例1 如图 1，在矩形 $ABCD$ 中，点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $AB \to BD$ 匀速运动，运动到点 $D$ 时停止. 连接 $DP$，设点 $P$ 的运动路程为 $x$，$DP$ 的长为 $y$，$y$ 关于 $x$ 的函数图象如图 2 所示，则当 $P$ 为 $AB$ 的中点时，求 $DP$ 的长.
思路引导：
【分析变化过程】
(1) 点 $P$ 的整个运动过程中，在 $AB$ 段时，$y$ 随 $x$ 的增大而；在 $BD$ 段时，$y$ 随 $x$ 的增大而.(填“增大”或“减小”)
【分析特殊点含义】
(2) 观察图 2，图中有两个特殊的点，一是图象与 $y$ 轴的交点，坐标为 $(0,3)$，可以得出 $AD$ 的长度为；二是图象的拐点，坐标为 $(a,a + 1)$，此时点 $P$ 运动到点 $B$，根据其横坐标得出 $AB$ 的长度为，根据其纵坐标得出 $BD$ 的长度为.
【结合几何性质求解】
(3) 在 $Rt\triangle ABD$ 中，由勾股定理可得 $AB^{2}+AD^{2}=BD^{2}$，从而得到方程为，解得 $a=$，即 $AB$ 的长度为. 所以当 $P$ 为 $AB$ 的中点时，$AP=$，此时 $DP$ 的长度为.

1. （1）
在$AB$段时，$y$随$x$的增大而增大；在$BD$段时，$y$随$x$的增大而减小。
2. （2）
因为图象与$y$轴的交点坐标为$(0,3)$，此时$x = 0$，$P$与$A$重合，所以$AD = 3$；
图象的拐点坐标为$(a,a + 1)$，此时点$P$运动到点$B$，根据其横坐标得出$AB=a$，根据其纵坐标得出$BD=a + 1$。
3. （3）
在$Rt\triangle ABD$中，由勾股定理$AB^{2}+AD^{2}=BD^{2}$，得到方程$a^{2}+3^{2}=(a + 1)^{2}$。
解$a^{2}+3^{2}=(a + 1)^{2}$：
展开$(a + 1)^{2}=a^{2}+2a + 1$，则$a^{2}+9=a^{2}+2a + 1$。
移项可得$2a=9 - 1$，即$2a = 8$，解得$a = 4$。
所以$AB = 4$。
当$P$为$AB$的中点时，$AP=\frac{1}{2}AB = 2$。
在$Rt\triangle ADP$中，根据勾股定理$DP=\sqrt{AD^{2}+AP^{2}}$，因为$AD = 3$，$AP = 2$，所以$DP=\sqrt{3^{2}+2^{2}}=\sqrt{9 + 4}=\sqrt{13}$。
故答案依次为：（1）增大；减小；（2）$3$；$a$；$a + 1$；（3）$a^{2}+3^{2}=(a + 1)^{2}$；$4$；$4$；$2$；$\sqrt{13}$。

训练 1. 如图 1，正方形 $ABCD$ 的边长为 $4$，$E$ 为 $CD$ 边的中点. 动点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $AB \to BC$ 匀速运动，运动到点 $C$ 时停止. 设点 $P$ 的运动路程为 $x$，线段 $PE$ 的长为 $y$，$y$ 关于 $x$ 的函数图象如图 2 所示，则点 $M$ 的坐标为()

A.$(4,2\sqrt{3})$
B.$(4,4)$
C.$(4,2\sqrt{5})$
D.$(4,5)$

C

2. 如图 1，在 $\triangle ABC$ 中，动点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $AB \to BC \to CA$ 匀速运动至点 $A$ 时停止. 设点 $P$ 的运动路程为 $x$，线段 $AP$ 的长度为 $y$，图 2 是 $y$ 关于 $x$ 的函数图象，其中点 $F$ 为曲线 $DE$ 的最低点. 若 $\triangle ABC$ 的高 $CG$ 为 $\frac{7\sqrt{3}}{2}$，则点 $F$ 的坐标为()


A.$(12,2\sqrt{3})$
B.$(4,4\sqrt{3})$
C.$(13,2\sqrt{3})$
D.$(12,4\sqrt{3})$

D

由图2知，P从A到B时，x=8，y=8，故AB=8。P从B到C时，路程为15-8=7，故BC=7。△ABC的高CG=7√3/2，面积S=1/2×AB×CG=1/2×8×7√3/2=14√3。曲线DE为P在BC上运动时AP的长度，F为最低点即AP⊥BC时，此时AP为A到BC的高h。由面积公式S=1/2×BC×h=14√3，得1/2×7×h=14√3，解得h=4√3。设BP=m，在Rt△ABP中，AB²=AP²+BP²，即8²=(4√3)²+m²，解得m=4。故P运动路程x=AB+BP=8+4=12，F坐标为(12,4√3)。

3. 如图 1，在菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$\angle ACB = 60^{\circ}$，$AM = AN = \frac{1}{3}AB = 1$，点 $P$ 从点 $B$ 出发，沿 $BD$ 匀速运动至点 $D$ 时停止. 设点 $P$ 的运动路程为 $x$，$PM + PN = y$，图 2 是点 $P$ 运动时 $y$ 随 $x$ 变化的函数关系图象，则图 2 中最低点的纵坐标 $a$ 的值为()


A.$2\sqrt{3}$
B.$\frac{7}{2}$
C.$\sqrt{7}$
D.$3$

C

1. 确定菱形边长及对角线长度：
由$AM=AN=\frac{1}{3}AB=1$，得$AB=3$。菱形$ABCD$中，$\angle ACB=60°$，$\triangle ABC$为等边三角形，故$AC=AB=3$。对角线$AC⊥ BD$，$O$为中点，$OC=\frac{3}{2}$。在$\mathrm{Rt}\triangle BOC$中，$OB=\sqrt{BC^2-OC^2}=\sqrt{3^2-(\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，则$BD=2OB=3\sqrt{3}$。
2. 建立坐标系及点坐标：
以$O$为原点，$AC$为$x$轴，$BD$为$y$轴，得$A(-\frac{3}{2},0)$，$B(0,\frac{3\sqrt{3}}{2})$，$D(0,-\frac{3\sqrt{3}}{2})$。
$M$、$N$分别为$AB$、$AD$上靠近$A$的三等分点，向量法求得$M(-1,\frac{\sqrt{3}}{2})$，$N(-1,-\frac{\sqrt{3}}{2})$。
3. 表示$PM+PN$并求最小值：
设$P(0,t)$（$t$为$P$的纵坐标），则$PM=\sqrt{1+(t-\frac{\sqrt{3}}{2})^2}$，$PN=\sqrt{1+(t+\frac{\sqrt{3}}{2})^2}$。
几何意义：$PM+PN$为$y$轴上点$P$到$M(-1,\frac{\sqrt{3}}{2})$、$N(-1,-\frac{\sqrt{3}}{2})$的距离之和。作$M$关于$y$轴的对称点$M'(1,\frac{\sqrt{3}}{2})$，则$PM+PN=PM'+PN\geq M'N$。
计算$M'N$：$\sqrt{(1+1)^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\sqrt{4+3}=\sqrt{7}$。