典例5 如图，△ABC是锐角三角形，BD，CE分别是△ABC的边AC，AB上的高，点P在BD的延长线上，CA = BP，点Q在CE上，QC = AB.

（1）判断：∠1_______∠2（填“＞”“＜”或“ = ”）.
（2）探究PA与AQ之间的关系，并说明理由.
（3）若将题干中的△ABC改为钝角三角形，AC＞AB，∠A是钝角，其他条件不变，请画出图形并探究PA与AQ之间的关系.
备用图

(1) $=$．(2) $PA = AQ$，$PA\perp AQ$．理由：$\because BD$，$CE$分别是$\triangle ABC$的边$AC$，$AB$上的高，$\therefore BD\perp AC$，$CE\perp AB$．$\therefore \angle 1+\angle CAB = 90^{\circ}$，$\angle 2+\angle CAB = 90^{\circ}$．$\therefore \angle 1=\angle 2$．在$\triangle QAC$和$\triangle APB$中，$\begin{cases} QC = AB, \\ \angle 1=\angle 2, \\ CA = BP, \end{cases}$ $\therefore \triangle QAC\cong \triangle APB(SAS)$．$\therefore AQ = PA$，$\angle QAC=\angle P$．$\because \angle DAP+\angle P = 90^{\circ}$，$\therefore \angle DAP+\angle QAC = 90^{\circ}$，即$\angle QAP = 90^{\circ}$．$\therefore PA\perp AQ$．$\therefore PA = AQ$，$PA\perp AQ$．(3) 画出图形如图所示．$\because BD$，$CE$分别是$\triangle ABC$的边$AC$，$AB$上的高，$\therefore BD\perp AC$，$CE\perp AB$．$\therefore \angle 1+\angle CAE = 90^{\circ}$，$\angle 2+\angle DAB = 90^{\circ}$．$\because \angle CAE =\angle DAB$，$\therefore \angle 1=\angle 2$．在$\triangle QAC$和$\triangle APB$中，$\begin{cases} QC = AB, \\ \angle 1=\angle 2, \\ CA = BP, \end{cases}$ $\therefore \triangle QAC\cong \triangle APB(SAS)$．$\therefore AQ = PA$，$\angle QAC=\angle P$．$\because \angle PDA = 90^{\circ}$，$\therefore \angle P+\angle PAD = 90^{\circ}$．$\therefore \angle QAC+\angle PAD = 90^{\circ}$．$\therefore \angle QAP = 90^{\circ}$．$\therefore PA\perp AQ$．$\therefore PA = AQ$，$PA\perp AQ$．

1.（2024·扬州邗江二模）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图，在∠AOB的边OA，OB上分别取OM = ON，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与点M，N重合，得到∠AOB的平分线OP. 做法中用到三角形全等的判定方法是（ ）
A. SSS
B. SAS
C. ASA
D. HL
　

A

2.（2024·苏州模拟）如图，在由相同的小正方形组成的网格图中，点A，B，C，D均在格点（网格线的交点）上，则∠B + ∠D等于（ ）
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°
　

B

3.（2024·常州一模）如图，在由相同的小正方形组成的网格图中，点A，B，C，D，E，M，N，P均在格点（网格线的交点）上. 若△MNP≌△MEQ，则点Q可能是A，B，C，D四点中的______.
　

D

4. 如图，AB = DE，∠A = ∠D，请你添加一个条件：__________，使△ABC≌△DEC.
　　　　　　　　　

答案不唯一，如$AC = DC$

5.（2023·苏州）如图，在△ABC中，AB = AC，AD为△ABC的角平分线. 以点A为圆心，AD长为半径画弧，与边AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF.
（1）求证：△ADE≌△ADF；
（2）若∠BAC = 80°，求∠BDE的度数.
　　　　　　　　　　　　　　

(1) $\because AD$是$\triangle ABC$的角平分线，$\therefore \angle EAD=\angle FAD$。由作图知，$AE = AF$。在$\triangle ADE$和$\triangle ADF$中，$\begin{cases}AE = AF,\\\angle EAD=\angle FAD,\\AD = AD,\end{cases}$
$\therefore \triangle ADE\cong \triangle ADF(SAS)$
(2) $\because \angle BAC = 80^{\circ}$，$AD$为$\triangle ABC$的角平分线，$\therefore \angle EAD=\frac{1}{2}\angle BAC = 40^{\circ}$。由作图知，$AE = AD$，$\therefore \angle AED=\angle ADE$。$\therefore \angle ADE=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle EAD)=\frac{1}{2}\times(180^{\circ} - 40^{\circ}) = 70^{\circ}$。$\because AB = AC$，$AD$为$\triangle ABC$的角平分线，$\therefore AD\perp BC$。$\therefore \angle ADB = 90^{\circ}$。$\therefore \angle BDE = \angle ADB-\angle ADE = 90^{\circ}-70^{\circ}=20^{\circ}$