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14. 母题 教材$P_{16}$复习题$T_{11}$ 如图，点$P$在数轴上对应的数为$x$，且点$P$在$A$，$B$两点之间.化简：$|x - 2| - \sqrt{(x - 3)^2} + \sqrt{4x^2 - 20x + 25}$.
答案
14.【解】由数轴知$-1＜x＜2$,
$\therefore |x-2|-\sqrt{(x-3)^2}+\sqrt{4x^2-20x+25}$
$=2-x-(3-x)+|2x-5|$
$=2-x-3+x-2x+5$
$=4-2x$。
$\therefore |x-2|-\sqrt{(x-3)^2}+\sqrt{4x^2-20x+25}$
$=2-x-(3-x)+|2x-5|$
$=2-x-3+x-2x+5$
$=4-2x$。
15. 若$a,b$为有理数，$a\sqrt{2}+(b-1)\sqrt{27}=3\sqrt{2}-\sqrt{\frac{1}{3}}$，则$a=$
3
，$b=$$\dfrac{8}{9}$
。答案
15.$3;\dfrac{8}{9}$
16. 已知 $ a,b $ 为有理数，且 $ \frac{b - 2\sqrt{5}}{a\sqrt{5} - 3} = \sqrt{5} + 1 $，求 $ a + b $ 的值。
答案
16.【解】$\frac{b-2\sqrt{5}}{a\sqrt{5}-3}=\sqrt{5}+1$,去分母得$b-2\sqrt{5}=(\sqrt{5}+1)(a\sqrt{5}-3)$,即$b-2\sqrt{5}=5a+a\sqrt{5}-3\sqrt{5}-3$,
$\therefore b-5a-a\sqrt{5}=-\sqrt{5}-3$,
$\therefore \begin{cases} b-5a=-3, \\ -a=-1, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=1, \\ b=2, \end{cases}$
$\therefore a+b=1+2=3$。
$\therefore b-5a-a\sqrt{5}=-\sqrt{5}-3$,
$\therefore \begin{cases} b-5a=-3, \\ -a=-1, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=1, \\ b=2, \end{cases}$
$\therefore a+b=1+2=3$。
17.[邵阳期中]小花和小颖在一次手工技能课上合作制成了一个底面积为$36\ \mathrm{cm}^2$的长方体盒子(有盖),其长、宽、高之比为$6:3:1$.
(1)求这个长方体盒子的长、宽、高；
(2)求这个长方体盒子的表面积和体积.
(1)求这个长方体盒子的长、宽、高；
(2)求这个长方体盒子的表面积和体积.
答案
17.【解】(1)设长方体盒子的高为x cm,则长为6x cm,宽为3x cm,
由题意可得$6x· 3x=36$,解得$x=\sqrt{2}$(负值已舍去),
则$6x=6\sqrt{2},3x=3\sqrt{2}$。
$\therefore$这个长方体盒子的长为$6\sqrt{2}$ cm,宽为$3\sqrt{2}$ cm,高为$\sqrt{2}$ cm。
(2)长方体盒子的表面积为$(6\sqrt{2}×3\sqrt{2}+6\sqrt{2}×\sqrt{2}+3\sqrt{2}×\sqrt{2})×2=108(\mathrm{cm}^2)$,
长方体盒子的体积为$6\sqrt{2}×3\sqrt{2}×\sqrt{2}=36\sqrt{2}(\mathrm{cm}^3)$。
由题意可得$6x· 3x=36$,解得$x=\sqrt{2}$(负值已舍去),
则$6x=6\sqrt{2},3x=3\sqrt{2}$。
$\therefore$这个长方体盒子的长为$6\sqrt{2}$ cm,宽为$3\sqrt{2}$ cm,高为$\sqrt{2}$ cm。
(2)长方体盒子的表面积为$(6\sqrt{2}×3\sqrt{2}+6\sqrt{2}×\sqrt{2}+3\sqrt{2}×\sqrt{2})×2=108(\mathrm{cm}^2)$,
长方体盒子的体积为$6\sqrt{2}×3\sqrt{2}×\sqrt{2}=36\sqrt{2}(\mathrm{cm}^3)$。
18. 化简：$\sqrt{(3-a)^2} + \sqrt{(a-7)^2}$
答案
18.【解】$\sqrt{(3-a)^2}+\sqrt{(a-7)^2}=|3-a|+|a-7|$。
当$a＜3$时,原式$=3-a+7-a=10-2a$;
当$3≤ a≤ 7$时,原式$=a-3+7-a=4$;
当$a＞7$时,原式$=a-3+a-7=2a-10$。
当$a＜3$时,原式$=3-a+7-a=10-2a$;
当$3≤ a≤ 7$时,原式$=a-3+7-a=4$;
当$a＞7$时,原式$=a-3+a-7=2a-10$。
19. 请阅读下列材料：
问题：已知$x=\sqrt{5}+2$，求代数式$x^2 -4x -7$的值.
小明的做法：根据$x=\sqrt{5}+2$得$(x-2)^2=5$，$\therefore x^2 -4x +4=5$，$\therefore x^2 -4x=1$. 把$x^2 -4x$的值整体代入，得$x^2 -4x -7=1-7=-6$. 即把已知条件适当变形，再整体代入解决问题.
仿照上述方法解决问题：
(1)已知$x=\sqrt{10}-3$，求代数式$x^2 +6x -8$的值；
(2)已知$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，求代数式$x^3 +2x^2$的值.
问题：已知$x=\sqrt{5}+2$，求代数式$x^2 -4x -7$的值.
小明的做法：根据$x=\sqrt{5}+2$得$(x-2)^2=5$，$\therefore x^2 -4x +4=5$，$\therefore x^2 -4x=1$. 把$x^2 -4x$的值整体代入，得$x^2 -4x -7=1-7=-6$. 即把已知条件适当变形，再整体代入解决问题.
仿照上述方法解决问题：
(1)已知$x=\sqrt{10}-3$，求代数式$x^2 +6x -8$的值；
(2)已知$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，求代数式$x^3 +2x^2$的值.
答案
19.【解】(1)$\because x=\sqrt{10}-3$,
$\therefore x+3=\sqrt{10}$,
$\therefore (x+3)^2=10$,即$x^2+6x+9=10$,
$\therefore x^2+6x=1$,
$\therefore x^2+6x-8=1-8=-7$。
(2)$\because x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,$\therefore 2x=\sqrt{5}-1$,
$\therefore 2x+1=\sqrt{5}$,
$\therefore (2x+1)^2=5$,$\therefore 4x^2+4x+1=5$,
$\therefore 4x^2+4x=4$,
$\therefore x^2+x=1$,
$\therefore x^3+2x^2=x^3+x^2+x^2=x(x^2+x)+x^2=x×1+x^2=x+x^2=1$。
$\therefore x+3=\sqrt{10}$,
$\therefore (x+3)^2=10$,即$x^2+6x+9=10$,
$\therefore x^2+6x=1$,
$\therefore x^2+6x-8=1-8=-7$。
(2)$\because x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,$\therefore 2x=\sqrt{5}-1$,
$\therefore 2x+1=\sqrt{5}$,
$\therefore (2x+1)^2=5$,$\therefore 4x^2+4x+1=5$,
$\therefore 4x^2+4x=4$,
$\therefore x^2+x=1$,
$\therefore x^3+2x^2=x^3+x^2+x^2=x(x^2+x)+x^2=x×1+x^2=x+x^2=1$。
