24.「2025河南郑州枫杨外国语学校月考，★★☆」(12分)综合实践课上，同学们以“四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动，探究其中的数学规律.
(1)操作发现：
如图①，四边形纸片ABCD是平行四边形，点E在BC边上，将四边形ABCD沿过点E的直线折叠，点B的对应点为B'.根据以上操作，若点E是BC的中点，折痕过点A，连接CB'，则CB'与AE的位置关系是.
(2)迁移探究：
如图②，若四边形ABCD是菱形，$∠ BAD=120°$，折痕交AB边于点F，点B的对应点B'落在AC上，且$AB'=2$，$CB'=6$，求CE的长度.
(3)拓展应用：
如图③，若四边形ABCD是矩形，$AB=6$，$AD=8$，折痕过点A，点B的对应点B'落在矩形ABCD的对称轴上，请直接写出BE的长.

24.解析 (1)$CB'// AE$. ………………(3分)
详解:由折叠的性质得 $BE=B'E,∠ AEB=∠ AEB'$,$\because$ 点 $E$ 是 $BC$ 的中点, $\therefore BE=CE,\therefore CE=B'E,\therefore ∠ ECB'=∠ EB'C$,
$\because ∠ AEB+∠ AEB'+∠ CEB'=180°,∠ ECB'+∠ EB'C+∠ CEB'=180°,\therefore ∠ AEB=∠ ECB',\therefore CB'// AE$.故答案为 $CB'// AE$.
(2)$\because AB'=2,CB'=6,\therefore AC=2+6=8$,
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形, $∠ BAD=120°$,
$\therefore AB=BC,∠ BAC=∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAD=\frac{1}{2}×120°=60°$,
$\therefore △ ABC$ 是等边三角形,
$\therefore ∠ ACB=60°,BC=AC=8$, ………………(5分)
如图,过点 $E$ 作 $EG ⊥ AC$ 于点 $G$,

$\therefore ∠ EGC=90°,\therefore ∠ CEG=30°,\therefore CE=2CG$,
设 $CG=a$,则 $CE=2a,EG=\sqrt{3}a,B'G=6-a$,
$\therefore BE=B'E=8-2a$,
在 $\mathrm{Rt}△ B'GE$ 中,由勾股定理得 $EG^2+GB'^2=B'E^2$,
$\therefore (\sqrt{3}a)^2+(6-a)^2=(8-2a)^2$,
$\therefore a=\frac{7}{5}$,
$\therefore CE=2a=\frac{14}{5}$. ………………(8分)
(3)$BE$ 的长为 $2\sqrt{3}$ 或 $9-3\sqrt{5}$. ………………(12分)
详解:由折叠的性质可得 $AB'=AB=6,BE=B'E$,设 $BE=x$,则 $B'E=x$.
分两种情况:
a.如图,点 $B'$ 落在矩形 $ABCD$ 的对称轴 $MN$ 上,过点 $B'$ 作 $PQ ⊥ BC$ 于点 $P$,交 $AD$ 于点 $Q$,

$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形, $\therefore AD // BC,\therefore PQ ⊥ AD$,
$\therefore ∠ AQB'=∠ EPB'=90°$,$\because MN$ 是矩形 $ABCD$ 的对称轴,
$\therefore B'P=B'Q=\frac{1}{2}AB=3$.在 $\mathrm{Rt}△ AB'Q$ 中,$AQ=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$,
$\therefore EP=3\sqrt{3}-x$,$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ B'EP$ 中,$B'E^2=B'P^2+EP^2$,$\therefore x^2=3^2+(3\sqrt{3}-x)^2$,$\therefore x=2\sqrt{3}$,$\therefore BE=2\sqrt{3}$.
b.如图,点 $B'$ 落在矩形 $ABCD$ 的对称轴 $PQ$ 上,

$\therefore AQ=BP=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×8=4$,在 $\mathrm{Rt}△ AB'Q$ 中,$AB'=6$,
$\therefore B'Q=\sqrt{6^2-4^2}=2\sqrt{5}$,$\therefore PB'=6-2\sqrt{5}$,$\because BE=x,BP=4$,
$\therefore EP=4-x$,在 $\mathrm{Rt}△ B'EP$ 中,由勾股定理得 $B'E^2=B'P^2+EP^2$,
$\therefore x^2=(6-2\sqrt{5})^2+(4-x)^2$,
$\therefore x=9-3\sqrt{5}$,$\therefore BE=9-3\sqrt{5}$.
综上,$BE$ 的长为 $2\sqrt{3}$ 或 $9-3\sqrt{5}$.