母题 (2025 河南省实验中学期末改编)如图, 直线$y=-\dfrac{3}{4}x+3$与$x$轴、$y$轴分别交于点$A,B$. 若点$C$为$y$轴上一点, 是否存在点$C$使得$△ ABC$为以$AB$为腰的等腰三角形? 若存在, 请求出点$C$的坐标; 若不存在, 请说明理由.

解:存在,点 C 坐标为(0,-3)或(0,8)或(0,-2).理由如下:
当 y=0 时,得$-\dfrac{3}{4}x+3=0$,解得 x=4;
当 x=0 时,y=3,
所以 A(4,0),B(0,3);
即 OA=4,OB=3;
在 Rt△AOB 中,由勾股定理,得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=5$,
①当 AC=AB 时,
此时 x 轴为线段 BC 的垂直平分线,
所以 OC=OB=3,
所以点 C 的坐标为(0,-3);
②当 CB=AB=5 时,
所以点 C 的坐标为(0,8)或(0,-2).
综上所述,点 C 的坐标为(0,-3)或(0,8)或(0,-2).

如图,直线$y=-\dfrac{3}{4}x+3$与x轴、y轴分别交于点A,B. 在x轴上是否存在一点P,使得$△ ABP$是直角三角形? 若存在,请写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

变式1题图

解:存在,点 P 的坐标为(0,0)或($-\dfrac{9}{4}$,0).理由如下:
由母题知,A(4,0),B(0,3),即 OA=4,OB=3,
所以$AB^2=25$,
设点 P 的坐标为(m,0),则$AP^2=(m-4)^2$,$BP^2=m^2+3^2$,
因为∠BAP 不是直角,所以△ABP 是直角三角形需分 2 种情况分析:
①∠APB=90°,此时点 P 与原点 O 重合,坐标为(0,0);
②∠ABP=90°,$AB^2+BP^2=AP^2$,即$25+m^2+3^2=(m-4)^2$,
解得$m=-\dfrac{9}{4}$,
此时点 P 的坐标为($-\dfrac{9}{4}$,0).
综上所述,满足条件的 P 点的坐标为(0,0)或($-\dfrac{9}{4}$,0).

如图,直线$y=-\dfrac{3}{4}x+3$与x轴、y轴分别交于点A,B,点C为点B上方y轴上的点,在该一次函数的图象上是否存在点P,使得以点P,B,C为顶点的三角形与$△ OAB$全等?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

变式2题图

解:存在,点 P 的坐标为(-4,6)或($-\dfrac{12}{5}$,$\dfrac{24}{5}$).理由如下:
由母题知,A(4,0),B(0,3),即 OA=4,OB=3,
所以 AB=5,
当△AOB≌△PCB 时,如解图:

因为△AOB≌△PCB,
所以∠BCP=∠AOB=90°,PC=OA=4,CB=OB=3,
所以 OC=OB+BC=6,
将 y=6 代入$y=-\dfrac{3}{4}x+3$,得 x=-4,
所以此时点 P 的坐标为(-4,6);
当△AOB≌△CPB 时,过点 P 作 PQ⊥y 轴,如解图.
因为△AOB≌△CPB,
所以 PB=OB=3,PC=OA=4,BC=5,∠CPB=90°,
因为$S_{△ PBC}=\dfrac{1}{2}BC· PQ=\dfrac{1}{2}PC· PB$,
所以$PQ=\dfrac{PC· PB}{BC}=\dfrac{12}{5}$,
把$x=-\dfrac{12}{5}$代入$y=-\dfrac{3}{4}x+3$,得$y=\dfrac{24}{5}$,
所以此时点 P 的坐标为($-\dfrac{12}{5}$,$\dfrac{24}{5}$).
综上所述,点 P 的坐标为(-4,6)或($-\dfrac{12}{5}$,$\dfrac{24}{5}$).