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9. 新视角 规律探究题 如图,点 M 在线段 AN 的延长线上,且线段 MN= 20,第一次操作：分别取线段 AM 和 AN 的中点$ M_1,N_1；$第二次操作：分别取线段$ AM_1 $和$ AN_1 $的中点$ M_2,N_2；$第三次操作：分别取线段$ AM_2 $和$ AN_2 $的中点$ M_3,N_3；$…,连续这样操作 10 次,则每次的两个中点所形成的所有线段之和$ M_1N_1+M_2N_2+M_3N_3+…+M_1₀N_1₀= ( )$
A.20-$\frac{5}{2^{8}}$
B.20+$\frac{5}{2^{8}}$
C.20-$\frac{5}{2^{9}}$
D.20+$\frac{5}{2^{9}}$
A.20-$\frac{5}{2^{8}}$
B.20+$\frac{5}{2^{8}}$
C.20-$\frac{5}{2^{9}}$
D.20+$\frac{5}{2^{9}}$
答案
A 【点拨】因为线段 MN = 20，线段 AM 和 AN 的中点为 M₁，N₁，所以 M₁N₁ = AM₁ - AN₁ = $\frac{1}{2}$AM - $\frac{1}{2}$AN = $\frac{1}{2}$(AM - AN) = $\frac{1}{2}$MN = $\frac{1}{2}$×20 = 10. 因为线段 AM₁ 和 AN₁ 的中点为 M₂，N₂，所以 M₂N₂ = AM₂ - AN₂ = $\frac{1}{2}$AM₁ - $\frac{1}{2}$AN₁ = $\frac{1}{2}$(AM₁ - AN₁) = $\frac{1}{2}$M₁N₁ = $\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×20 = $\frac{1}{2²}$×20 = 5. 因为线段 AM₂ 和 AN₂ 的中点为 M₃，N₃，所以 M₃N₃ = AM₃ - AN₃ = $\frac{1}{2}$AM₂ - $\frac{1}{2}$AN₂ = $\frac{1}{2}$M₂N₂ = $\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×20 = $\frac{1}{2³}$×20 = $\frac{5}{2}$.... 发现规律：MₙNₙ = $\frac{1}{2ⁿ}$×20. 所以 M₁N₁ + M₂N₂ + M₃N₃ + … + M₁₀N₁₀ = $\frac{1}{2}$×20 + $\frac{1}{2²}$×20 + $\frac{1}{2³}$×20 + … + $\frac{1}{2¹⁰}$×20 = 20×($\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2²}$ + $\frac{1}{2³}$ + … + $\frac{1}{2¹⁰}$) = 20×(1 - $\frac{1}{2¹⁰}$) = 20 - $\frac{5}{2⁸}$.
10. 新考法 数形结合法 如图,M 是线段 AB 上一点,AB= 10 cm,C,D 两点分别从 M,B 两点同时出发以 1 cm/s,3 cm/s 的速度沿直线 BA 向左运动.(C 在线段 AM 上,D 在线段 BM 上)
(1) 当点 C,D 运动了 1 s 时,这时图中有______条线段；
(2) 当点 C,D 运动了 2 s 时,求 AC+MD 的值；
(3) 若点 C,D 运动时,总有 MD= 3AC,求 AM 的长.
(1) 当点 C,D 运动了 1 s 时,这时图中有______条线段；
(2) 当点 C,D 运动了 2 s 时,求 AC+MD 的值；
(3) 若点 C,D 运动时,总有 MD= 3AC,求 AM 的长.
答案
【解】
(1)10
(2)当点 C，D 运动了 2s 时，CM = 2cm，BD = 6cm. 因为 AB = 10cm，所以 AC + MD = AB - CM - BD = 10 - 2 - 6 = 2(cm).
(3)因为 C，D 两点的速度分别为 1cm/s，3cm/s，所以 BD = 3CM. 又因为 MD = 3AC，所以 BD + MD = 3CM + 3AC，即 BM = 3AM. 所以 AM = $\frac{1}{4}$AB = 2.5cm.
(1)10
(2)当点 C，D 运动了 2s 时，CM = 2cm，BD = 6cm. 因为 AB = 10cm，所以 AC + MD = AB - CM - BD = 10 - 2 - 6 = 2(cm).
(3)因为 C，D 两点的速度分别为 1cm/s，3cm/s，所以 BD = 3CM. 又因为 MD = 3AC，所以 BD + MD = 3CM + 3AC，即 BM = 3AM. 所以 AM = $\frac{1}{4}$AB = 2.5cm.
11. 新视角 新定义题 如图①,点 C 在线段 AB 上,在线段 AB,BC,CA 中,若有一条线段的长度恰好是另一条线段长度的一半,则称点 C 为线段 AB 的“半分点”.
(1) 当点 C 是线段 AB 的中点时,点 C______线段 AB 的“半分点”(填“是”或“不是”)；
(2) 已知 AB= 9 cm,若点 C 为线段 AB 的“半分点”,求线段 AC 的长度；
(3) 如图②,已知点 D,O,E 是数轴上互不重合的三个点,点 O 为原点,点 D 表示的数是 t(t＞0),若这三个点中,存在一个点是另外两个点为端点的线段的“半分点”,求点 E 表示的数的最大值与最小值的差(用含 t 的式子表示),并说明理由.
(1) 当点 C 是线段 AB 的中点时,点 C______线段 AB 的“半分点”(填“是”或“不是”)；
(2) 已知 AB= 9 cm,若点 C 为线段 AB 的“半分点”,求线段 AC 的长度；
(3) 如图②,已知点 D,O,E 是数轴上互不重合的三个点,点 O 为原点,点 D 表示的数是 t(t＞0),若这三个点中,存在一个点是另外两个点为端点的线段的“半分点”,求点 E 表示的数的最大值与最小值的差(用含 t 的式子表示),并说明理由.
答案
【解】
(1)是
(2)①当 AC = $\frac{1}{2}$AB 时，因为 AB = 9cm，所以 AC = $\frac{9}{2}$cm.
②当 BC = $\frac{1}{2}$AC 时，AC = $\frac{2}{3}$AB，因为 AB = 9cm，所以 AC = 6cm.
③当 AC = $\frac{1}{2}$BC 时，AC = $\frac{1}{3}$AB，因为 AB = 9cm，所以 AC = 3cm.
综上所述，AC 的长为 $\frac{9}{2}$cm 或 6cm 或 3cm.
(3)点 E 表示的数的最大值与最小值的差为 5t. 理由如下：当点 E 在点 D 的右侧，且 DE = 2OD 时点 E 表示的数取最大值. 因为点 D 表示的数是 t(t＞0). 所以 OE = OD + DE = t + 2t = 3t，即点 E 表示的数为 3t. 当点 E 在点 O 的左侧，且 OE = 2OD 时点 E 表示的数取最小值. 因为点 D 表示的数是 t(t＞0). 所以 OE = 2t，即点 E 表示的数为 -2t. 所以点 E 表示的数的最大值与最小值的差为 3t - (-2t) = 5t.
(1)是
(2)①当 AC = $\frac{1}{2}$AB 时，因为 AB = 9cm，所以 AC = $\frac{9}{2}$cm.
②当 BC = $\frac{1}{2}$AC 时，AC = $\frac{2}{3}$AB，因为 AB = 9cm，所以 AC = 6cm.
③当 AC = $\frac{1}{2}$BC 时，AC = $\frac{1}{3}$AB，因为 AB = 9cm，所以 AC = 3cm.
综上所述，AC 的长为 $\frac{9}{2}$cm 或 6cm 或 3cm.
(3)点 E 表示的数的最大值与最小值的差为 5t. 理由如下：当点 E 在点 D 的右侧，且 DE = 2OD 时点 E 表示的数取最大值. 因为点 D 表示的数是 t(t＞0). 所以 OE = OD + DE = t + 2t = 3t，即点 E 表示的数为 3t. 当点 E 在点 O 的左侧，且 OE = 2OD 时点 E 表示的数取最小值. 因为点 D 表示的数是 t(t＞0). 所以 OE = 2t，即点 E 表示的数为 -2t. 所以点 E 表示的数的最大值与最小值的差为 3t - (-2t) = 5t.
