7. 新趋势·数学文化 [2026 烟台蓬莱区期中] 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法. 如图，在△ABC中，分别取AB,AC的中点D,E，连接DE，过点A作AF⊥DE于点F，将△ABC分割后拼接成长方形BCHG. 若DE = 5，AF = 4，则△ABC的面积为.

40 解题思路:先证明$△ADF≌△BDG(\mathrm{AAS})$,$△AEF≌△CEH(\mathrm{AAS})$,再根据$△ABC$和长方形$BCHG$的面积相等即可求解.

8. 教材 P77 练习 T1 变式 [2026 广州海珠区中山大学附中期中]
【问题背景】
数学兴趣小组在学习对顶角知识时,发现若两个三角形存在对顶角的关系,则这两个三角形的内角存在某种关系.对此,数学兴趣小组展开探究.
【探究发现】
(1)如图1,在△ABE 和△DCE 中,点 E 为 AC 与 BD 的交点.
①若 ∠A + ∠B = 100°,则 ∠C + ∠D = °;
②若 ∠B = ∠C,则 ∠A 与 ∠D 的数量关系是 .
【结论应用】
(2)如图2,点 B,A,E 在同一条直线上,DA ⊥ BE 于点 A,BF ⊥ DE 于点 F,BF 交 AD 于点 C,若 BC = DE,求证:△ABC≌△ADE.

(1)解:①100;②$∠A = ∠D$
①在$△ABE$中,$∠AEB + ∠A + ∠B = 180°$. $\because ∠A + ∠B = 100°$,$\therefore ∠AEB = 180° - (∠A + ∠B) = 80°$,$\therefore ∠DEC = ∠AEB = 80°$. 在$△DCE$中,$\because ∠C + ∠D + ∠DEC = 180°$,$\therefore ∠C + ∠D = 180° - ∠DEC = 100°$. ②在$△ABE$中,$∠A + ∠B + ∠AEB = 180°$. 在$△DCE$中,$∠C + ∠D + ∠DEC = 180°$. $\because ∠AEB = ∠DEC$,$∠B = ∠C$,$\therefore ∠A = ∠D$.
(2)证明:$\because DA ⊥ BE$,$BF ⊥ DE$,
$\therefore ∠BAC = ∠DFC = ∠DAE = 90°$.
$\because ∠BCA = ∠DCF$,$\therefore ∠B = ∠D$.
在$△ABC$和$△ADE$中,$∠BAC = ∠DAE$,$∠B = ∠D$,$BC = DE$,
$\therefore △ABC≌△ADE(\mathrm{AAS})$.

9. 教材P77例4变式|推理能力【教材回顾】
下面方框中的内容是华东师大版教材八年级上册第77页例4.
例4 如图,在△ABC中,D是边BC的中点,过点C作直线CE,使CE//AB,交AD的延长线于点E.求证:AD=ED.
【迁移探究】
为探索直角三角形的性质,李老师将上述例题进行拓展,设计了下面的问题.
(1)如图1,将例4中的△ABC改为Rt△ABC,∠BAC=90°,其他条件不变,猜想AD与BC之间的数量关系,并说明理由.
【拓展应用】
(2)如图2,在△ABC中,AB=6,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围.

解:(1)$BC = 2AD$. 理由如下:
$\because CE// AB$,
$\therefore ∠ECD = ∠B$,$∠BAD = ∠E$,$∠ECA = 180° - ∠BAC = 90°$.
$\because D$是边$BC$的中点,$\therefore CD = BD$.
在$△ECD$和$△ABD$中,$∠ECD = ∠B$,$∠E = ∠BAD$,$CD = BD$,
$\therefore △ECD≌△ABD(\mathrm{AAS})$,$\therefore EC = AB$,$ED = AD$.
在$△ABC$和$△CEA$中,$AB = CE$,$∠BAC = ∠ECA$,$AC = CA$,
$\therefore △ABC≌△CEA(\mathrm{SAS})$,$\therefore BC = EA$.
$\because AD = ED$,$\therefore BC = AE = 2AD$.
(2)如图,延长$AD$到点$E$,使$DE = AD$,连接$BE$.
$\because AD$是边$BC$上的中线,$\therefore BD = CD$.
在$△ADC$和$△EDB$中,$AD = ED$,$∠ADC = ∠EDB$,$CD = BD$,
$\therefore △ADC≌△EDB(\mathrm{SAS})$,$\therefore AC = BE = 3$.
在$△ABE$中,$AB - BE ＜ AE ＜ AB + BE$,
$\therefore 6 - 3 ＜ 2AD ＜ 6 + 3$,$\therefore \dfrac{3}{2} ＜ AD ＜ \dfrac{9}{2}$.