 + x ＞ 0, \\ x + 2 ≠ 0, \end{cases}$解得 $x ＞ -3$且 $x≠ -2$.
解析
【分析】
要确定函数自变量的取值范围，需先分析函数各组成部分的限制要求：①第一个部分的分母是二次根式，需同时满足二次根式的被开方数大于0（因为分母不能为0，所以被开方数不能等于0）；②第二个部分是普通分式，需满足分母不为0。将所有限制条件列成不等式组，求解得到的公共解集就是自变量的取值范围。
【解析】
要使函数$y=\frac{1}{\sqrt{3+x}}+\frac{1}{x+2}$有意义，需同时满足：
$\begin{cases} 3 + x ＞ 0 \\ x + 2 ≠ 0 \end{cases}$
解不等式$3+x＞0$，得$x＞-3$；
解不等式$x+2≠0$，得$x≠-2$；
综上，自变量$x$的取值范围是$x＞-3$且$x≠-2$。
【答案】
$x＞-3$且$x≠-2$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；函数自变量取值范围
【点评】
本题是函数自变量取值范围的基础常考题，易错点是忽略二次根式在分母的位置，误将第一个限制条件写为$3+x≥0$，或者遗漏第二个分式的分母不为0的限制。解题时需逐一分析每一部分的取值要求，再取各解集的公共部分即可。
【难度系数】
0.8
要确定函数自变量的取值范围，需先分析函数各组成部分的限制要求：①第一个部分的分母是二次根式，需同时满足二次根式的被开方数大于0（因为分母不能为0，所以被开方数不能等于0）；②第二个部分是普通分式，需满足分母不为0。将所有限制条件列成不等式组，求解得到的公共解集就是自变量的取值范围。
【解析】
要使函数$y=\frac{1}{\sqrt{3+x}}+\frac{1}{x+2}$有意义，需同时满足：
$\begin{cases} 3 + x ＞ 0 \\ x + 2 ≠ 0 \end{cases}$
解不等式$3+x＞0$，得$x＞-3$；
解不等式$x+2≠0$，得$x≠-2$；
综上，自变量$x$的取值范围是$x＞-3$且$x≠-2$。
【答案】
$x＞-3$且$x≠-2$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；函数自变量取值范围
【点评】
本题是函数自变量取值范围的基础常考题，易错点是忽略二次根式在分母的位置，误将第一个限制条件写为$3+x≥0$，或者遗漏第二个分式的分母不为0的限制。解题时需逐一分析每一部分的取值要求，再取各解集的公共部分即可。
【难度系数】
0.8
4. [2025 上海浦东新区期中] 化简: $\sqrt{4x^2 -12x +9} - (\sqrt{1 -2x})^2$
答案
4 解:根据题意得,$1 - 2x ≥ 0$,解得 $x ≤ \frac{1}{2}$(注意题中的隐含条件).
$\sqrt{4x^2 -12x +9} - (\sqrt{1 -2x})^2 = \sqrt{(2x -3)^2} - (1 - 2x) = |2x -3| -1 + 2x = 3 - 2x -1 + 2x = 2.$
$\sqrt{4x^2 -12x +9} - (\sqrt{1 -2x})^2 = \sqrt{(2x -3)^2} - (1 - 2x) = |2x -3| -1 + 2x = 3 - 2x -1 + 2x = 2.$
解析
【分析】
要化简该含二次根式的式子，需结合二次根式的性质逐步推导：首先，二次根式$\sqrt{a}$有意义的前提是被开方数$a≥0$，因此先根据$\sqrt{1-2x}$的隐含取值限制求出$x$的范围；其次，$\sqrt{a^2}=|a|$，需先将第一个根号内的多项式因式分解为完全平方式，转化为绝对值形式；最后结合$x$的取值范围判断绝对值内式子的正负，去绝对值后合并同类项即可得到结果。
【解析】
解：由二次根式有意义的条件可得：$1-2x≥0$，解得$x≤\frac{1}{2}$。
对原式逐步化简：
$\sqrt{4x^2 -12x +9} - (\sqrt{1 -2x})^2$
$=\sqrt{(2x-3)^2} - (1-2x)$
$=|2x-3| -1 +2x$
$\because x≤\frac{1}{2}$，$\therefore 2x≤1$，$2x-3＜0$，因此$|2x-3|=3-2x$，代入得：
原式$=3-2x -1 +2x=2$
【答案】
$2$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 二次根式的性质
3. 绝对值的化简
【点评】
本题的易错点是忽略二次根式有意义的隐含条件，直接对绝对值盲目化简，解题时要注意区分$\sqrt{a^2}$和$(\sqrt{a})^2$的性质差异，先确定未知数的取值范围再计算。
【难度系数】
0.6
要化简该含二次根式的式子，需结合二次根式的性质逐步推导：首先，二次根式$\sqrt{a}$有意义的前提是被开方数$a≥0$，因此先根据$\sqrt{1-2x}$的隐含取值限制求出$x$的范围；其次，$\sqrt{a^2}=|a|$，需先将第一个根号内的多项式因式分解为完全平方式，转化为绝对值形式；最后结合$x$的取值范围判断绝对值内式子的正负，去绝对值后合并同类项即可得到结果。
【解析】
解：由二次根式有意义的条件可得：$1-2x≥0$，解得$x≤\frac{1}{2}$。
对原式逐步化简：
$\sqrt{4x^2 -12x +9} - (\sqrt{1 -2x})^2$
$=\sqrt{(2x-3)^2} - (1-2x)$
$=|2x-3| -1 +2x$
$\because x≤\frac{1}{2}$，$\therefore 2x≤1$，$2x-3＜0$，因此$|2x-3|=3-2x$，代入得：
原式$=3-2x -1 +2x=2$
【答案】
$2$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 二次根式的性质
3. 绝对值的化简
【点评】
本题的易错点是忽略二次根式有意义的隐含条件，直接对绝对值盲目化简，解题时要注意区分$\sqrt{a^2}$和$(\sqrt{a})^2$的性质差异，先确定未知数的取值范围再计算。
【难度系数】
0.6
5. 若$xy=5$，$x+y=-7$，求$\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}}$的值.
答案
5 解:根据题意得,$x ＜ 0, y ＜ 0.$
$\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \sqrt{\frac{xy}{y^2}} + \sqrt{\frac{xy}{x^2}} = \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{y^2}} + \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x^2}} = \frac{\sqrt{xy}}{|y|} + \frac{\sqrt{xy}}{|x|} = -\frac{\sqrt{xy}}{y} - \frac{\sqrt{xy}}{x} = -\frac{x\sqrt{xy}}{xy} - \frac{y\sqrt{xy}}{xy} = \frac{-(x + y)\sqrt{xy}}{xy}.$
当 $xy=5,x+y=-7$ 时,
原式 $= \frac{-(x + y)\sqrt{xy}}{xy} = \frac{-(-7) ×\sqrt{5}}{5} = \frac{7\sqrt{5}}{5}.$
$\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \sqrt{\frac{xy}{y^2}} + \sqrt{\frac{xy}{x^2}} = \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{y^2}} + \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x^2}} = \frac{\sqrt{xy}}{|y|} + \frac{\sqrt{xy}}{|x|} = -\frac{\sqrt{xy}}{y} - \frac{\sqrt{xy}}{x} = -\frac{x\sqrt{xy}}{xy} - \frac{y\sqrt{xy}}{xy} = \frac{-(x + y)\sqrt{xy}}{xy}.$
当 $xy=5,x+y=-7$ 时,
原式 $= \frac{-(x + y)\sqrt{xy}}{xy} = \frac{-(-7) ×\sqrt{5}}{5} = \frac{7\sqrt{5}}{5}.$
解析
【分析】
解题时首先根据已知条件判断x、y的符号：由xy=5＞0可知x、y同号，再结合x+y=-7＜0，可得出x＜0、y＜0，这是正确化简二次根式的前提，避免出现根号内为负的错误。接下来化简目标代数式时，不能直接将$\sqrt{\frac{x}{y}}$拆分为$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$（x、y为负不满足二次根式有意义的条件），应利用分式的基本性质，将根号内分式的分子分母同乘分母，把分母转化为平方形式，开方后得到含绝对值的式子，再根据x、y的正负去绝对值，最后通分整理为用x+y和xy表示的形式，整体代入已知数值即可求出结果。
【解析】
解：
∵$xy=5＞0$，
∴x与y同号，
又
∵$x+y=-7＜0$，
∴$x＜0$，$y＜0$。
对$\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}}$化简：
$\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \sqrt{\frac{xy}{y^2}} + \sqrt{\frac{xy}{x^2}} = \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{y^2}} + \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x^2}} = \frac{\sqrt{xy}}{|y|} + \frac{\sqrt{xy}}{|x|}$
∵$x＜0$，$y＜0$，
∴$|x|=-x$，$|y|=-y$，代入得：
原式$=\frac{\sqrt{xy}}{-y} + \frac{\sqrt{xy}}{-x} = -\frac{x\sqrt{xy}}{xy} - \frac{y\sqrt{xy}}{xy} = \frac{-(x+y)\sqrt{xy}}{xy}$
将$xy=5$，$x+y=-7$代入上式：
原式$=\frac{-(-7)×\sqrt{5}}{5} = \frac{7\sqrt{5}}{5}$
【答案】
$\frac{7\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
二次根式的化简；绝对值的性质；整体代入求值
【点评】
本题的易错点是忽略二次根式有意义的条件，未先判断x、y的符号就直接拆分二次根式，导致符号出错。解题时需先根据已知条件确定字母的正负，再结合二次根式、绝对值的性质正确化简，最后整体代入计算即可，侧重考察学生对基础知识的掌握和细心程度。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据已知条件判断x、y的符号：由xy=5＞0可知x、y同号，再结合x+y=-7＜0，可得出x＜0、y＜0，这是正确化简二次根式的前提，避免出现根号内为负的错误。接下来化简目标代数式时，不能直接将$\sqrt{\frac{x}{y}}$拆分为$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$（x、y为负不满足二次根式有意义的条件），应利用分式的基本性质，将根号内分式的分子分母同乘分母，把分母转化为平方形式，开方后得到含绝对值的式子，再根据x、y的正负去绝对值，最后通分整理为用x+y和xy表示的形式，整体代入已知数值即可求出结果。
【解析】
解：
∵$xy=5＞0$，
∴x与y同号，
又
∵$x+y=-7＜0$，
∴$x＜0$，$y＜0$。
对$\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}}$化简：
$\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \sqrt{\frac{xy}{y^2}} + \sqrt{\frac{xy}{x^2}} = \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{y^2}} + \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x^2}} = \frac{\sqrt{xy}}{|y|} + \frac{\sqrt{xy}}{|x|}$
∵$x＜0$，$y＜0$，
∴$|x|=-x$，$|y|=-y$，代入得：
原式$=\frac{\sqrt{xy}}{-y} + \frac{\sqrt{xy}}{-x} = -\frac{x\sqrt{xy}}{xy} - \frac{y\sqrt{xy}}{xy} = \frac{-(x+y)\sqrt{xy}}{xy}$
将$xy=5$，$x+y=-7$代入上式：
原式$=\frac{-(-7)×\sqrt{5}}{5} = \frac{7\sqrt{5}}{5}$
【答案】
$\frac{7\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
二次根式的化简；绝对值的性质；整体代入求值
【点评】
本题的易错点是忽略二次根式有意义的条件，未先判断x、y的符号就直接拆分二次根式，导致符号出错。解题时需先根据已知条件确定字母的正负，再结合二次根式、绝对值的性质正确化简，最后整体代入计算即可，侧重考察学生对基础知识的掌握和细心程度。
【难度系数】
0.6
6. [2025温州模拟]如图是某位同学写的推理过程，其中开始出现错误的步骤是（
∵ $(m-2)^2=(2-m)^2$,①
∴ $\sqrt{(m-2)^2} = \sqrt{(2-m)^2}$,②
∴ $m-2=2-m$,③
∴ $m=2$.④
A.①
B.②
C.③
D.④
C
）∵ $(m-2)^2=(2-m)^2$,①
∴ $\sqrt{(m-2)^2} = \sqrt{(2-m)^2}$,②
∴ $m-2=2-m$,③
∴ $m=2$.④
A.①
B.②
C.③
D.④
答案
6 C
∵ $(m-2)^2 = (2 - m)^2$,
∴ $\sqrt{(m-2)^2} = \sqrt{(2 - m)^2}$,
∴ $|m - 2| = |2 - m|$,
∴ 开始出现错误的步骤是③.
∵ $(m-2)^2 = (2 - m)^2$,
∴ $\sqrt{(m-2)^2} = \sqrt{(2 - m)^2}$,
∴ $|m - 2| = |2 - m|$,
∴ 开始出现错误的步骤是③.
解析
【分析】
解题时需依次验证每一步推理的依据是否正确，首先回忆相关性质：1.互为相反数的两个数的平方相等；2.二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$（$a$为任意实数）。首先看步骤①：$(m-2)$和$(2-m)$互为相反数，平方必然相等，因此①正确；步骤②：两个相等的非负数的算术平方根也相等，因此两边同时开算术平方根是成立的，②正确；步骤③：对二次根式化简时，去掉根号后应该加绝对值，即左边为$|m-2|$，右边为$|2-m|$，而不是直接得到$m-2=2-m$，这一步不符合二次根式的化简规则，因此③是首次出错的步骤。
【解析】
逐一对推理步骤进行验证：
1. 步骤①：互为相反数的两个数的平方相等，$(m-2)$与$(2-m)$互为相反数，因此$(m-2)^2=(2-m)^2$，①正确；
2. 步骤②：等式两边都是非负数，相等的两个非负数的算术平方根相等，因此$\sqrt{(m-2)^2} = \sqrt{(2-m)^2}$，②正确；
3. 步骤③：根据二次根式的性质，$\sqrt{a^2}=|a|$，因此$\sqrt{(m-2)^2}=|m-2|$，$\sqrt{(2-m)^2}=|2-m|$，正确化简结果应为$|m-2|=|2-m|$，而非$m-2=2-m$，该步忽略了算术平方根的非负性，未加绝对值，因此③是开始出现错误的步骤。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的性质
【点评】
本题是二次根式化简的典型易错题，解题的关键是牢记$\sqrt{a^2}$化简后为非负数，需写成$|a|$的形式，再根据$a$的正负性进一步去绝对值，避免直接去掉根号导致错误。
【难度系数】
0.6
解题时需依次验证每一步推理的依据是否正确，首先回忆相关性质：1.互为相反数的两个数的平方相等；2.二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$（$a$为任意实数）。首先看步骤①：$(m-2)$和$(2-m)$互为相反数，平方必然相等，因此①正确；步骤②：两个相等的非负数的算术平方根也相等，因此两边同时开算术平方根是成立的，②正确；步骤③：对二次根式化简时，去掉根号后应该加绝对值，即左边为$|m-2|$，右边为$|2-m|$，而不是直接得到$m-2=2-m$，这一步不符合二次根式的化简规则，因此③是首次出错的步骤。
【解析】
逐一对推理步骤进行验证：
1. 步骤①：互为相反数的两个数的平方相等，$(m-2)$与$(2-m)$互为相反数，因此$(m-2)^2=(2-m)^2$，①正确；
2. 步骤②：等式两边都是非负数，相等的两个非负数的算术平方根相等，因此$\sqrt{(m-2)^2} = \sqrt{(2-m)^2}$，②正确；
3. 步骤③：根据二次根式的性质，$\sqrt{a^2}=|a|$，因此$\sqrt{(m-2)^2}=|m-2|$，$\sqrt{(2-m)^2}=|2-m|$，正确化简结果应为$|m-2|=|2-m|$，而非$m-2=2-m$，该步忽略了算术平方根的非负性，未加绝对值，因此③是开始出现错误的步骤。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的性质
【点评】
本题是二次根式化简的典型易错题，解题的关键是牢记$\sqrt{a^2}$化简后为非负数，需写成$|a|$的形式，再根据$a$的正负性进一步去绝对值，避免直接去掉根号导致错误。
【难度系数】
0.6
7. 下列计算正确的是 （
A.$\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$
B.$\sqrt{4 × 9} = 2 × 3$
C.$\sqrt{4^4} = 2^2$
D.$\sqrt{4.9} = 0.7$
B
）A.$\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$
B.$\sqrt{4 × 9} = 2 × 3$
C.$\sqrt{4^4} = 2^2$
D.$\sqrt{4.9} = 0.7$
答案
7 B $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 ≠ 3 + 4$, $\sqrt{4^4} = \sqrt{(4^2)^2} = 4^2 ≠ 2^2$, $(0.7)^2 = 0.49 ≠ 4.9.$
解析
【分析】
本题考查二次根式的运算与性质，解题思路为逐个计算每个选项等号左右两边的结果，结合二次根式的相关运算规则判断是否相等。首先明确二次根式的核心运算规则：只有根号内是乘法运算时才能拆分分别开方，加法运算不能直接拆分开方；同时要熟练掌握乘方运算与二次根式化简的对应关系，逐一验证每个选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：左边$\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$，右边$3+4=7$，$5≠7$，故A错误；
选项B：根据二次根式乘法性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$，左边$\sqrt{4×9}=\sqrt{4}×\sqrt{9}=2×3=6$，左右两边相等，故B正确；
选项C：左边$\sqrt{4^4}=\sqrt{(4^2)^2}=4^2=16$，右边$2^2=4$，$16≠4$，故C错误；
选项D：因为$0.7^2=0.49≠4.9$，所以$\sqrt{4.9}≠0.7$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的性质，二次根式运算，乘方运算
【点评】
本题属于二次根式的基础易错题，需要注意不要混淆二次根式的加法和乘法运算规则，根号内的加法不能直接拆分开方，同时计算时要仔细看清数字，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式的运算与性质，解题思路为逐个计算每个选项等号左右两边的结果，结合二次根式的相关运算规则判断是否相等。首先明确二次根式的核心运算规则：只有根号内是乘法运算时才能拆分分别开方，加法运算不能直接拆分开方；同时要熟练掌握乘方运算与二次根式化简的对应关系，逐一验证每个选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：左边$\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$，右边$3+4=7$，$5≠7$，故A错误；
选项B：根据二次根式乘法性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$，左边$\sqrt{4×9}=\sqrt{4}×\sqrt{9}=2×3=6$，左右两边相等，故B正确；
选项C：左边$\sqrt{4^4}=\sqrt{(4^2)^2}=4^2=16$，右边$2^2=4$，$16≠4$，故C错误；
选项D：因为$0.7^2=0.49≠4.9$，所以$\sqrt{4.9}≠0.7$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的性质，二次根式运算，乘方运算
【点评】
本题属于二次根式的基础易错题，需要注意不要混淆二次根式的加法和乘法运算规则，根号内的加法不能直接拆分开方，同时计算时要仔细看清数字，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
变式 [2025 深圳南山区期中] 下列计算正确的是（
A.$\sqrt{9} - \sqrt{4} = \sqrt{5}$
B.$3\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = 1$
C.$5\sqrt{6} - 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$
D.$\sqrt{2} + \sqrt{8} = 3\sqrt{2}$
D
）A.$\sqrt{9} - \sqrt{4} = \sqrt{5}$
B.$3\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = 1$
C.$5\sqrt{6} - 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$
D.$\sqrt{2} + \sqrt{8} = 3\sqrt{2}$
答案
变式 D $\sqrt{9} - \sqrt{4} = 3 - 2 = 1 ≠ \sqrt{5}, 3\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = \sqrt{5} ≠ 1,$ $5\sqrt{6}$和$2\sqrt{3}$不能合并,$\sqrt{2} + \sqrt{8} = \sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}.$
解析
【分析】
本题考查二次根式的加减运算，解题遵循二次根式加减的核心规则：①先将每个二次根式化为最简二次根式；②判断是否为同类二次根式（被开方数相同的最简二次根式），只有同类二次根式才能合并，合并时仅将系数相加减，被开方数和根号保持不变，非同类二次根式不能直接合并。我们按照上述规则逐一验证四个选项即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：先化简二次根式，$\sqrt{9}=3$，$\sqrt{4}=2$，因此$\sqrt{9}-\sqrt{4}=3-2=1≠\sqrt{5}$，A错误；
B选项：$3\sqrt{5}$和$2\sqrt{5}$是同类二次根式，合并得$3\sqrt{5}-2\sqrt{5}=(3-2)\sqrt{5}=\sqrt{5}≠1$，B错误；
C选项：$5\sqrt{6}$和$2\sqrt{3}$都是最简二次根式，但被开方数分别为6和3，不属于同类二次根式，不能直接合并，C错误；
D选项：先化简$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，再合并同类二次根式：$\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=(1+2)\sqrt{2}=3\sqrt{2}$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
1.二次根式化简 2.同类二次根式 3.二次根式加减运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础易错题，解题的核心是牢记二次根式加减的运算规则，尤其要注意只有同类二次根式才能合并，避免出现直接对根号内的数相加减、或乱合并非同类二次根式的错误。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式的加减运算，解题遵循二次根式加减的核心规则：①先将每个二次根式化为最简二次根式；②判断是否为同类二次根式（被开方数相同的最简二次根式），只有同类二次根式才能合并，合并时仅将系数相加减，被开方数和根号保持不变，非同类二次根式不能直接合并。我们按照上述规则逐一验证四个选项即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：先化简二次根式，$\sqrt{9}=3$，$\sqrt{4}=2$，因此$\sqrt{9}-\sqrt{4}=3-2=1≠\sqrt{5}$，A错误；
B选项：$3\sqrt{5}$和$2\sqrt{5}$是同类二次根式，合并得$3\sqrt{5}-2\sqrt{5}=(3-2)\sqrt{5}=\sqrt{5}≠1$，B错误；
C选项：$5\sqrt{6}$和$2\sqrt{3}$都是最简二次根式，但被开方数分别为6和3，不属于同类二次根式，不能直接合并，C错误；
D选项：先化简$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，再合并同类二次根式：$\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=(1+2)\sqrt{2}=3\sqrt{2}$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
1.二次根式化简 2.同类二次根式 3.二次根式加减运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础易错题，解题的核心是牢记二次根式加减的运算规则，尤其要注意只有同类二次根式才能合并，避免出现直接对根号内的数相加减、或乱合并非同类二次根式的错误。
【难度系数】
0.7
8. 新趋势·过程性学习 文文计算$\sqrt{15} ÷ ( \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5}} )$时，想起了分配律，于是他按分配律写出了下面的计算过程.
解：$\sqrt{15} ÷ ( \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5}} ) = \sqrt{15} ÷ \frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{15} ÷ \frac{1}{\sqrt{5}} = \sqrt{15} × \sqrt{3} + \sqrt{15} × \sqrt{5} = 3\sqrt{5} + 5\sqrt{3}$.
他的解法正确吗？若不正确，请指出错误，并给出正确的解答过程.
解：$\sqrt{15} ÷ ( \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5}} ) = \sqrt{15} ÷ \frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{15} ÷ \frac{1}{\sqrt{5}} = \sqrt{15} × \sqrt{3} + \sqrt{15} × \sqrt{5} = 3\sqrt{5} + 5\sqrt{3}$.
他的解法正确吗？若不正确，请指出错误，并给出正确的解答过程.
答案
8 解:他的解法不正确.错在对除法使用了分配律.
正确的解答过程:
$\sqrt{15} ÷ ( \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5}} ) = \sqrt{15} ÷ \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{15}} = \sqrt{15} × \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{15}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{15(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{2}.$
避坑指南
本题的易错之处是将分配律用于除法. 实际上$a ÷ (b + c) ≠ a ÷ b + a ÷ c.$
正确的解答过程:
$\sqrt{15} ÷ ( \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5}} ) = \sqrt{15} ÷ \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{15}} = \sqrt{15} × \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{15}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{15(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{2}.$
避坑指南
本题的易错之处是将分配律用于除法. 实际上$a ÷ (b + c) ≠ a ÷ b + a ÷ c.$
解析
【分析】
首先要明确运算律的适用范围：分配律仅适用于乘法对加法的运算，除法没有对应加法的分配律，因此文文的解法是错误的。正确解题思路为：第一步先计算括号内的加法，对括号内的两个分式通分求和；第二步将除法运算转化为乘法运算；第三步对得到的分式进行分母有理化，化简后即可得到最终结果。
【解析】
他的解法不正确，错在对除法使用了分配律，实际上$a÷(b+c)≠ a÷ b + a÷ c$，只有乘法满足对加法的分配律。
正确解答过程：
$\sqrt{15} ÷ ( \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5}} )$
$= \sqrt{15} ÷ \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{15}}$
$= \sqrt{15} × \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$
$= \frac{15}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$
$= \frac{15(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}$
$= \frac{15(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{2}$
【答案】
解法不正确，错误为对除法使用分配律，正确结果为$\frac{15(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{2}$
【知识点】
二次根式混合运算；运算律适用范围；分母有理化
【点评】
本题是二次根式运算的典型易错题，核心易错点是混淆运算律的适用场景，切勿将乘法分配律直接套用到除法运算中，运算时需遵循先算括号内、再算括号外的四则运算顺序，最后正确进行分母有理化即可得出正确结果。
【难度系数】
0.6
首先要明确运算律的适用范围：分配律仅适用于乘法对加法的运算，除法没有对应加法的分配律，因此文文的解法是错误的。正确解题思路为：第一步先计算括号内的加法，对括号内的两个分式通分求和；第二步将除法运算转化为乘法运算；第三步对得到的分式进行分母有理化，化简后即可得到最终结果。
【解析】
他的解法不正确，错在对除法使用了分配律，实际上$a÷(b+c)≠ a÷ b + a÷ c$，只有乘法满足对加法的分配律。
正确解答过程：
$\sqrt{15} ÷ ( \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5}} )$
$= \sqrt{15} ÷ \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{15}}$
$= \sqrt{15} × \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$
$= \frac{15}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$
$= \frac{15(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}$
$= \frac{15(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{2}$
【答案】
解法不正确，错误为对除法使用分配律，正确结果为$\frac{15(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{2}$
【知识点】
二次根式混合运算；运算律适用范围；分母有理化
【点评】
本题是二次根式运算的典型易错题，核心易错点是混淆运算律的适用场景，切勿将乘法分配律直接套用到除法运算中，运算时需遵循先算括号内、再算括号外的四则运算顺序，最后正确进行分母有理化即可得出正确结果。
【难度系数】
0.6
