1. 下列条件中的两个等腰三角形不一定相似的是（）

A.都含有$60°$的角
B.都含有$45°$的角
C.都含有$90°$的角
D.都含有$120°$的角

1. B 解析:A. 有一个角是60°的两个等腰三角形的三组角分别对应相等,所以这两个三角形相似,不符合题意;B. 当一个等腰三角形的底角为45°,而另一个等腰三角形的顶角是45°时,这两个等腰三角形不相似,符合题意;C. 有一个角是90°的两个等腰三角形的三组角分别对应相等,所以这两个三角形相似,不符合题意;D. 有一个角是120°的两个等腰三角形的三组角分别对应相等,所以这两个三角形相似,不符合题意.故选 B.

【分析】
要判断两个等腰三角形是否相似，核心依据是“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理。解题时结合等腰三角形“两底角相等”的性质和三角形内角和为180°，分析每个选项中给定角的可能位置：大于等于90°的角不能作为等腰三角形的底角（否则两底角之和会超过180°），只能是顶角，对应等腰三角形的内角度数是固定的；锐角既可以是顶角也可以是底角，若两种情况内角度数不统一，则两个三角形不一定相似，按照这个逻辑逐个分析选项即可。
【解析】
根据相似三角形判定定理：两角分别相等的两个三角形相似，结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°，逐个分析选项：
A. 含60°角的等腰三角形：若60°为顶角，底角为$\frac{180°-60°}{2}=60°$；若60°为底角，顶角为$180°-2×60°=60°$，因此这类三角形都是等边三角形，三个角均为60°，对应相等，一定相似，不符合题意。
B. 含45°角的等腰三角形：若45°为顶角，底角为$\frac{180°-45°}{2}=67.5°$，三个角为45°、67.5°、67.5°；若45°为底角，顶角为$180°-2×45°=90°$，三个角为90°、45°、45°。两种情况的三角形内角不对应相等，因此不一定相似，符合题意。
C. 含90°角的等腰三角形：90°只能为顶角，底角为$\frac{180°-90°}{2}=45°$，两个三角形的角均为90°、45°、45°，对应相等，一定相似，不符合题意。
D. 含120°角的等腰三角形：120°为钝角只能为顶角，底角为$\frac{180°-120°}{2}=30°$，两个三角形的角均为120°、30°、30°，对应相等，一定相似，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题易错点是忽略锐角在等腰三角形中既可以作顶角也可以作底角，解题关键是明确等腰三角形中钝角、直角只能作为顶角，通过分析内角是否对应相等判断是否相似。
【难度系数】
0.7

2. 如图,在矩形ABCD中,E,F分别是CD,BC上的点,若$∠ AEF=90°$,则一定有 ()

A.$△ ADE ∽ △ AEF$
B.$△ ECF ∽ △ AEF$
C.$△ ADE ∽ △ ECF$
D.$△ ADE ∽ △ ABF$

2. C 解析:
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ ∠D = ∠C = 90°,
∴ ∠DAE+∠AED=90°.
∵ ∠AEF=90°,
∴ ∠CEF+∠AED= 90°,
∴ ∠DAE = ∠CEF, 在 △ADE 和 △ECF 中, $\begin{cases} ∠D=∠C=90°, \\ ∠DAE=∠CEF, \end{cases}$
∴ △ADE∽△ECF,选项 C 正确;△ADE 与△AEF,△ECF 与△AEF,△ADE 与△ABF 都是只有一对相等的直角,
∴ 都不是相似三角形.故选 C.

【分析】
解题时先从已知条件入手，首先矩形ABCD的四个内角都是直角，可得∠D=∠C=90°，再结合∠AEF=90°，利用直角的性质可以得到角的互余关系：在Rt△ADE中∠DAE+∠AED=90°，由∠AEF=90°可得∠CEF+∠AED=90°，根据同角的余角相等就能推出∠DAE=∠CEF，此时△ADE和△ECF中已有两组角对应相等，根据相似三角形判定定理1即可判断两个三角形相似，再验证其余选项只有一组直角相等，找不到第二组对应等角，因此不相似。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠D = ∠C = 90°，
∴ 在Rt△ADE中，∠DAE + ∠AED = 90°。
∵ ∠AEF = 90°，
∴ ∠CEF + ∠AED = 180° - ∠AEF = 90°，
∴ ∠DAE = ∠CEF（同角的余角相等）。
在△ADE和△ECF中：
$\begin{cases} ∠D = ∠C = 90° \\ ∠DAE = ∠CEF \end{cases}$
∴ △ADE ∽ △ECF。
其余选项中，△ADE与△AEF、△ECF与△AEF、△ADE与△ABF均只有一组直角对应相等，无第二组对应相等的角，因此都不相似。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质，相似三角形的判定，余角的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是利用直角的性质找到两组相等的对应角，熟练掌握矩形的性质和相似三角形的判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8

3. 如图,已知$∠ ADE = ∠ C$,则$△ AED ∽ △$,理由是.

3. ABC 两角分别相等的两个三角形相似
解析:
∵ ∠A=∠A,∠ADE=∠C,
∴ △AED∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似).

【分析】
要解决本题，首先回忆相似三角形的判定方法，题目已给出一组对应角相等∠ADE=∠C，观察图形可发现△AED和△ABC有公共的顶角∠A，由此可得两组对应角分别相等，根据相似三角形的判定定理即可确定相似的三角形，对应好顶点写出结果和判定理由即可。
【解析】
在△AED和△ABC中：
∵ ∠A是两个三角形的公共角，即$∠ A=∠ A$，
又已知$∠ ADE = ∠ C$，
∴ $△ AED ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
ABC；两角分别相等的两个三角形相似
【知识点】
相似三角形的判定，公共角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，解题的核心是挖掘出图形中隐含的公共角，结合已知的等角，运用两角法判定三角形相似，这类基础考点需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9

4. 如图，AE，BD交于点C，BA⊥AE于点A，ED⊥BD于点D，若AC=4，AB=3，CD=2，则CE=。

4. $\frac{5}{2}$ 解析:
∵ $BA ⊥ AE, ED ⊥ BD$,
∴ ∠A = ∠D = 90°,且∠ACB=∠DCE,
∴ △ABC∽△DEC,
∴ $\frac{BC}{CE}=\frac{AC}{CD}$,在 Rt△ABC中,AC=4,AB=3,可求得 BC=5,
∴ $\frac{5}{CE}=\frac{4}{2}$,解得 $CE=\frac{5}{2}$.故答案为$\frac{5}{2}$.

【分析】
解题时首先观察图形特征：已知两个垂直条件可得两个直角相等，结合对顶角相等可证明△ABC与△DEC相似；再利用勾股定理先求出Rt△ABC中斜边BC的长度；最后根据相似三角形对应边成比例的性质列比例式，代入已知数值即可求解CE的长度。
【解析】
∵ $BA ⊥ AE$，$ED ⊥ BD$，
∴ $∠ A = ∠ D = 90°$，
又
∵ $∠ ACB$与$∠ DCE$是对顶角，
∴ $∠ ACB = ∠ DCE$，
∴ $△ ABC ∽ △ DEC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AC=4$，$AB=3$，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。
由相似三角形的性质可得$\frac{AC}{CD} = \frac{BC}{CE}$，
将$AC=4$，$CD=2$，$BC=5$代入得：
$\frac{4}{2} = \frac{5}{CE}$，
解得$CE = \frac{5}{2}$。
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题，解题的关键是先通过角的关系判定三角形相似，再结合勾股定理和相似三角形对应边成比例的性质求解未知线段长度，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7

5. 如图,在$△ ABC$中,$D$为$AB$边上一点,且$∠ BCD = ∠ A$. 已知 $BC = 2\sqrt{2}$, $AB = 3$, 则 $BD=$.

5. $\frac{8}{3}$ 解析:
∵ ∠BCD = ∠A, ∠ABC = ∠CBD,
∴ △ABC∽△CBD,
∴ $\frac{BD}{BC}=\frac{BC}{AB}$,
∴ $BD=\frac{BC^2}{AB}=\frac{(2\sqrt{2})^2}{3}=\frac{8}{3}$.故答案为$\frac{8}{3}$.

【分析】
拿到题目首先梳理已知条件：已知∠BCD=∠A，观察图形可发现△ABC和△CBD有公共角∠B。根据相似三角形的判定定理，两角分别相等的两个三角形相似，可判定两个三角形相似。再利用相似三角形对应边成比例的性质，即可列出比例式求解BD的长度。
【解析】
∵ ∠BCD = ∠A，∠ABC = ∠CBD（公共角），
∴ △ABC∽△CBD（两角分别相等的两个三角形相似），
根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{BD}{BC}=\frac{BC}{AB}$，
变形得$BD=\frac{BC^2}{AB}$，
将$BC=2\sqrt{2}$，$AB=3$代入上式：
$BD=\frac{(2\sqrt{2})^2}{3}=\frac{8}{3}$。
【答案】
$\frac{8}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，解题关键是准确找到两个三角形中相等的两组角，完成相似判定后利用比例关系计算未知线段，考查了基础的图形观察能力和公式应用能力。
【难度系数】
0.8

6. 如图,在$□ ABCD$中,E为AB边上一点,连接CE,F为CE上一点,连接DF,且$∠ DFE=∠ A$.求证:$△ DCF ∽ △ CEB$.

6.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ DC // AB, ∠A+ ∠B = 180°,
∴ ∠DCF = ∠BEC.
∵ ∠DFE = ∠A, ∠DFE+ ∠DFC = 180°,
∴ ∠DFC = ∠B,
∴ △DCF∽△CEB.

【分析】
要证明△DCF∽△CEB，可使用相似三角形判定定理1（两角分别相等的两个三角形相似），因此只需推导出两组对应角相等即可。首先利用平行四边形的性质：一是对边平行可得内错角相等，二是邻角互补可得∠A与∠B的和为180°；再结合已知∠DFE=∠A，利用平角的性质推导得到∠DFC与∠B相等，两组对应角相等即可证明两个三角形相似。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ DC // AB，∠A+ ∠B = 180°，
∴ ∠DCF = ∠BEC（两直线平行，内错角相等）。
∵ ∠DFE = ∠A，∠DFE+ ∠DFC = 180°（平角的定义），
∴ ∠DFC = ∠B（等角的补角相等），
∴ △DCF∽△CEB（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
证明过程如上所述，△DCF∽△CEB成立。
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、平行线的性质
【点评】
本题属于相似三角形证明的基础题型，解题关键是结合平行四边形的性质推导得到两组对应相等的角，需要熟练掌握相关几何性质和判定定理。
【难度系数】
0.7

7. ★★★（菏泽中考）如图，在 $Rt △ ABC$ 中，$∠ ABC=90°$，$E$ 是边 $AC$ 上一点，且 $BE=BC$，过点 $A$ 作 $BE$ 的垂线，交 $BE$ 的延长线于点 $D$，求证: $△ ADE ∽ △ ABC$.

7.
∵ $BE = BC$,
∴ ∠C = ∠BEC.
∵ ∠BEC = ∠AED,
∴ ∠AED = ∠C.
∵ $AD ⊥ BD$,
∴ ∠D = 90°.
∵ ∠ABC = 90°,
∴ ∠D = ∠ABC,
∴ △ADE∽△ABC.

【分析】
要证明△ADE∽△ABC，可使用两角分别相等的两个三角形相似的判定定理，只需推导得到两个三角形有两组对应角相等即可。首先已知∠ABC=90°，AD垂直于BE，可直接得到∠D=∠ABC=90°，得到第一组相等的对应角；再结合BE=BC，利用等腰三角形等边对等角的性质可得∠C=∠BEC，又∠BEC和∠AED是对顶角，二者相等，通过等量代换可得∠AED=∠C，得到第二组相等的对应角，即可证明两个三角形相似。
【解析】
证明：
∵ $BE = BC$,
∴ ∠C = ∠BEC.
∵ ∠BEC = ∠AED,
∴ ∠AED = ∠C.
∵ $AD ⊥ BD$,
∴ ∠D = 90°.
∵ ∠ABC = 90°,
∴ ∠D = ∠ABC,
∴ △ADE∽△ABC.
【答案】
∵ $BE = BC$,
∴ ∠C = ∠BEC.
∵ ∠BEC = ∠AED,
∴ ∠AED = ∠C.
∵ $AD ⊥ BD$,
∴ ∠D = 90°.
∵ ∠ABC = 90°,
∴ ∠D = ∠ABC,
∴ △ADE∽△ABC.
【知识点】
相似三角形的判定、等腰三角形的性质、对顶角的性质
【点评】
本题是相似三角形证明的基础题型，解题时先明确判定相似所需的角的条件，再结合已知的等腰、垂直等条件推导对应角相等即可，需注意等量代换的合理运用。
【难度系数】
0.7