登录
5. 已知一次函数 $ y = kx + b $ 的图象经过点 $ (2, -1) $ 和 $ (-1, 5) $。
（1）求 $ k, b $ 的值；
（2）画出该一次函数的图象，并说明函数图象可由正比例函数 $ y = kx $ 的图象如何平移得到。
（1）求 $ k, b $ 的值；
（2）画出该一次函数的图象，并说明函数图象可由正比例函数 $ y = kx $ 的图象如何平移得到。
答案
解：
(1) 将点$(2, -1)$和$(-1, 5)$代入$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}2k + b = -1 \\-k + b = 5\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$3k=-6$，解得$k=-2$。
把$k=-2$代入$-k + b=5$，得$2 + b=5$，解得$b=3$。
(2) 由(1)得该一次函数解析式为$y=-2x+3$。
取两点：当$x=0$时，$y=3$；当$y=0$时，$x=\frac{3}{2}$，在平面直角坐标系中描出点$(0,3)$和$(\frac{3}{2},0)$，过这两点画直线，即为该一次函数的图象。
该函数图象可由正比例函数$y=-2x$的图象向上平移3个单位长度得到。
(1) 将点$(2, -1)$和$(-1, 5)$代入$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}2k + b = -1 \\-k + b = 5\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$3k=-6$，解得$k=-2$。
把$k=-2$代入$-k + b=5$，得$2 + b=5$，解得$b=3$。
(2) 由(1)得该一次函数解析式为$y=-2x+3$。
取两点：当$x=0$时，$y=3$；当$y=0$时，$x=\frac{3}{2}$，在平面直角坐标系中描出点$(0,3)$和$(\frac{3}{2},0)$，过这两点画直线，即为该一次函数的图象。
该函数图象可由正比例函数$y=-2x$的图象向上平移3个单位长度得到。
解析
【分析】
（1）求一次函数的系数k、b可使用待定系数法：已知函数图象经过两个点，将两点坐标分别代入一次函数解析式$y=kx+b$，就能得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可求出k、b的值。
（2）一次函数的图象是直线，根据“两点确定一条直线”的性质，通常选取函数与x轴、y轴的两个交点描点画图即可；一次函数$y=kx+b$与正比例函数$y=kx$的平移规律为“上加下减常数项”，据此可判断平移方式。
【解析】
(1) 将点$(2, -1)$和$(-1, 5)$代入$y=kx+b$，可得方程组：
$\begin{cases}2k + b = -1 \\-k + b = 5\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去b，得$3k=-6$，解得$k=-2$。
把$k=-2$代入$-k + b=5$，得$2 + b=5$，解得$b=3$。
(2) 由(1)得该一次函数解析式为$y=-2x+3$。
取图象上两点：当$x=0$时，$y=3$，即与y轴交点为$(0,3)$；当$y=0$时，$x=\frac{3}{2}$，即与x轴交点为$(\frac{3}{2},0)$。在平面直角坐标系中描出这两个点，过两点画直线，即为该一次函数的图象。
根据一次函数平移规律，该函数图象可由正比例函数$y=-2x$的图象向上平移3个单位长度得到。
【答案】
（1）$k=-2$，$b=3$；
（2）画图见解析，函数图象可由$y=-2x$向上平移3个单位长度得到。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象画法；一次函数图象平移规律
【点评】
本题是一次函数的基础题型，核心考查待定系数法的应用以及一次函数的图象性质，解题步骤固定，只要熟练掌握相关基础知识点就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
（1）求一次函数的系数k、b可使用待定系数法：已知函数图象经过两个点，将两点坐标分别代入一次函数解析式$y=kx+b$，就能得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可求出k、b的值。
（2）一次函数的图象是直线，根据“两点确定一条直线”的性质，通常选取函数与x轴、y轴的两个交点描点画图即可；一次函数$y=kx+b$与正比例函数$y=kx$的平移规律为“上加下减常数项”，据此可判断平移方式。
【解析】
(1) 将点$(2, -1)$和$(-1, 5)$代入$y=kx+b$，可得方程组：
$\begin{cases}2k + b = -1 \\-k + b = 5\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去b，得$3k=-6$，解得$k=-2$。
把$k=-2$代入$-k + b=5$，得$2 + b=5$，解得$b=3$。
(2) 由(1)得该一次函数解析式为$y=-2x+3$。
取图象上两点：当$x=0$时，$y=3$，即与y轴交点为$(0,3)$；当$y=0$时，$x=\frac{3}{2}$，即与x轴交点为$(\frac{3}{2},0)$。在平面直角坐标系中描出这两个点，过两点画直线，即为该一次函数的图象。
根据一次函数平移规律，该函数图象可由正比例函数$y=-2x$的图象向上平移3个单位长度得到。
【答案】
（1）$k=-2$，$b=3$；
（2）画图见解析，函数图象可由$y=-2x$向上平移3个单位长度得到。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象画法；一次函数图象平移规律
【点评】
本题是一次函数的基础题型，核心考查待定系数法的应用以及一次函数的图象性质，解题步骤固定，只要熟练掌握相关基础知识点就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
6. 一次函数$y=-2x+3$的图象与坐标轴围成的三角形的面积为。
答案
$\boldsymbol{\frac{9}{4}}$
解析
【分析】
要计算一次函数图象与坐标轴围成的三角形面积，首先明确该三角形为直角三角形，直角顶点在坐标原点，两条直角边的长度分别是一次函数与y轴交点纵坐标的绝对值、与x轴交点横坐标的绝对值。解题时先分别求出一次函数与x轴、y轴的交点坐标，再代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
第一步：求一次函数与y轴的交点坐标
当x=0时，代入$y=-2x+3$，得$y=-2×0+3=3$，
所以函数与y轴的交点为$(0, 3)$，该交点到原点的距离为3，即三角形的一条直角边长为3。
第二步：求一次函数与x轴的交点坐标
当y=0时，代入$y=-2x+3$，得$0=-2x+3$，
解方程得：$2x=3$，$x=\frac{3}{2}$，
所以函数与x轴的交点为$(\frac{3}{2}, 0)$，该交点到原点的距离为$\frac{3}{2}$，即三角形的另一条直角边长为$\frac{3}{2}$。
第三步：计算三角形面积
根据直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}× 直角边\_\_\_\_\_\_1 × 直角边\_\_\_\_\_\_2$，
得$S=\frac{1}{2}×3×\frac{3}{2}=\frac{9}{4}$。
【答案】
$\frac{9}{4}$
【知识点】
一次函数的图象特征；坐标轴上点的坐标特点；三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数图象相关的基础题型，核心是掌握一次函数与坐标轴交点的求解方法，解题时注意坐标的正负不影响长度计算，需取绝对值代入，避免因符号问题出错。
【难度系数】
0.8
要计算一次函数图象与坐标轴围成的三角形面积，首先明确该三角形为直角三角形，直角顶点在坐标原点，两条直角边的长度分别是一次函数与y轴交点纵坐标的绝对值、与x轴交点横坐标的绝对值。解题时先分别求出一次函数与x轴、y轴的交点坐标，再代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
第一步：求一次函数与y轴的交点坐标
当x=0时，代入$y=-2x+3$，得$y=-2×0+3=3$，
所以函数与y轴的交点为$(0, 3)$，该交点到原点的距离为3，即三角形的一条直角边长为3。
第二步：求一次函数与x轴的交点坐标
当y=0时，代入$y=-2x+3$，得$0=-2x+3$，
解方程得：$2x=3$，$x=\frac{3}{2}$，
所以函数与x轴的交点为$(\frac{3}{2}, 0)$，该交点到原点的距离为$\frac{3}{2}$，即三角形的另一条直角边长为$\frac{3}{2}$。
第三步：计算三角形面积
根据直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}× 直角边\_\_\_\_\_\_1 × 直角边\_\_\_\_\_\_2$，
得$S=\frac{1}{2}×3×\frac{3}{2}=\frac{9}{4}$。
【答案】
$\frac{9}{4}$
【知识点】
一次函数的图象特征；坐标轴上点的坐标特点；三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数图象相关的基础题型，核心是掌握一次函数与坐标轴交点的求解方法，解题时注意坐标的正负不影响长度计算，需取绝对值代入，避免因符号问题出错。
【难度系数】
0.8
7. 小明认为,在一次函数$y=kx+b$中,$x$每增加1,$kx$增加了$k$,$b$没变,因此$y$也增加了$k$.在如图所示的一次函数图象中,$x$从1变成2时,函数值从3变为5,增加了2,因此该一次函数中$k$的值是2.小明确定$k$的这种方法有道理吗?说说你的认识.
已知一次函数的图象经过$(-1,1)$,$(0,-1)$两点,用两种不同的方法求这个一次函数的表达式.
已知一次函数的图象经过$(-1,1)$,$(0,-1)$两点,用两种不同的方法求这个一次函数的表达式.
答案
解：
小明的方法有道理。
对于一次函数$y=kx+b$，当自变量取值为$x$时，对应函数值为$y=kx+b$；当自变量取值为$x+1$时，对应函数值为$y'=k(x+1)+b=kx+k+b$。计算差值$y'-y=(kx+k+b)-(kx+b)=k$，因此$x$每增加1，$y$相应增加$k$，小明的推导是正确的。
方法一：常规待定系数法
设该一次函数的表达式为$y=kx+b$。
将点$(-1,1)$、$(0,-1)$分别代入表达式，得：
$\begin{cases}-k + b = 1 \\b = -1\end{cases}$
将$b=-1$代入$-k+b=1$，得$-k-1=1$，解得$k=-2$。
因此该一次函数的表达式为$y=-2x-1$。
方法二：利用小明的结论求解
已知两点$(-1,1)$和$(0,-1)$，自变量$x$从$-1$增加到$0$时，$x$增加了1，对应的函数值从$1$变为$-1$，函数值的增量为$-1-1=-2$，根据小明的结论可得$k=-2$。
又因为函数图象过点$(0,-1)$，即$x=0$时$y=-1$，所以一次函数的截距$b=-1$。
因此该一次函数的表达式为$y=-2x-1$。
小明的方法有道理。
对于一次函数$y=kx+b$，当自变量取值为$x$时，对应函数值为$y=kx+b$；当自变量取值为$x+1$时，对应函数值为$y'=k(x+1)+b=kx+k+b$。计算差值$y'-y=(kx+k+b)-(kx+b)=k$，因此$x$每增加1，$y$相应增加$k$，小明的推导是正确的。
方法一：常规待定系数法
设该一次函数的表达式为$y=kx+b$。
将点$(-1,1)$、$(0,-1)$分别代入表达式，得：
$\begin{cases}-k + b = 1 \\b = -1\end{cases}$
将$b=-1$代入$-k+b=1$，得$-k-1=1$，解得$k=-2$。
因此该一次函数的表达式为$y=-2x-1$。
方法二：利用小明的结论求解
已知两点$(-1,1)$和$(0,-1)$，自变量$x$从$-1$增加到$0$时，$x$增加了1，对应的函数值从$1$变为$-1$，函数值的增量为$-1-1=-2$，根据小明的结论可得$k=-2$。
又因为函数图象过点$(0,-1)$，即$x=0$时$y=-1$，所以一次函数的截距$b=-1$。
因此该一次函数的表达式为$y=-2x-1$。
解析
【分析】
本题分为两个模块思考：①判断小明方法是否合理：可通过计算自变量x增加1时对应函数值的变化量，推导变化量与k的关系即可验证结论；②求一次函数表达式：方法一用常规待定系数法，设解析式后代入两点坐标，解二元一次方程组得k、b的值；方法二利用小明发现的“x每增加1，y的增量等于k”的结论，先通过两点坐标差算k，再结合图象与y轴的交点确定b的值，即可写出解析式。
【解析】
一、判断小明的方法是否合理
小明的方法有道理。
对于一次函数$y=kx+b$：
当自变量取值为$x$时，对应函数值为$y=kx+b$；
当自变量增加1变为$x+1$时，对应函数值为$y'=k(x+1)+b=kx+k+b$；
计算函数值的差：$y'-y=(kx+k+b)-(kx+b)=k$，即x每增加1，y的增量恰好等于k，因此小明的推导正确。
二、求一次函数的表达式
方法一：待定系数法
设该一次函数的表达式为$y=kx+b$。
将点$(-1,1)$、$(0,-1)$分别代入表达式，得方程组：
$\begin{cases}-k + b = 1 \\b = -1\end{cases}$
把$b=-1$代入$-k+b=1$，得$-k-1=1$，解得$k=-2$。
因此该一次函数的表达式为$y=-2x-1$。
方法二：利用k的增量意义求解
观察两点$(-1,1)$和$(0,-1)$：自变量x从-1增加到0，增量为1，对应的函数值从1变为-1，增量为$-1-1=-2$。
根据小明的结论，x每增加1时y的增量等于k，因此$k=-2$。
又因为函数图象过点$(0,-1)$，即x=0时y=-1，因此截距$b=-1$。
因此该一次函数的表达式为$y=-2x-1$。
【答案】
小明确定k的方法有道理；所求一次函数的表达式为$\boldsymbol{y=-2x-1}$
【知识点】
1. 一次函数的性质
2. 待定系数法求解析式
3. 一次函数k的意义
【点评】
本题聚焦一次函数的本质理解，既考查了求一次函数解析式的常规方法，又引导学生从函数增量的角度理解系数k的含义，能够帮助学生拓宽解题思路，深化对一次函数的认知。
【难度系数】
0.7
本题分为两个模块思考：①判断小明方法是否合理：可通过计算自变量x增加1时对应函数值的变化量，推导变化量与k的关系即可验证结论；②求一次函数表达式：方法一用常规待定系数法，设解析式后代入两点坐标，解二元一次方程组得k、b的值；方法二利用小明发现的“x每增加1，y的增量等于k”的结论，先通过两点坐标差算k，再结合图象与y轴的交点确定b的值，即可写出解析式。
【解析】
一、判断小明的方法是否合理
小明的方法有道理。
对于一次函数$y=kx+b$：
当自变量取值为$x$时，对应函数值为$y=kx+b$；
当自变量增加1变为$x+1$时，对应函数值为$y'=k(x+1)+b=kx+k+b$；
计算函数值的差：$y'-y=(kx+k+b)-(kx+b)=k$，即x每增加1，y的增量恰好等于k，因此小明的推导正确。
二、求一次函数的表达式
方法一：待定系数法
设该一次函数的表达式为$y=kx+b$。
将点$(-1,1)$、$(0,-1)$分别代入表达式，得方程组：
$\begin{cases}-k + b = 1 \\b = -1\end{cases}$
把$b=-1$代入$-k+b=1$，得$-k-1=1$，解得$k=-2$。
因此该一次函数的表达式为$y=-2x-1$。
方法二：利用k的增量意义求解
观察两点$(-1,1)$和$(0,-1)$：自变量x从-1增加到0，增量为1，对应的函数值从1变为-1，增量为$-1-1=-2$。
根据小明的结论，x每增加1时y的增量等于k，因此$k=-2$。
又因为函数图象过点$(0,-1)$，即x=0时y=-1，因此截距$b=-1$。
因此该一次函数的表达式为$y=-2x-1$。
【答案】
小明确定k的方法有道理；所求一次函数的表达式为$\boldsymbol{y=-2x-1}$
【知识点】
1. 一次函数的性质
2. 待定系数法求解析式
3. 一次函数k的意义
【点评】
本题聚焦一次函数的本质理解，既考查了求一次函数解析式的常规方法，又引导学生从函数增量的角度理解系数k的含义，能够帮助学生拓宽解题思路，深化对一次函数的认知。
【难度系数】
0.7
