典例6（2024·苏州张家港模拟）定义：若一个函数的图像上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图像的“平衡点”. 例如，$(-1,1)$是函数$y = x + 2$的图像的“平衡点”.
（1）有下列函数：①$y = - x + 3$；②$y = \frac{3}{x}$；③$y = - x^{2} + 2x + 1$；④$y = x^{2} + x + 7$. 其中，函数图像上存在“平衡点”的是________（填序号）.
（2）设函数$y = - \frac{4}{x}(x ＞ 0)$与$y = 2x + b$的图像的“平衡点”分别为$A$，$B$，过点$A$作$AC\perp y$轴，垂足为$C$. 当$\triangle ABC$为等腰三角形时，求$b$的值.
（3）若将函数$y = x^{2} + 2x$的图像绕$y$轴上一点$M$旋转$180^{\circ}$，点$M$在点$(0,-1)$下方，当旋转后的图像上恰有1个“平衡点”时，求点$M$的坐标.
[思路点拨]（1）根据“平衡点”的定义判断.（2）分别求出$A$，$B$，$C$三点的坐标，再利用两点间的距离公式，得到$AB^{2}$，$BC^{2}$，$AC^{2}$的式子，最后根据等腰三角形分类构造方程求解.（3）设点$M$的坐标为$(0,m)$，$m ＜ - 1$，求出旋转后的图像对应的函数表达式，再根据图像上恰有1个“平衡点”，可得相关一元二次方程根的判别式为0，得到方程求解.

（1）③.（2）在$y = -\frac{4}{x}$中，令$y = - x$，得$-x = -\frac{4}{x}$，解得$x = 2$或$x = - 2$.$\because x＞0$，$\therefore x = 2$.$\therefore$点$A$的坐标为$(2,-2)$.在$y = 2x + b$中，令$y = - x$，得$-x = 2x + b$，解得$x = -\frac{b}{3}$.$\therefore$点$B$的坐标为$(-\frac{b}{3},\frac{b}{3})$.$\because AC\perp y$轴，垂足为$C$，$\therefore$点$C$的坐标为$(0,-2)$.$\therefore AB^{2}=2(2+\frac{b}{3})^{2}$，$BC^{2}=\frac{b^{2}}{9}+(2+\frac{b}{3})^{2}$，$AC^{2}=4$.若$AB = BC$，则$2(2+\frac{b}{3})^{2}=\frac{b^{2}}{9}+(2+\frac{b}{3})^{2}$，解得$b = - 3$.若$AB = AC$，则$2(2+\frac{b}{3})^{2}=4$，解得$b = - 3\sqrt{2}-6$或$b = 3\sqrt{2}-6$.若$BC = AC$，则$\frac{b^{2}}{9}+(2+\frac{b}{3})^{2}=4$，解得$b = 0$或$b = - 6$（此时点$A$，$B$重合，舍去）.综上所述，$b$的值为$-3$或$-3\sqrt{2}-6$或$3\sqrt{2}-6$或$0$.（3）设点$M$的坐标为$(0,m)$，$m＜-1$.$\because y = x^{2}+2x=(x + 1)^{2}-1$，$\therefore$二次函数$y = x^{2}+2x$图像的顶点坐标为$(-1,-1)$.$\therefore$易得点$(-1,-1)$关于点$M(0,m)$对称的点的坐标为$(1,2m + 1)$.$\therefore$旋转后的图像对应的函数表达式为$y = -(x - 1)^{2}+2m + 1=-x^{2}+2x + 2m$.在$y = -x^{2}+2x + 2m$中，令$y = - x$，得$-x = -x^{2}+2x + 2m$，即$x^{2}-3x - 2m = 0$.$\because$旋转后的图像上恰有$1$个“平衡点”，$\therefore$关于$x$的方程$x^{2}-3x - 2m = 0$有两个相等的实数根.$\therefore b^{2}-4ac = 0$，即$9 + 8m = 0$，解得$m = -\frac{9}{8}$.$\therefore$点$M$的坐标为$(0,-\frac{9}{8})$.