典例4（2024·扬州邗江模拟）已知抛物线$y = ax^{2} - 4ax + 3a(a ＞ 0)$交$x$轴正半轴于$A$，$B$两点（点$A$在点$B$的左边），交$y$轴于点$C$.
（1）如图①，连接$AC$，$BC$. 若$\triangle ABC$的面积为3，
①求抛物线对应的函数表达式；
②抛物线上存在点$P$（不与点$C$重合），使得$\triangle PAB$与$\triangle ACB$全等，直接写出点$P$的坐标：________.
（2）如图②，若$Q$为点$B$右侧抛物线上的动点，直线$QA$，$QB$分别交$y$轴于点$D$，$E$，判断$\frac{CD}{DE}$是否为定值，并说明理由.
（3）如图②，在（2）的条件下，线段$CA$的延长线交$QE$于点$H$，$H$恰好为$QE$的中点，求点$Q$的横坐标.


[思路点拨]（1）①利用三角形的面积公式构造含$a$的方程即可求解. ②当$\triangle PAB$与$\triangle ACB$全等时，则点$P$，$C$关于抛物线的对称轴对称，易求出点$P$的坐标.（2）设点$Q$的坐标为$(m,am^{2} - 4am + 3a)$，再利用待定系数法分别求出直线$QA$，$QB$对应的函数表达式，得到点$D$，$E$的坐标，从而求解.（3）分别求出直线$AC$，$BQ$对应的函数表达式，再联立两式求出点$H$的横坐标，最后利用中点坐标公式构造方程求出点$Q$的横坐标.

（1）①在$y = ax^{2}-4ax + 3a$中，令$y = 0$，得$x = 1$或$x = 3$；令$x = 0$，得$y = 3a$.$\therefore$点$A$，$B$，$C$的坐标分别为$(1,0)$，$(3,0)$，$(0,3a)$.$\therefore AB = 2$，$OC = 3a$.$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot OC=\frac{1}{2}\times2\times3a = 3$，解得$a = 1$.$\therefore$抛物线对应的函数表达式为$y = x^{2}-4x + 3$.②$(4,3)$.（2）是定值.理由：设点$Q$的坐标为$(m,am^{2}-4am + 3a)$.设直线$QA$对应的函数表达式为$y = sx + t$.$\because$点$Q$，$A$在直线$QA$上，$\therefore\begin{cases}am^{2}-4am + 3a = sm + t\\0 = s + t\end{cases}$，解得$\begin{cases}s = am - 3a\\t = 3a - am\end{cases}$.$\therefore$直线$QA$对应的函数表达式为$y = a(m - 3)x + a(3 - m)$.令$x = 0$，得$y = a(3 - m)$.$\therefore$点$D$的坐标为$(0,3a - am)$.同理，可得点$E$的坐标为$(0,3a - 3am)$.$\therefore\frac{CD}{DE}=\frac{3a - 3a+am}{3a - am - 3a + 3am}=\frac{am}{2am}=\frac{1}{2}$，为定值.（3）由点$A$，$C$的坐标，易得直线$AC$对应的函数表达式为$y = - 3ax + 3a$.同理，可得直线$BQ$对应的函数表达式为$y = a(m - 1)(x - 3)$.联立以上两式，得$-3ax + 3a = a(m - 1)(x - 3)$，解得$x_{H}=\frac{3m}{m + 2}$.由（2）知，点$E$的坐标为$(0,3a - 3am)$，点$Q$的坐标为$(m,am^{2}-4am + 3a)$.$\because H$恰好为$QE$的中点，$\therefore$由中点坐标公式，得$\frac{1}{2}(0 + m)=\frac{3m}{m + 2}$，解得$m = 0$（不合题意，舍去）或$m = 4$.$\therefore$点$Q$的横坐标为$4$.