例1 已知反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $ 的图象过点 $ (3,1) $.
【基本问题】
(1) 该反比例函数的解析式为.
(2) 若该函数图象经过点 $ (a,a + 2) $，则 $ a = $.
(3) 下表给出了该函数自变量 $ x $ 与函数 $ y $ 的部分对应值，补全下表.

(4) 在如图所示的平面直角坐标系中画出该反比例函数的图象. 观察图象，可得该函数图象位于第象限，在每一个象限内，$ y $ 随 $ x $ 的增大而.

【增减性问题】
(5) 当 $ x ＜ -2 $ 时，$ y $ 的取值范围是，当 $ y \geq -1 $ 时，$ x $ 的取值范围是.
(6) 若点 $ A(-6,y_1) $，$ B(-3,y_2) $，$ C(6,y_3) $ 在该反比例函数的图象上，则 $ y_1,y_2,y_3 $ 的大小关系是.(用“$ ＞ $”连接)
(7) 已知点 $ A(x_1,y_1) $，$ B(x_2,y_2) $，$ C(x_3,y_3) $ 都在该反比例函数的图象上，且 $ x_1 ＜ 0 ＜ x_2 ＜ x_3 $，则 $ y_1,y_2,y_3 $ 的大小关系是.(用“$ ＞ $”连接)
【点的坐标】
(8) 已知点 $ P $ 的坐标为 $ (-3,-1) $，则点 $ P $该反比例函数的图象上；点 $ P $ 关于原点对称的点 $ Q $该反比例函数的图象上；点 $ P $ 关于直线 $ y = x $ 对称的点 $ M $该反比例函数的图象上.(填“在”或“不在”)
(9) 已知点 $ N $ 的坐标为 $ (m,m - 2) $，若将点 $ N $ 向左平移 $ 4 $ 个单位长度后恰好落在该反比例函数的图象上，则点 $ N $ 的坐标为.

(1)$y=\frac{3}{x}$
(2)$-3$或$1$
(3)$x$：-1；$y$：$-\frac{3}{2}$，3，2，$\frac{3}{2}$
(4)一、三；减小
(5)$-\frac{3}{2}＜y＜0$；$x\leq-3$或$x＞0$
(6)$y_3＞y_1＞y_2$
(7)$y_2＞y_3＞y_1$
(8)在；在；在
(9)$(1,-1)$或$(5,3)$

(1)将(3,1)代入$y=\frac{k}{x}$，得$1=\frac{k}{3}$，$k=3$，解析式为$y=\frac{3}{x}$。
(2)将$(a,a+2)$代入$y=\frac{3}{x}$，得$a+2=\frac{3}{a}$，$a^2+2a-3=0$，$(a+3)(a-1)=0$，$a=-3$或$a=1$。
(3)当$x=-2$时，$y=\frac{3}{-2}=-\frac{3}{2}$；当$y=-3$时，$x=\frac{3}{-3}=-1$；$x=1$时，$y=3$；$x=\frac{3}{2}$时，$y=2$；$x=2$时，$y=\frac{3}{2}$。表格补全为：$x$：-1；$y$：$-\frac{3}{2}$，3，2，$\frac{3}{2}$。
(4)$k=3＞0$，图象位于一、三象限，在每一象限内$y$随$x$增大而减小。
(5)$x＜-2$时，$y=\frac{3}{x}$，$x=-2$时$y=-\frac{3}{2}$，$x$负向增大$y$增大，故$-\frac{3}{2}＜y＜0$；$y\geq-1$时，$y＞0$则$x＞0$，$y=-1$时$x=-3$，$y\geq-1$且$y＜0$时$x\leq-3$，故$x\leq-3$或$x＞0$。
(6)$A(-6,y_1)=-\frac{1}{2}$，$B(-3,y_2)=-1$，$C(6,y_3)=\frac{1}{2}$，大小关系$y_3＞y_1＞y_2$。
(7)$x_1＜0$时$y_1＜0$，$0＜x_2＜x_3$时$y_2＞y_3＞0$，故$y_2＞y_3＞y_1$。
(8)$P(-3,-1)$：$-1=\frac{3}{-3}$，在；$Q(3,1)$：$1=\frac{3}{3}$，在；$M(-1,-3)$：$-3=\frac{3}{-1}$，在。
(9)平移后点$(m-4,m-2)$，代入得$(m-2)(m-4)=3$，$m^2-6m+5=0$，$m=1$或$5$，$N(1,-1)$或$(5,3)$。

例2 (1) 如图 1，直线 $ y = mx $ 与双曲线 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $ 交于点 $ A,B $. 过点 $ A $ 作 $ AM ⊥ x $ 轴，垂足为点 $ M $，连接 $ BM $. 若 $ S_{\triangle ABM} = 2 $，则 $ k $ 的值是.

(2) 如图 2，$ \triangle MON $ 的顶点 $ M $ 在第一象限，顶点 $ N $ 在 $ x $ 轴上，反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $ 的图象经过点 $ M $. 若 $ MO = MN $，$ \triangle MON $ 的面积为 $ 8 $，则 $ k $ 的值为.