一、锐角三角函数
1. 锐角三角函数的定义
(1) 如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$ 所对应的边分别为 $a$，$b$，$c$，则：
$\sin A=\frac{\angle A\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}=$①；$\cos A=\frac{\angle A\mathrm{的邻边}}{\mathrm{斜边}}=$②；

$\tan A=\frac{\angle A\mathrm{的对边}}{\angle A\mathrm{的邻边}}=$③。
(2) 锐角 $A$ 的正弦、余弦、正切都是 $\angle A$ 的锐角三角函数。

①$\frac{a}{c}$；②$\frac{b}{c}$；③$\frac{a}{b}$

1. 在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 5$，$AB = 13$，则 $\angle A$ 的正切值为，$\sin A=$，$\cos A=$。

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 5$，$AB = 13$。
根据勾股定理，$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$。
$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{12}{5}$；
$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{12}{13}$；
$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{13}$。
$\frac{12}{5}$，$\frac{12}{13}$，$\frac{5}{13}$

2. (人教九下 P65 改编) 在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$。如果三角形的各边都扩大到原来的 $2$ 倍，则锐角 $\angle A$ 的三角函数值()

A.扩大 $2$ 倍
B.不变
C.缩小 $\frac{1}{2}$
D.扩大 $\frac{1}{2}$

B

在直角三角形中，三角函数值是由角的大小所决定的，与边的长度绝对大小无关。当三角形的各边都扩大到原来的2倍时，根据相似三角形的性质，三角形与原三角形相似，其对应角的大小不变，因此角A的各三角函数值也保持不变。

2. 特殊角的三角函数值

④ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
⑤ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
⑥ $\sqrt{3}$

3. 在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$。
(1) 若 $\angle A = 45^{\circ}$，则 $\sin A=$；
(2) 若 $\cos A=\frac{1}{2}$，则 $\angle A=$。

(1)
在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A = 45^{\circ}$，根据特殊角三角函数值可知$\sin A=\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
(2)
因为$\cos A=\frac{1}{2}$且$0^{\circ}＜\angle A ＜ 90^{\circ}$，根据特殊角三角函数值可知$\angle A = 60^{\circ}$。
故答案依次为：(1)$\frac{\sqrt{2}}{2}$；(2)$60^{\circ}$。