10 [新趋势·代数推理][2025 南阳期末]发现 两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和。
验证 如$ (2+1)^{2}+(2-1)^{2}=10 $为偶数。请把 10 的一半表示为两个正整数的平方和。
探究 设“发现”中的两个已知正整数为$ m $，$ n $，请论证“发现”中的结论正确。

10 解：验证 10 的一半为 5，则$5 = 1 + 4 = 1^{2}+2^{2}$。
探究 $(m + n)^{2}+(m - n)^{2}$
$=m^{2}+2mn + n^{2}+m^{2}-2mn + n^{2}$
$=2m^{2}+2n^{2}$
$=2(m^{2}+n^{2})$。
因为$m$，$n$为正整数，所以$(m^{2}+n^{2})$也为正整数，所以$2(m^{2}+n^{2})$一定为偶数，且$2(m^{2}+n^{2})$的一半$(m^{2}+n^{2})$正好是两个正整数的平方和。
所以“发现”中的结论正确。

11 [2025 吉安八中月考]用“$ \cup $”“$ ∩ $”定义两种新运算：对于两数$ a, b $，规定$ a \cup b=10^{a} × 10^{b} $，$ a ∩ b=10^{a} ÷ 10^{b} $。例如：$ 3 \cup 2=10^{3} × 10^{2}=10^{5}, 3 ∩ 2=10^{3} ÷ 10^{2}=10 $。
(1)求 1 039 $ \cup $ 986 的值；
(2)求 2 025 $ ∩ $ 2 023 的值；
(3)当$ x $为何值时，$ x \cup 5 $的值与 23 $ ∩ $ 17 的值相等？

11 解：（1）$1039 \cup 986 = 10^{1039} × 10^{986}=10^{2025}$。
（2）$2025 ∩ 2023 = 10^{2025} ÷ 10^{2023}=10^{2}=100$。
（3）由题意，得$x \cup 5 = 23 ∩ 17$，
则$10^{x} × 10^{5}=10^{23} ÷ 10^{17}$，
所以$10^{5 + x}=10^{6}$，即$5 + x = 6$，
所以$x = 1$，
所以当$x = 1$时，$x \cup 5$的值与$23 ∩ 17$的值相等。

12 [新趋势·过程性学习][2025 泰州期中]我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商和余式，其中余式为 0 或余式的次数低于除式的次数。
例如，计算$ (8 x^{2}+6 x+1) ÷(2 x+1) $，可依照$ 672 ÷ 21 $的计算方法用竖式进行计算。因此$ (8 x^{2}+6 x+1) ÷(2 x+1)=4 x+1 $。

(1)$ (x^{3}+4 x^{2}+5 x-6) ÷(x+2) $的商是，余式是。
(2)已知一个长为$ (x+2) $，宽为$ (x-2) $的长方形$ A $，若将它的长增加 6，宽增加$ a $就得到一个新长方形$ B $，此时长方形$ B $的周长是长方形$ A $周长的 2 倍(如图)。另有长方形$ C $的一边长为$ (x+10) $，若长方形$ B $的面积比长方形$ C $的面积大 76，求长方形$ C $的另一边长。
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12 解：（1）$x^{2}+2x + 1$ $-8$
用竖式计算如下，

所以$(x^{3}+4x^{2}+5x - 6) ÷ (x + 2)$的商是$x^{2}+2x + 1$，余式是$-8$。
（2）长方形$A$的周长为$2(x + 2 + x - 2)=4x$，
长方形$B$的周长为$2(x - 2 + a + x + 2 + 6)=4x + 2a + 12$。
因为长方形$B$的周长是长方形$A$周长的$2$倍，
所以$4x + 2a + 12 = 8x$，所以$a = 2x - 6$，
所以长方形$B$的面积为$(x + 2 + 6)(x - 2 + a)=(x + 2 + 6)(x - 2 + 2x - 6)=(x + 8)(3x - 8)=3x^{2}+16x - 64$。
因为长方形$B$的面积比长方形$C$的面积大$76$，所以长方形$C$的面积为$3x^{2}+16x - 140$，
所以长方形$C$的另一边长为$(3x^{2}+16x - 140) ÷ (x + 10)$，用竖式计算如下，

所以长方形$C$的另一边长为$3x - 14$。