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1. 下列函数中，①$y=-3x$；②$y=2x-1$；③$y=-\dfrac{1}{x}(x＜0)$；④$y=-x^2+2x+3(x＞1)$。其中$y$的值随$x$值增大而增大的函数是（
A.①③④
B.②③④
C.②④
D.②③
D
）A.①③④
B.②③④
C.②④
D.②③
答案
1.D
解析
【分析】
本题需要判断给定的4个函数在对应自变量取值范围内，y是否随x的增大而增大。解题思路为：先明确每个函数的类型，再结合对应函数的增减性规律、系数特征以及自变量的取值范围，逐一分析判断，最后选出符合要求的选项。
【解析】
我们逐个分析每个函数的增减性：
1. 对于①$y=-3x$：属于正比例函数，比例系数$k=-3＜0$，因此在全体实数范围内，$y$随$x$的增大而减小，不符合要求；
2. 对于②$y=2x-1$：属于一次函数，比例系数$k=2＞0$，因此在全体实数范围内，$y$随$x$的增大而增大，符合要求；
3. 对于③$y=-\dfrac{1}{x}(x＜0)$：属于反比例函数，比例系数$k=-1＜0$，其图像位于第二、四象限，当$x＜0$时对应第二象限的分支，此时$y$随$x$的增大而增大，符合要求；
4. 对于④$y=-x^2+2x+3(x＞1)$：属于二次函数，二次项系数$a=-1＜0$，图像开口向下，对称轴为$x=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{-2}{2×(-1)}=1$，当$x＞1$时位于对称轴右侧，此时$y$随$x$的增大而减小，不符合要求。
综上，符合条件的函数是②③，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的增减性，反比例函数的增减性，二次函数的增减性
【点评】
本题属于函数增减性的常规考查题，解题的关键是熟记各类函数的增减性规律，尤其注意反比例函数、二次函数的增减性仅在对应的取值区间内成立，不能脱离定义域笼统判断。
【难度系数】
0.7
本题需要判断给定的4个函数在对应自变量取值范围内，y是否随x的增大而增大。解题思路为：先明确每个函数的类型，再结合对应函数的增减性规律、系数特征以及自变量的取值范围，逐一分析判断，最后选出符合要求的选项。
【解析】
我们逐个分析每个函数的增减性：
1. 对于①$y=-3x$：属于正比例函数，比例系数$k=-3＜0$，因此在全体实数范围内，$y$随$x$的增大而减小，不符合要求；
2. 对于②$y=2x-1$：属于一次函数，比例系数$k=2＞0$，因此在全体实数范围内，$y$随$x$的增大而增大，符合要求；
3. 对于③$y=-\dfrac{1}{x}(x＜0)$：属于反比例函数，比例系数$k=-1＜0$，其图像位于第二、四象限，当$x＜0$时对应第二象限的分支，此时$y$随$x$的增大而增大，符合要求；
4. 对于④$y=-x^2+2x+3(x＞1)$：属于二次函数，二次项系数$a=-1＜0$，图像开口向下，对称轴为$x=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{-2}{2×(-1)}=1$，当$x＞1$时位于对称轴右侧，此时$y$随$x$的增大而减小，不符合要求。
综上，符合条件的函数是②③，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的增减性，反比例函数的增减性，二次函数的增减性
【点评】
本题属于函数增减性的常规考查题，解题的关键是熟记各类函数的增减性规律，尤其注意反比例函数、二次函数的增减性仅在对应的取值区间内成立，不能脱离定义域笼统判断。
【难度系数】
0.7
2.已知二次函数$y=x^2 - 2mx +5$，当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而增大，则实数$m$的取值范围是（
A.$m＜-1$
B.$m≤ -1$
C.$m＞-1$
D.$m≥ -1$
B
）A.$m＜-1$
B.$m≤ -1$
C.$m＞-1$
D.$m≥ -1$
答案
2.B
解析
【分析】
首先明确二次函数的增减性与开口方向、对称轴位置有关：本题二次项系数为正，抛物线开口向上，因此在对称轴右侧y随x的增大而增大。第一步先求出抛物线的对称轴，第二步结合“x＞-1时y随x增大而增大”的条件，判断x=-1与对称轴的位置关系，即可求出m的取值范围，注意要考虑端点是否可取。
【解析】
对于二次函数$y=x^2 - 2mx +5$，
∵ 二次项系数$a=1＞0$，
∴ 抛物线开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大。
抛物线的对称轴为直线$x = -\frac{b}{2a} = \frac{2m}{2×1} = m$，
∴ 该函数的单调递增区间为$x≥ m$。
∵ 当$x＞-1$时，y随x的增大而增大，
∴ 区间$x＞-1$需全部落在单调递增区间内，即$m≤ -1$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的开口方向；二次函数的对称轴；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数增减性的典型考题，解题核心是先通过开口方向确定单调区间与对称轴的位置关系，再结合给定的x范围推导参数的取值，需注意验证端点值是否符合题意，避免遗漏等号导致出错。
【难度系数】
0.7
首先明确二次函数的增减性与开口方向、对称轴位置有关：本题二次项系数为正，抛物线开口向上，因此在对称轴右侧y随x的增大而增大。第一步先求出抛物线的对称轴，第二步结合“x＞-1时y随x增大而增大”的条件，判断x=-1与对称轴的位置关系，即可求出m的取值范围，注意要考虑端点是否可取。
【解析】
对于二次函数$y=x^2 - 2mx +5$，
∵ 二次项系数$a=1＞0$，
∴ 抛物线开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大。
抛物线的对称轴为直线$x = -\frac{b}{2a} = \frac{2m}{2×1} = m$，
∴ 该函数的单调递增区间为$x≥ m$。
∵ 当$x＞-1$时，y随x的增大而增大，
∴ 区间$x＞-1$需全部落在单调递增区间内，即$m≤ -1$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的开口方向；二次函数的对称轴；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数增减性的典型考题，解题核心是先通过开口方向确定单调区间与对称轴的位置关系，再结合给定的x范围推导参数的取值，需注意验证端点值是否符合题意，避免遗漏等号导致出错。
【难度系数】
0.7
3.函数$y=ax^2+bx+3$，当$x=1$与$x=2024$时，函数值相等，则当$x=2025$时，函数值等于
3
。答案
3.3
解析
【分析】
解题思路：首先回忆二次函数的性质：若二次函数在两个不同横坐标处的函数值相等，则这两个点关于二次函数的对称轴对称。第一步先根据x=1和x=2024的函数值相等求出对称轴；第二步找到x=2025关于该对称轴的对称点；第三步代入对称点的横坐标计算函数值，即为x=2025时的函数值。也可以通过等式变形求出2025a+b的值，再代入x=2025的表达式整体计算，两种方法都可避免求解a、b的具体值，简化计算过程。
【解析】
方法一（利用对称性求解）：
∵ 当x=1与x=2024时，二次函数的函数值相等
∴ 二次函数$y=ax^2+bx+3$的对称轴为直线 $x=\frac{1+2024}{2}=\frac{2025}{2}$
设x=2025关于对称轴$x=\frac{2025}{2}$的对称点横坐标为$x'$，根据对称点横坐标的性质可得$\frac{x'+2025}{2}=\frac{2025}{2}$，解得$x'=0$
∵ 关于对称轴对称的两点函数值相等
∴ x=2025时的函数值等于x=0时的函数值
将x=0代入函数解析式，得$y=a×0^2 + b×0 +3=3$
即x=2025时，函数值为3。
方法二（代数变形求解）：
∵ 当x=1与x=2024时函数值相等
∴ $a×1^2 +b×1 +3 = a×2024^2 +b×2024 +3$
移项整理得：$a(2024^2 -1) + b(2024 -1)=0$
利用平方差公式展开得：$(2024-1)(2024+1)a + (2024-1)b=0$
提取公因式$(2024-1)$得：$2023×(2025a +b)=0$
∵ $2023≠0$，
∴ $2025a +b=0$
将x=2025代入函数解析式得：
$y=a×2025^2 +b×2025 +3 =2025(2025a +b)+3$
把$2025a +b=0$代入得：$y=2025×0 +3=3$
【答案】
3
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数性质的灵活应用，解题核心是无需计算a、b的具体取值，利用对称性或者代数变形找到整体代换的关系即可快速求解，能很好地锻炼学生的巧算能力和对二次函数性质的理解。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先回忆二次函数的性质：若二次函数在两个不同横坐标处的函数值相等，则这两个点关于二次函数的对称轴对称。第一步先根据x=1和x=2024的函数值相等求出对称轴；第二步找到x=2025关于该对称轴的对称点；第三步代入对称点的横坐标计算函数值，即为x=2025时的函数值。也可以通过等式变形求出2025a+b的值，再代入x=2025的表达式整体计算，两种方法都可避免求解a、b的具体值，简化计算过程。
【解析】
方法一（利用对称性求解）：
∵ 当x=1与x=2024时，二次函数的函数值相等
∴ 二次函数$y=ax^2+bx+3$的对称轴为直线 $x=\frac{1+2024}{2}=\frac{2025}{2}$
设x=2025关于对称轴$x=\frac{2025}{2}$的对称点横坐标为$x'$，根据对称点横坐标的性质可得$\frac{x'+2025}{2}=\frac{2025}{2}$，解得$x'=0$
∵ 关于对称轴对称的两点函数值相等
∴ x=2025时的函数值等于x=0时的函数值
将x=0代入函数解析式，得$y=a×0^2 + b×0 +3=3$
即x=2025时，函数值为3。
方法二（代数变形求解）：
∵ 当x=1与x=2024时函数值相等
∴ $a×1^2 +b×1 +3 = a×2024^2 +b×2024 +3$
移项整理得：$a(2024^2 -1) + b(2024 -1)=0$
利用平方差公式展开得：$(2024-1)(2024+1)a + (2024-1)b=0$
提取公因式$(2024-1)$得：$2023×(2025a +b)=0$
∵ $2023≠0$，
∴ $2025a +b=0$
将x=2025代入函数解析式得：
$y=a×2025^2 +b×2025 +3 =2025(2025a +b)+3$
把$2025a +b=0$代入得：$y=2025×0 +3=3$
【答案】
3
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数性质的灵活应用，解题核心是无需计算a、b的具体取值，利用对称性或者代数变形找到整体代换的关系即可快速求解，能很好地锻炼学生的巧算能力和对二次函数性质的理解。
【难度系数】
0.7
4.如图,小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子,给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高度是2.5米,绳子自然下垂呈抛物线状,身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点距地面的距离为
0.5
米.答案
4.0.5
解析
【分析】
这是二次函数的实际应用问题，解题时首先要建立合适的平面直角坐标系，把实际场景中的位置转化为坐标系内的坐标。观察可知拴绳子的两个点高度相同，可先确定抛物线的对称轴，设出二次函数顶点式，再代入已知点的坐标求解，最终顶点的纵坐标就是绳子最低点距地面的距离。
【解析】
解：以左侧树的底部为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系。
由题意得抛物线经过三个点：左侧拴绳点$(0,2.5)$、右侧拴绳点$(2,2.5)$、小明头部接触点$(0.5,1)$。
因为点$(0,2.5)$和$(2,2.5)$纵坐标相等，所以抛物线对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$。
设抛物线解析式为$y=a(x-1)^2 + k$（$a≠0$，$k$为绳子最低点距地面的高度）。
将$(0,2.5)$代入解析式得：$a(0-1)^2 +k=2.5$，即$a +k=2.5$ ①；
将$(0.5,1)$代入解析式得：$a(0.5-1)^2 +k=1$，即$0.25a +k=1$ ②。
①-②得：$0.75a=1.5$，解得$a=2$。
把$a=2$代入①得：$2 +k=2.5$，解得$k=0.5$。
【答案】
0.5
【知识点】
二次函数实际应用，待定系数法求解析式，二次函数顶点式
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，核心是通过建立坐标系将实际问题转化为函数问题，利用抛物线对称性简化计算，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
这是二次函数的实际应用问题，解题时首先要建立合适的平面直角坐标系，把实际场景中的位置转化为坐标系内的坐标。观察可知拴绳子的两个点高度相同，可先确定抛物线的对称轴，设出二次函数顶点式，再代入已知点的坐标求解，最终顶点的纵坐标就是绳子最低点距地面的距离。
【解析】
解：以左侧树的底部为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系。
由题意得抛物线经过三个点：左侧拴绳点$(0,2.5)$、右侧拴绳点$(2,2.5)$、小明头部接触点$(0.5,1)$。
因为点$(0,2.5)$和$(2,2.5)$纵坐标相等，所以抛物线对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$。
设抛物线解析式为$y=a(x-1)^2 + k$（$a≠0$，$k$为绳子最低点距地面的高度）。
将$(0,2.5)$代入解析式得：$a(0-1)^2 +k=2.5$，即$a +k=2.5$ ①；
将$(0.5,1)$代入解析式得：$a(0.5-1)^2 +k=1$，即$0.25a +k=1$ ②。
①-②得：$0.75a=1.5$，解得$a=2$。
把$a=2$代入①得：$2 +k=2.5$，解得$k=0.5$。
【答案】
0.5
【知识点】
二次函数实际应用，待定系数法求解析式，二次函数顶点式
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，核心是通过建立坐标系将实际问题转化为函数问题，利用抛物线对称性简化计算，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
5.某商场购进一批单价为4元的日用品.若按每件5元的价格销售,每月能卖出3万件;若按每件6元的价格销售,每月卖出2万件,假定每月销售件数y(万件)与价格x(元/件)间满足一次函数关系.
(1)试求y与x之间的函数关系式.
(2)当销售价格定为多少时,才能使每月的利润最大?每月的最大利润是多少?
(1)试求y与x之间的函数关系式.
(2)当销售价格定为多少时,才能使每月的利润最大?每月的最大利润是多少?
答案
5.(1)$y=-x+8$ (2)设每月利润为W万元,则$W=(x-4)(-x+8)=-x^2+12x-32=-(x-6)^2+4$,每件价格6元时,利润最大,最大利润为4万元
解析
【分析】
(1) 已知y与x满足一次函数关系，可采用待定系数法求解：先设一次函数一般式$y=kx+b(k≠0)$，再把题目给出的两组售价、对应销量的数值代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值即可得到函数关系式。
(2) 利润问题的核心等量关系为“总利润=单件利润×销售总量”，单件利润为售价减进价，即$(x-4)$元，销售总量是第一问求出的y，代入后可得到总利润W关于x的二次函数表达式，再通过配方法将二次函数化为顶点式，结合二次函数开口方向即可确定最大值对应的售价和最大利润。
【解析】
(1) 设y与x的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$，
根据题意，当$x=5$时，$y=3$；当$x=6$时，$y=2$，代入得：
$\begin{cases}5k + b = 3 \\6k + b = 2\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$5k + b = 3$，得$-5 + b = 3$，解得$b=8$，
因此y与x的函数关系式为$y=-x+8$。
(2) 设每月的利润为$W$万元，
由“总利润=单件利润×销售量”可得：$W=(x-4)y$，
将$y=-x+8$代入得：
$\begin{aligned}W&=(x-4)(-x+8)\\&=-x^2 +12x -32\\&=-(x-6)^2 +4\end{aligned}$
因为二次项系数$-1＜0$，抛物线开口向下，因此当$x=6$时，$W$取得最大值，最大值为4万元。
【答案】
(1)$y=-x+8$；(2)当销售价格定为6元时，每月利润最大，最大利润是4万元。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二次函数利润最值；配方法求二次函数最值
【点评】
本题是函数在销售问题中的典型应用，解题关键是熟练掌握待定系数法求解析式的方法，准确梳理利润问题的等量关系，结合二次函数性质求解最值。
【难度系数】
0.7
(1) 已知y与x满足一次函数关系，可采用待定系数法求解：先设一次函数一般式$y=kx+b(k≠0)$，再把题目给出的两组售价、对应销量的数值代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值即可得到函数关系式。
(2) 利润问题的核心等量关系为“总利润=单件利润×销售总量”，单件利润为售价减进价，即$(x-4)$元，销售总量是第一问求出的y，代入后可得到总利润W关于x的二次函数表达式，再通过配方法将二次函数化为顶点式，结合二次函数开口方向即可确定最大值对应的售价和最大利润。
【解析】
(1) 设y与x的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$，
根据题意，当$x=5$时，$y=3$；当$x=6$时，$y=2$，代入得：
$\begin{cases}5k + b = 3 \\6k + b = 2\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$5k + b = 3$，得$-5 + b = 3$，解得$b=8$，
因此y与x的函数关系式为$y=-x+8$。
(2) 设每月的利润为$W$万元，
由“总利润=单件利润×销售量”可得：$W=(x-4)y$，
将$y=-x+8$代入得：
$\begin{aligned}W&=(x-4)(-x+8)\\&=-x^2 +12x -32\\&=-(x-6)^2 +4\end{aligned}$
因为二次项系数$-1＜0$，抛物线开口向下，因此当$x=6$时，$W$取得最大值，最大值为4万元。
【答案】
(1)$y=-x+8$；(2)当销售价格定为6元时，每月利润最大，最大利润是4万元。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二次函数利润最值；配方法求二次函数最值
【点评】
本题是函数在销售问题中的典型应用，解题关键是熟练掌握待定系数法求解析式的方法，准确梳理利润问题的等量关系，结合二次函数性质求解最值。
【难度系数】
0.7
