9.（2024·乐山期中）有一段坡路，小明骑自行车去时上坡的速度为每小时$v_{1}$千米，返回时下坡的速度为每小时$v_{2}$千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时 （ ）
A. $\frac{v_{1}+v_{2}}{2}$千米
B. $\frac{v_{1}v_{2}}{v_{1}+v_{2}}$千米
C. $\frac{v_{1}+v_{2}}{2v_{1}v_{2}}$千米
D. $\frac{2v_{1}v_{2}}{v_{1}+v_{2}}$千米

D 解析：设坡路长是$s$千米，则上坡的时间为$\frac{s}{v_{1}}$小时，下坡的时间为$\frac{s}{v_{2}}$小时，上、下坡总路程为$2s$千米，总时间为$(\frac{s}{v_{1}}+\frac{s}{v_{2}})$小时，$\therefore$上、下坡平均速度为每小时$\frac{2s}{\frac{s}{v_{1}}+\frac{s}{v_{2}}}=\frac{2v_{1}v_{2}}{v_{1}+v_{2}}$千米. 故选D.

10.（百色中考改编）已知$a = b + 2023$，则代数式$\frac{2}{a - b}\cdot\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+2ab + b^{2}}\div\frac{1}{a^{2}-b^{2}}$的值为_______.

4046 解析：原式$=\frac{2}{a - b} \cdot \frac{(a - b)(a + b)}{(a + b)^{2}} \cdot (a - b)(a + b) = 2(a - b)$. $\because a = b + 2023$，$\therefore a - b = 2023$，$\therefore$原式$= 2\times2023 = 4046$.

11.（1）已知$a^{4}+\frac{1}{a^{4}}=7$，则$a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=$_______.
（2）（广东中考）若$x+\frac{1}{x}=\frac{13}{6}$且$0＜x＜1$，则$x^{2}-\frac{1}{x^{2}}=$_______.

(1) 3 解析：$\because a^{4}+\frac{1}{a^{4}} = 7$，$\therefore (a^{2}+\frac{1}{a^{2}})^{2} = 9$，$\therefore a^{2}+\frac{1}{a^{2}} = 3$或$a^{2}+\frac{1}{a^{2}} = -3$（舍去）.
(2) $-\frac{65}{36}$ 解析：$\because 0 ＜ x ＜ 1$，$\therefore x ＜ \frac{1}{x}$，$\therefore x - \frac{1}{x} ＜ 0$，$\because x+\frac{1}{x} = \frac{13}{6}$，$\therefore (x+\frac{1}{x})^{2} = \frac{169}{36}$，即$x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}} = \frac{169}{36}$，$\therefore x^{2}-2+\frac{1}{x^{2}} = \frac{169}{36}-4$，$\therefore (x - \frac{1}{x})^{2} = \frac{25}{36}$，$\therefore x - \frac{1}{x} = -\frac{5}{6}$，$\therefore x^{2}-\frac{1}{x^{2}} = (x+\frac{1}{x})(x - \frac{1}{x}) = \frac{13}{6}\times(-\frac{5}{6}) = -\frac{65}{36}$.

12. 新题型 新运算 我们定义一种新运算：记$a*b=(a + b)^{2}-(a - b)^{2}$，如果设$A$为代数式，$A*\frac{1}{x + 2y}=\frac{4}{x^{2}-4y^{2}}$，则$A=$_______（用含$x$、$y$的代数式表示）.

$\frac{1}{x - 2y}$ 解析：$\because a*b=(a + b)^{2}-(a - b)^{2}=[(a + b)+(a - b)][(a + b)-(a - b)] = 2a\cdot2b = 4ab$，$\therefore A*\frac{1}{x + 2y}=\frac{4}{x^{2}-4y^{2}}$可变形为$4A\cdot\frac{1}{x + 2y}=\frac{4}{(x + 2y)(x - 2y)}$，$\therefore A = \frac{4}{(x + 2y)(x - 2y)} \cdot \frac{x + 2y}{4} = \frac{1}{x - 2y}$.

13. 先化简，再求值：$(\frac{x^{2}-y^{2}}{xy})^{2}\div(x + y)\cdot(\frac{x}{x - y})^{3}$，其中$x = -\frac{1}{2}$，$y = -1$.

原式$=\frac{(x + y)^{2}(x - y)^{2}}{x^{2}y^{2}} \cdot \frac{1}{x + y} \cdot \frac{x^{3}}{(x - y)^{3}} = \frac{x(x + y)}{y^{2}(x - y)}$. 当$x = -\frac{1}{2}$，$y = -1$时，原式$=\frac{3}{2}$.

14. 已知$A=\frac{x^{2}+x}{x - 4}\div\frac{x^{2}-1}{x^{2}-8x + 16}$，$B=\frac{x^{2}-x}{1 - x}$.
（1）化简分式$A$；
（2）若$C = A\times\frac{1}{B}$，则当$x$取什么整数时，分式$C$的值为整数？

(1)$A=\frac{x(x + 1)}{x - 4} \div \frac{(x + 1)(x - 1)}{(x - 4)^{2}} = \frac{x(x + 1)}{x - 4} \cdot \frac{(x - 4)^{2}}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{x^{2}-4x}{x - 1}$.
(2)$C = A\times\frac{1}{B}=\frac{x^{2}-4x}{x - 1}\times\frac{1 - x}{x^{2}-x}=\frac{x - 4}{x - 1}=-(1-\frac{3}{x - 1})=\frac{3}{x - 1}-1$，要使得分式$C$的值为整数，则$x$可取$-2,0,2,4$，$\because x - 4\neq0$，$(x + 1)(x - 1)\neq0$，$x^{2}-x\neq0$，$\therefore x\neq4$且$x\neq\pm1$且$x\neq0$，$\therefore x$可取$-2$或$2$.

15.（武汉自主招生）已知$a_{1}=\frac{1}{2}$，$a_{2}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}$，$\cdots$，$a_{n}=\frac{1}{n + 1}+\frac{2}{n + 1}+\cdots+\frac{n}{n + 1}$，设$S_{n}=\frac{1}{a_{1}a_{2}}+\frac{1}{a_{2}a_{3}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}a_{n + 1}}$，则与$S_{2024}$最接近的整数为_______.

4 解析：$a_{n}=\frac{1}{n + 1}+\frac{2}{n + 1}+\cdots+\frac{n}{n + 1}=\frac{1 + 2+\cdots+n}{n + 1}=\frac{\frac{n}{2}(n + 1)}{n + 1}=\frac{n}{2}$，$\therefore a_{n + 1}=\frac{n + 1}{2}$，$\therefore a_{n}a_{n + 1}=\frac{n}{2}\times\frac{n + 1}{2}=\frac{n(n + 1)}{4}$，$\therefore \frac{1}{a_{n}a_{n + 1}}=\frac{4}{n(n + 1)}$. $S_{n}=\frac{1}{a_{1}a_{2}}+\frac{1}{a_{2}a_{3}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}a_{n + 1}} = 4[\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\cdots+\frac{1}{n(n + 1)}]=4(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}) = 4(1-\frac{1}{n + 1})=\frac{4n}{n + 1}$. 当$n = 2024$时，$S_{2024}=\frac{4\times2024}{2025}\approx4$.

16. “杂交水稻之父”袁隆平团队示范基地的“水稻1号”试验田是边长为$a$米（$a＞1$）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“水稻2号”试验田是边长为$(a - 1)$米的正方形，两块试验田的水稻都收获了1000千克.
（1）试说明哪种水稻的单位面积产量高；
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？

(1)$\because$“水稻1号”试验田是边长为$a$米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“水稻2号”试验田是边长为$(a - 1)$米的正方形，$\therefore$“水稻1号”试验田的面积为$(a^{2}-1)$平方米，“水稻2号”试验田的面积为$(a - 1)^{2}$平方米. $\because a^{2}-1-(a - 1)^{2}=a^{2}-1 - a^{2}+2a - 1 = 2(a - 1)$，由题意可知，$a ＞ 1$，$\therefore 2(a - 1)＞0$，即$a^{2}-1＞(a - 1)^{2}$. $\because$两块试验田的水稻都收获了1000千克，$\therefore$“水稻2号”试验田的单位面积产量高.
(2)$\frac{1000}{(a - 1)^{2}}\div\frac{1000}{a^{2}-1}=\frac{1000}{(a - 1)^{2}}\cdot\frac{(a + 1)(a - 1)}{1000}=\frac{a + 1}{a - 1}$. 答：高的单位面积产量是低的单位面积产量的$\frac{a + 1}{a - 1}$倍.