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3. 图形计算。
(1)求下右图中涂色部分的面积。
(2)求下面右边立体图形的体积。
(1)求下右图中涂色部分的面积。
(2)求下面右边立体图形的体积。
答案
3.(1)3.14×3²÷2 - 3×3÷2 = 9.63(cm²)
(2)3.14×(6÷2)²×(3 + 7) = 282.6(dm³)
3.14×(6÷2)²×7÷3 = 65.94(dm³)
282.6 - 65.94 = 216.66(dm³)
解析(1)涂色部分的面积 = 半圆的面积 - 等腰直角三角形的面积。半圆的面积是3.14×3²÷2 = 14.13(cm²)，等腰直角三角形的面积是3×3÷2 = 4.5(cm²)，所以涂色部分的面积是14.13 - 4.5 = 9.63(cm²)。
(2)立体图形的体积 = 圆柱的体积 - 圆锥的体积。圆柱的体积是3.14×(6÷2)²×(3 + 7) = 282.6(dm³)，圆锥的体积是3.14×(6÷2)²×7÷3 = 65.94(dm³)，所以立体图形的体积是282.6 - 65.94 = 216.66(dm³)。
(2)3.14×(6÷2)²×(3 + 7) = 282.6(dm³)
3.14×(6÷2)²×7÷3 = 65.94(dm³)
282.6 - 65.94 = 216.66(dm³)
解析(1)涂色部分的面积 = 半圆的面积 - 等腰直角三角形的面积。半圆的面积是3.14×3²÷2 = 14.13(cm²)，等腰直角三角形的面积是3×3÷2 = 4.5(cm²)，所以涂色部分的面积是14.13 - 4.5 = 9.63(cm²)。
(2)立体图形的体积 = 圆柱的体积 - 圆锥的体积。圆柱的体积是3.14×(6÷2)²×(3 + 7) = 282.6(dm³)，圆锥的体积是3.14×(6÷2)²×7÷3 = 65.94(dm³)，所以立体图形的体积是282.6 - 65.94 = 216.66(dm³)。
4. 方格图中每个小正方形的边长都是1 cm。
(1)图中的①号三角形按():()缩小后得到②号三角形。
(2)画出②号三角形绕点$A$顺时针旋转$90°$后得到的图形。
(3)把长方形向下平移4格后,点$C$的位置可以用数对( , )表示。如果这幅方格图的比例尺是$1:2500$,那么线段$CD$的实际长度是()m。
(4)在图中空白处设计一个轴对称图形。
(1)图中的①号三角形按():()缩小后得到②号三角形。
(2)画出②号三角形绕点$A$顺时针旋转$90°$后得到的图形。
(3)把长方形向下平移4格后,点$C$的位置可以用数对( , )表示。如果这幅方格图的比例尺是$1:2500$,那么线段$CD$的实际长度是()m。
(4)在图中空白处设计一个轴对称图形。
答案
4.(1)1 3 (2)见下图
(3)(9,3) 125 (4)见下图(画法不唯一)
解析(1)观察题图可知，②号三角形的各边是①号三角形各边缩小到它的$\frac{1}{3}$后得到的，所以②号三角形是①号三角形按1:3缩小后得到的。
(2)见答图。
(3)用数对表示位置时，一般先表示第几列，再表示第几行。由题可知，长方形向下平移4格后，点C在第9列、第3行，所以点C的位置可以用数对(9,3)表示。已知方格图的比例尺是1:2500，线段CD的图上长度是5cm，根据“实际长度 = 图上长度÷比例尺”可知，线段CD的实际长度是5÷$\frac{1}{2500}$ = 12500(cm) = 125(m)。
(4)设计轴对称图形，应先确定对称轴，使设计的图形的对称点到对称轴的距离相等，再顺次连接各点。本题答案不唯一。
5. 王大爷和李奶奶借着一面墙,分别用40 m长的篱笆围成了一块梯形菜地(如图)。谁围的菜地面积更大？大多少平方米？
答案
5.(40 - 10)×8÷2 = 120(m²)
(40 - 10)×10÷2 = 150(m²)
120m²＜150m²，李奶奶
150 - 120 = 30(m²)
李奶奶围的菜地面积更大，大30平方米。
解析王大爷围的菜地和李奶奶围的菜地都是梯形，且他们的菜地的上底与下底的和都是40 - 10 = 30(m)。王大爷围的菜地的高是8m，李奶奶围的菜地的高是10m，所以王大爷围的菜地的面积是(40 - 10)×8÷2 = 120(m²)，李奶奶围的菜地的面积是(40 - 10)×10÷2 = 150(m²)。120m²＜150m²，所以李奶奶围的菜地面积更大，大150 - 120 = 30(m²)。
(40 - 10)×10÷2 = 150(m²)
120m²＜150m²，李奶奶
150 - 120 = 30(m²)
李奶奶围的菜地面积更大，大30平方米。
解析王大爷围的菜地和李奶奶围的菜地都是梯形，且他们的菜地的上底与下底的和都是40 - 10 = 30(m)。王大爷围的菜地的高是8m，李奶奶围的菜地的高是10m，所以王大爷围的菜地的面积是(40 - 10)×8÷2 = 120(m²)，李奶奶围的菜地的面积是(40 - 10)×10÷2 = 150(m²)。120m²＜150m²，所以李奶奶围的菜地面积更大，大150 - 120 = 30(m²)。
6. 如图,一个盛有水的圆柱形玻璃容器内部的底面半径为10 cm,水面高度为12 cm。把一根底面半径为2 cm的玻璃棒垂直插入水中后,容器内的水面将升高多少厘米？
答案
6.3.14×10²×12÷(3.14×10² - 3.14×2²) = 12.5(cm)
12.5 - 12 = 0.5(cm)
解析玻璃棒垂直插入水中后，水与容器底面接触的面积是3.14×10² - 3.14×2² = 301.44(cm²)，那么现在容器内水面的高度是3.14×10²×12÷301.44 = 12.5(cm)，水面升高了12.5 - 12 = 0.5(cm)。
12.5 - 12 = 0.5(cm)
解析玻璃棒垂直插入水中后，水与容器底面接触的面积是3.14×10² - 3.14×2² = 301.44(cm²)，那么现在容器内水面的高度是3.14×10²×12÷301.44 = 12.5(cm)，水面升高了12.5 - 12 = 0.5(cm)。
7.【拓展题】如图1,在一个底面积为$100\ \mathrm{cm}^2$、高为20 cm的长方体水槽内放入一个圆柱形烧杯。以固定的速度先向烧杯中注水,注满烧杯后继续注水,直至注满水槽为止。在此过程中,烧杯的质量、体积忽略不计,烧杯的位置始终不变,水槽中水面上升的高度$h$(cm)与注水时间$t$(秒)之间的关系如图2所示。
(1)图2中点(
(2)求这个烧杯的底面积。
(1)图2中点(
A
)表示烧杯中刚好注满水,点(B
)表示水槽中的水面高度正好与烧杯中的水面高度齐平。(2)求这个烧杯的底面积。
答案
7.(1)A B (2)100×$\frac{18}{90}$ = 20(cm²)
解析(1)图2中的h是水槽中水面上升的高度，只有烧杯注满水后水溢到水槽中，h才会开始上升，所以点A表示烧杯中刚好注满水。已知水的流量速度恒定不变，即每秒注水的体积相同，高 = 体积÷底面积，所以水每秒上升的高度与水的底面积有关。水槽中的水面没有与烧杯中的水面齐平前，水上升时的底面积 = 水槽的底面积 - 烧杯的底面积，水槽中的水面与烧杯中的水面齐平后，水上升时的底面积 = 水槽的底面积。比较可得，水面齐平前水上升时的底面积＜水面齐平后水上升时的底面积，所以水面齐平前水每秒上升的高度＞水面齐平后水每秒上升的高度，即在水面齐平前、后水面上升的速度不同，观察图2可以发现，在点B处水面上升的速度出现变化，所以点B表示水槽中的水面正好与烧杯中的水面齐平。
(2)0~18秒表示水注满烧杯所用的时间，0~90秒可以表示往空水槽中(不放入烧杯)注水至与烧杯中水面等高所用的时间。因为底面积 = 体积÷高，所以在高度相等时，烧杯底面积:水槽底面积 = 烧杯中水的体积:水槽中水的体积。因为每秒注水的体积相同，所以烧杯中水的体积:水槽中水的体积 = 注满烧杯所用时间:空水槽中水面与烧杯中水面等高所用时间 = 18:90。综上可得，烧杯底面积:水槽底面积 = 18:90，所以烧杯的底面积 = 水槽底面积×$\frac{18}{90}$ = 100×$\frac{18}{90}$ = 20(cm²)。
解析(1)图2中的h是水槽中水面上升的高度，只有烧杯注满水后水溢到水槽中，h才会开始上升，所以点A表示烧杯中刚好注满水。已知水的流量速度恒定不变，即每秒注水的体积相同，高 = 体积÷底面积，所以水每秒上升的高度与水的底面积有关。水槽中的水面没有与烧杯中的水面齐平前，水上升时的底面积 = 水槽的底面积 - 烧杯的底面积，水槽中的水面与烧杯中的水面齐平后，水上升时的底面积 = 水槽的底面积。比较可得，水面齐平前水上升时的底面积＜水面齐平后水上升时的底面积，所以水面齐平前水每秒上升的高度＞水面齐平后水每秒上升的高度，即在水面齐平前、后水面上升的速度不同，观察图2可以发现，在点B处水面上升的速度出现变化，所以点B表示水槽中的水面正好与烧杯中的水面齐平。
(2)0~18秒表示水注满烧杯所用的时间，0~90秒可以表示往空水槽中(不放入烧杯)注水至与烧杯中水面等高所用的时间。因为底面积 = 体积÷高，所以在高度相等时，烧杯底面积:水槽底面积 = 烧杯中水的体积:水槽中水的体积。因为每秒注水的体积相同，所以烧杯中水的体积:水槽中水的体积 = 注满烧杯所用时间:空水槽中水面与烧杯中水面等高所用时间 = 18:90。综上可得，烧杯底面积:水槽底面积 = 18:90，所以烧杯的底面积 = 水槽底面积×$\frac{18}{90}$ = 100×$\frac{18}{90}$ = 20(cm²)。
