10. 【尝试】
(1) 比较大小(用“$＞$”“$＜$”“$=$”“$\geqslant$”或“$\leqslant$”填空)：
①$\left|-2\right|+\left|3\right|$______$\left|-2 + 3\right|$；
②$\left|-6\right|+\left|4\right|$______$\left|-6 + 4\right|$；
③$\left|-3\right|+\left|-4\right|$______$\left|-3 - 4\right|$；
④$\left|0\right|+\left|-7\right|$______$\left|0 - 7\right|$.
【归纳】
(2) 观察上面的数量关系,可以得到$\left|a\right|+\left|b\right|$______$\left|a + b\right|$(用“$＞$”“$＜$”“$=$”“$\geqslant$”或“$\leqslant$”填空).
【应用】
(3) 利用上面得到的结论解决下面问题：若$\left|m\right|+\left|n\right|=16$,$\left|m + n\right|=2$,则 $m= $______.
【拓展】
(4) 当 $a$,$b$,$c$ 满足什么条件时,$\left|a\right|+\left|b\right|+\left|c\right|＞\left|a + b + c\right|$？

【解】
(1)①＞ ②＞ ③= ④=
(2)≥
(3)±9或±7 【点拨】因为|m|+|n|=16，|m+n|=2，所以易知m，n异号.①当m为正数，n为负数时，则|m|+|n|=m-n=16，即n=m-16.将n=m-16代入|m+n|=2，得|m+m-16|=2，解得m=9或7，符合题意；②当m为负数，n为正数时，则|m|+|n|=-m+n=16，即n=m+16.将n=m+16代入|m+n|=2，得|m+m+16|=2，解得m=-9或-7，符合题意.综上，m=±9或±7.
(4)由题意，分以下四种情况：
第一种：当a，b，c三个数都不等于0时，
①1个正数，2个负数，此时|a|+|b|+|c|＞|a+b+c|；
②2个正数，1个负数，此时|a|+|b|+|c|＞|a+b+c|；
③3个正数，此时|a|+|b|+|c|=|a+b+c|，不合题意，舍去；
④3个负数，此时|a|+|b|+|c|=|a+b+c|，不合题意，舍去.
第二种：当a，b，c三个数中有1个等于0时，
①1个0，2个正数，此时|a|+|b|+|c|=|a+b+c|，不合题意，舍去；
②1个0，2个负数，此时|a|+|b|+|c|=|a+b+c|，不合题意，舍去；
③1个0，1个正数，1个负数，此时|a|+|b|+|c|＞|a+b+c|.
第三种：当a，b，c三个数中有2个等于0时，
①2个0，1个正数，此时|a|+|b|+|c|=|a+b+c|，不合题意，舍去；
②2个0，1个负数，此时|a|+|b|+|c|=|a+b+c|，不合题意，舍去.
第四种：当a，b，c三个数都等于0时，此时|a|+|b|+|c|=|a+b+c|，不合题意，舍去.
综上，当a，b，c中有1个正数，2个负数或2个正数，1个负数或1个0，1个正数，1个负数时，|a|+|b|+|c|＞|a+b+c|.

11. 观察下列等式：
$\frac{1}{1×2}= 1-\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2×3}= \frac{1}{2}-\frac{1}{3}$,$\frac{1}{3×4}= \frac{1}{3}-\frac{1}{4}$.
将以上三个等式两边分别相加得$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}= 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}= \frac{3}{4}$.
(1) 猜想并写出：$\frac{1}{n×(n + 1)}= $______.
(2) 直接写出计算结果：$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{999×1000}= $______.
(3) 探究并计算,请写出计算过程：
①$\frac{1}{2×4}+\frac{1}{4×6}+\frac{1}{6×8}+…+\frac{1}{500×502}$；
②$-\frac{1}{1×4}-\frac{1}{4×7}-\frac{1}{7×10}-…-\frac{1}{997×1000}$.

【解】
(1)$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
(2)$\frac{999}{1000}$ 【点拨】$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{999×1000}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{999}$-$\frac{1}{1000}$=1-$\frac{1}{1000}$=$\frac{999}{1000}$.
(3)①$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+$\frac{1}{6×8}$+…+$\frac{1}{500×502}$=$\frac{1}{2}$×($\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{500}$-$\frac{1}{502}$)=$\frac{1}{2}$×($\frac{1}{2}$-$\frac{1}{502}$)=$\frac{1}{2}$×$\frac{250}{502}$=$\frac{125}{502}$.
②-$\frac{1}{1×4}$-$\frac{1}{4×7}$-$\frac{1}{7×10}$-…-$\frac{1}{997×1000}$=-$\frac{1}{3}$×(1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{10}$+…+$\frac{1}{997}$-$\frac{1}{1000}$)=-$\frac{1}{3}$×(1-$\frac{1}{1000}$)=-$\frac{1}{3}$×$\frac{999}{1000}$=-$\frac{333}{1000}$.