1. (2023·无锡中考)如图, 四边形 ABCD 是边长为 4 的菱形, $∠A = 60^{\circ}$, 点 Q 为 CD 的中点, P 为线段 AB 上的动点, 现将四边形 PBCQ 沿 PQ 翻折得到四边形 $PB'C'Q$.
(1) 当 $∠QPB = 45^{\circ}$ 时, 求四边形 $BB'C'C$ 的面积;
(2) 当点 P 在线段 AB 上移动时, 设 $BP = x$, 四边形 $BB'C'C$ 的面积为 S, 求 S 关于 x 的函数表达式.
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(1) 当 $∠QPB = 45^{\circ}$ 时, 求四边形 $BB'C'C$ 的面积;
(2) 当点 P 在线段 AB 上移动时, 设 $BP = x$, 四边形 $BB'C'C$ 的面积为 S, 求 S 关于 x 的函数表达式.
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答案
2. (2022·南充中考节选)如图, 在矩形 ABCD 中, 点 O 是 AB 的中点, 点 M 是射线 DC 上的动点, 点 P 在线段 AM 上(不与点 A 重合), $OP = \frac{1}{2}AB$.
(1) 判断 $△ABP$ 的形状, 并说明理由;
(2) 点 Q 在边 AD 上, $AB = 5$, $AD = 4$, $DQ = \frac{8}{5}$, 当 $∠CPQ = 90^{\circ}$ 时, 求 DM 的长.
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(1) 判断 $△ABP$ 的形状, 并说明理由;
(2) 点 Q 在边 AD 上, $AB = 5$, $AD = 4$, $DQ = \frac{8}{5}$, 当 $∠CPQ = 90^{\circ}$ 时, 求 DM 的长.
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答案
3. 改编题 小刚在学习完《圆》后, 在家里突然看到爸爸的初中数学书上居然还有一个相交弦定理: 圆内的两条弦相交, 被交点分成的两条线段长的积相等, 即图①中 $PA \cdot BP = CP \cdot PD$.
(1) 小刚想知道是如何证明的, 可惜证明部分污损看不清了, 请你帮他写出证明过程;
(2) 小刚又看到一道课后习题, 如图②, AB 是 $\odot O$ 的弦, P 是 AB 上一点, $AB = 10 cm$, $PA = 4 cm$, $OP = 5 cm$, 求 $\odot O$ 的半径, 请你帮他写出求解过程.
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(1) 小刚想知道是如何证明的, 可惜证明部分污损看不清了, 请你帮他写出证明过程;
(2) 小刚又看到一道课后习题, 如图②, AB 是 $\odot O$ 的弦, P 是 AB 上一点, $AB = 10 cm$, $PA = 4 cm$, $OP = 5 cm$, 求 $\odot O$ 的半径, 请你帮他写出求解过程.
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4. (2023·杭州中考)如图, 在 $\odot O$ 中, 直径 AB 垂直弦 CD 于点 E, 连接 AC、AD、BC, 作 $CF \perp AD$ 于点 F, 交线段 OB 于点 G(不与点 O、B 重合), 连接 OF.
(1) 若 $BE = 1$, 求 GE 的长;
(2) 求证: $BC^2 = BG \cdot BO$;
(3) 若 $FO = FG$, 猜想 $∠CAD$ 的度数, 并证明你的结论.
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(1) 若 $BE = 1$, 求 GE 的长;
(2) 求证: $BC^2 = BG \cdot BO$;
(3) 若 $FO = FG$, 猜想 $∠CAD$ 的度数, 并证明你的结论.
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答案
