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1[2025 淄博期末]在边长为 $ a $ 的正方形中挖去一个边长为 $ b $ 的小正方形 $ (a ＞ b $，如图 1)，把余下的部分拼成一个长方形(如图 2)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式(
A.$ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $
B.$ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $
C.$ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) $
D.$ (a + b)(a - 2b) = a^2 - ab - 2b^2 $
C
)A.$ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $
B.$ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $
C.$ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) $
D.$ (a + b)(a - 2b) = a^2 - ab - 2b^2 $
答案
1 C
2[2025 镇江京口区期中]在数学实践课上，“智慧小组”将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，以下拼法中，不能够验证平方差公式的是(
]
D
)]
答案
2 D 列表分析如下：
| | 分析 | 结论 |
| --- | --- | --- |
| A 项 | 原图阴影部分面积为 $ a^{2}-b^{2} $，拼后新图形是平行四边形，其中底为 $ a + b $，底边上的高为 $ a - b $，则阴影部分面积为 $ (a + b) · (a - b) $，则有 $ (a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2} $。 | 可以验证平方差公式 |
| B 项 | 原图阴影部分面积为 $ a^{2}-b^{2} $，拼后新图形是长方形，其长为 $ a + b $，宽为 $ a - b $，则阴影部分面积为 $ (a + b)(a - b) $，则有 $ (a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2} $。 | 可以验证平方差公式 |
| C 项 | 原图阴影部分面积为 $ a^{2}-b^{2} $，拼后新图形是由两个相同的直角梯形组成的平行四边形，其底为 $ a + b $，底边上的高为 $ a - b $，则阴影部分面积为 $ (a + b)(a - b) $，则有 $ (a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2} $。 | 可以验证平方差公式 |
| D 项 | 原图阴影部分面积为 $ (a + b)^{2}-(a - b)^{2} $，拼后新图形是由四个相同长方形组成的大长方形，其长为 $ 2a $，宽为 $ 2b $，阴影部分面积为 $ 4ab $，则有 $ (a + b)^{2}-(a - b)^{2}=4ab $。 | 不能验证平方差公式 |
| | 分析 | 结论 |
| --- | --- | --- |
| A 项 | 原图阴影部分面积为 $ a^{2}-b^{2} $，拼后新图形是平行四边形，其中底为 $ a + b $，底边上的高为 $ a - b $，则阴影部分面积为 $ (a + b) · (a - b) $，则有 $ (a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2} $。 | 可以验证平方差公式 |
| B 项 | 原图阴影部分面积为 $ a^{2}-b^{2} $，拼后新图形是长方形，其长为 $ a + b $，宽为 $ a - b $，则阴影部分面积为 $ (a + b)(a - b) $，则有 $ (a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2} $。 | 可以验证平方差公式 |
| C 项 | 原图阴影部分面积为 $ a^{2}-b^{2} $，拼后新图形是由两个相同的直角梯形组成的平行四边形，其底为 $ a + b $，底边上的高为 $ a - b $，则阴影部分面积为 $ (a + b)(a - b) $，则有 $ (a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2} $。 | 可以验证平方差公式 |
| D 项 | 原图阴影部分面积为 $ (a + b)^{2}-(a - b)^{2} $，拼后新图形是由四个相同长方形组成的大长方形，其长为 $ 2a $，宽为 $ 2b $，阴影部分面积为 $ 4ab $，则有 $ (a + b)^{2}-(a - b)^{2}=4ab $。 | 不能验证平方差公式 |
3[2024 沈阳市虹桥初级中学月考]若 $ N = (3a + 4b)^2 - (3a - 4b)^2 $，则 $ N $ 表示的代数式是(
A.$ 24ab $
B.$ -24ab $
C.$ 48ab $
D.$ -48ab $
C
)A.$ 24ab $
B.$ -24ab $
C.$ 48ab $
D.$ -48ab $
答案
3 C $ N=(3a + 4b)^{2}-(3a - 4b)^{2}=[(3a + 4b)+(3a - 4b)][(3a + 4b)-(3a - 4b)]=6a×8b = 48ab $。
4[2024 九江期末]若 $ 102^2 - m = 98^2 - 1 $，则 $ m $ 的值是(
A.$ 100 $
B.$ 799 $
C.$ 800 $
D.$ 801 $
D
)A.$ 100 $
B.$ 799 $
C.$ 800 $
D.$ 801 $
答案
4 D 因为 $ 102^{2}-m = 98^{2}-1 $，所以 $ m = 102^{2}-98^{2}+1=(102 + 98)(102 - 98)+1 = 200×4 + 1 = 800 + 1 = 801 $。
5[2024 邯郸育华实验学校二模]将 $ 2024 × 2026 $ 变形正确的是(
A.$ 2025^2 - 1 $
B.$ 2025^2 + 1 $
C.$ 2025^2 + 2 × 2025 + 1 $
D.$ 2025^2 - 2 × 2025 + 1 $
A
)A.$ 2025^2 - 1 $
B.$ 2025^2 + 1 $
C.$ 2025^2 + 2 × 2025 + 1 $
D.$ 2025^2 - 2 × 2025 + 1 $
答案
5 A $ 2024×2026=(2025 - 1)×(2025 + 1)=2025^{2}-1 $。
6[2025 无锡月考]为了美化校园环境，学校将正方形花坛的一组对边各增加 $ 3 \, \mathrm{m} $，另一组对边各减少 $ 3 \, \mathrm{m} $，则所得长方形花坛的面积与原来相比(
A.减少了 $ 9 \, \mathrm{m}^2 $
B.增加了 $ 9 \, \mathrm{m}^2 $
C.保持不变
D.无法确定
A
)A.减少了 $ 9 \, \mathrm{m}^2 $
B.增加了 $ 9 \, \mathrm{m}^2 $
C.保持不变
D.无法确定
答案
6 A 设原正方形花坛的边长为 $ a m $，则正方形花坛的面积为 $ a^{2}m^{2} $，长方形花坛的长和宽分别为 $ (a + 3)m $，$ (a - 3)m $，所以长方形花坛的面积为 $ (a + 3)(a - 3)=(a^{2}-9)m^{2} $。因为 $ a^{2}-(a^{2}-9)=9m^{2} $，所以与原来相比减少了 $ 9m^{2} $。
7(1)当 $ x = -3 $，$ y = 2024 $ 时，式子 $ (x + y)(x - y) + y^2 $ 的值是
(2)已知 $ x^2 - y^2 = 4 $，则 $ (x + y)^3(x - y)^3 $ 的值是
9
；(2)已知 $ x^2 - y^2 = 4 $，则 $ (x + y)^3(x - y)^3 $ 的值是
64
。答案
7 (1)9；(2)64 (1) $ (x + y)(x - y)+y^{2}=x^{2}-y^{2}+y^{2}=x^{2}=(-3)^{2}=9 $。(2) $ (x + y)^{3}(x - y)^{3}=[(x + y)(x - y)]^{3}=(x^{2}-y^{2})^{3}=4^{3}=64 $。
8教材 P20T1 变式 计算：
(1)[2024 四平期末] $ (1 + 3x)(3x - 1) + 9(\frac{1}{3} - x)(x + \frac{1}{3}) $；
(2)[2024 西安长安区月考] $ 99.8 × 100.2 $。
(1)[2024 四平期末] $ (1 + 3x)(3x - 1) + 9(\frac{1}{3} - x)(x + \frac{1}{3}) $；
(2)[2024 西安长安区月考] $ 99.8 × 100.2 $。
答案
8 解：(1) $ (1 + 3x)(3x - 1)+9(\frac{1}{3}-x)(x+\frac{1}{3}) $
$ =9x^{2}-1 + 9(\frac{1}{9}-x^{2}) $
$ =9x^{2}-1 + 1 - 9x^{2} $
$ =0 $。
(2) $ 99.8×100.2 $
$ =(100 - 0.2)×(100 + 0.2) $
$ =100^{2}-0.2^{2} $
$ =10000 - 0.04 $
$ =9999.96 $。
$ =9x^{2}-1 + 9(\frac{1}{9}-x^{2}) $
$ =9x^{2}-1 + 1 - 9x^{2} $
$ =0 $。
(2) $ 99.8×100.2 $
$ =(100 - 0.2)×(100 + 0.2) $
$ =100^{2}-0.2^{2} $
$ =10000 - 0.04 $
$ =9999.96 $。
