3. (2023·巴中中考)在平面直角坐标系中,抛物线$y= ax^{2}+bx+c(a≠0)$经过点$A(-1,0)$和$B(0,3)$,其顶点的横坐标为1.
(1)求抛物线的表达式.
(2)若直线$x= m$与x轴交于点N,在第一象限内与抛物线交于点M,当m取何值时,使得$AN+MN$有最大值,并求出最大值.
(3)若点P为抛物线$y= ax^{2}+bx+c(a≠0)$的对称轴上一动点,将抛物线向左平移1个单位长度后,Q为平移后抛物线上一动点.在(2)的条件下求得的点M,是否能与A、P、Q构成平行四边形? 若能构成,求出Q点坐标;若不能构成,请说明理由.
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4. (2022·黔东南中考)如图,抛物线$y= ax^{2}+2x+c$的对称轴是直线$x= 1$,与x轴交于点A、$B(3,0)$,与y轴交于点C,连接AC.
(1)求此抛物线的表达式.
(2)已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点,过点D作$DM⊥x$轴,垂足为点M,DM交直线BC于点N,是否存在这样的点N,使得以A、C、N为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请求出点N的坐标,若不存在,请说明理由.
(3)已知点E是抛物线对称轴上的点,在坐标平面内是否存在点F,使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形,若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
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