1. (2023·宁夏中考)如图,抛物线$y = ax^{2}+bx + 3(a\neq0)$与$x$轴交于$A$、$B$两点,与$y$轴交于点$C$.已知点$A$的坐标是$(-1,0)$,抛物线的对称轴是直线$x = 1$.
(1)直接写出点$B$的坐标.
(2)在对称轴上找一点$P$,使$PA + PC$的值最小.求点$P$的坐标和$PA + PC$的最小值.
(3)第一象限内的抛物线上有一动点$M$,过点$M$作$MN\perp x$轴,垂足为$N$,连接$BC$交$MN$于点$Q$.依题意补全图形,当$MQ+\sqrt{2}CQ$的值最大时,求点$M$的坐标.
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(1)直接写出点$B$的坐标.
(2)在对称轴上找一点$P$,使$PA + PC$的值最小.求点$P$的坐标和$PA + PC$的最小值.
(3)第一象限内的抛物线上有一动点$M$,过点$M$作$MN\perp x$轴,垂足为$N$,连接$BC$交$MN$于点$Q$.依题意补全图形,当$MQ+\sqrt{2}CQ$的值最大时,求点$M$的坐标.
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答案
2. (2022·淮安中考)如图①,二次函数$y= -x^{2}+bx + c$的图像与$x$轴交于$A$、$B$两点,与$y$轴交于$C$点,点$B$的坐标为$(3,0)$,点$C$的坐标为$(0,3)$,直线$l$经过$B$、$C$两点.
(1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标；
(2)点$P$为直线$l$上的一点,过点$P$作$x$轴的垂线与该二次函数的图像相交于点$M$,再过点$M$作$y$轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点$N$,当$PM= \frac{1}{2}MN$时,求点$P$的横坐标；
(3)如图②,点$C$关于$x$轴的对称点为点$D$,点$P$为线段$BC$上的一个动点,连接$AP$,点$Q$为线段$AP$上一点,且$AQ = 3PQ$,连接$DQ$,当$3AP + 4DQ$的值最小时,直接写出$DQ$的长.
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(1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标；
(2)点$P$为直线$l$上的一点,过点$P$作$x$轴的垂线与该二次函数的图像相交于点$M$,再过点$M$作$y$轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点$N$,当$PM= \frac{1}{2}MN$时,求点$P$的横坐标；
(3)如图②,点$C$关于$x$轴的对称点为点$D$,点$P$为线段$BC$上的一个动点,连接$AP$,点$Q$为线段$AP$上一点,且$AQ = 3PQ$,连接$DQ$,当$3AP + 4DQ$的值最小时,直接写出$DQ$的长.
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答案
