登录
11. 某商场销售一台$A型冰箱的利润为100$元,销售一台$B型冰箱的利润为160$元,该商场计划一次购进两种型号的冰箱共$80$台,其中$B型冰箱的进货量不超过A型冰箱的3$倍.设购进$A型冰箱x$台,这$80台冰箱的销售总利润为y$元.
(1)求$y关于x$的函数表达式.
(2)该商场购进$A$,$B$型冰箱各多少台,才能使销售总利润最大？最大利润为多少？
(1)求$y关于x$的函数表达式.
(2)该商场购进$A$,$B$型冰箱各多少台,才能使销售总利润最大？最大利润为多少？
答案
解:(1)根据题意,得$y = 100x + 160(80 - x)$,即$y = - 60x + 12800$,
∴y关于x的函数表达式为$y = - 60x + 12800$.
(2)根据题意,得$80 - x ≤ 3x$,
解得$x ≥ 20$.
由(1)可知,$y = - 60x + 12800$.
∵$k = - 60 ＜ 0$,
∴y随x的增大而减小,
∴当$x = 20$时,y取最大值,
最大值为$- 60×20 + 12800 = 11600$,此时$80 - x = 60$,
∴该商场购进A型冰箱20台,B型冰箱60台时,才能使销售总利润最大,最大利润为11600元.
∴y关于x的函数表达式为$y = - 60x + 12800$.
(2)根据题意,得$80 - x ≤ 3x$,
解得$x ≥ 20$.
由(1)可知,$y = - 60x + 12800$.
∵$k = - 60 ＜ 0$,
∴y随x的增大而减小,
∴当$x = 20$时,y取最大值,
最大值为$- 60×20 + 12800 = 11600$,此时$80 - x = 60$,
∴该商场购进A型冰箱20台,B型冰箱60台时,才能使销售总利润最大,最大利润为11600元.
12. 学校与图书馆在同一条笔直的道路上,甲从学校去图书馆,乙从图书馆回学校,甲、乙两人都匀速步行且同时出发,乙先到达目的地.两人之间的距离$y$($\mathrm{m}$)与时间$t$($\mathrm{min}$)之间的函数关系如图所示.
(1)根据图象信息,学校与图书馆相距______$\mathrm{m}$；
(2)求点$A$的坐标,并说出点$A$的实际意义；
(3)求$y与t$之间的函数表达式；
(4)当甲、乙两人出发多久时,两人之间的距离为$300\mathrm{m}$？
(1)根据图象信息,学校与图书馆相距______$\mathrm{m}$；
2400
(2)求点$A$的坐标,并说出点$A$的实际意义；
点$A$的坐标为$(40,1600)$，点$A$的实际意义为甲、乙两人出发40 min后乙到达学校，此时两人相距1600 m
(3)求$y与t$之间的函数表达式；
$y = \begin{cases} - 100t + 2400(0 ≤ t ≤ 24)\\ 100t - 2400(24 ＜ t ≤ 40)\\ 40t(40 ＜ t ≤ 60) \end{cases}$
(4)当甲、乙两人出发多久时,两人之间的距离为$300\mathrm{m}$？
21 min或27 min
答案
解:(1)2400
(2)根据题意,得甲的速度为$\frac{2400}{60} = 40(m/min)$.
由题中图象,得两人在第24 min相遇,∴乙的速度为$\frac{2400}{24} - 40 = 60(m/min)$,乙走完全程用时$\frac{2400}{60} = 40(min)$,此时甲走了$40×40 = 1600(m)$,
即点$A(40,1600)$,点A的实际意义为甲、乙两人出发40 min后乙到达学校,此时两人相距1600 m.
(3)当$0 ≤ t ≤ 24$时,设$y_{1} = at + b_{1}$.根据题意,
得$\begin{cases} 24a + b_{1} = 0\\ b_{1} = 2400 \end{cases}$,
解得$\begin{cases} a = - 100\\ b_{1} = 2400 \end{cases}$,
∴$y_{1} = - 100t + 2400(0 ≤ t ≤ 24)$;
当$24 ＜ t ≤ 40$时,设$y_{2} = kt + b_{2}$.根据题意,
得$\begin{cases} 24k + b_{2} = 0\\ 40k + b_{2} = 1600 \end{cases}$,
解得$\begin{cases} k = 100\\ b_{2} = - 2400 \end{cases}$,
∴$y_{2} = 100t - 2400(24 ＜ t ≤ 40)$;
当$40 ＜ t ≤ 60$时,设$y_{3} = mt + b_{3}$.根据题意,
得$\begin{cases} 60m + b_{3} = 2400\\ 40m + b_{3} = 1600 \end{cases}$,
解得$\begin{cases} m = 40\\ b_{3} = 0 \end{cases}$,
∴$y_{3} = 40t(40 ＜ t ≤ 60)$.
综上所述,$y = \begin{cases} - 100t + 2400(0 ≤ t ≤ 24)\\ 100t - 2400(24 ＜ t ≤ 40)\\ 40t(40 ＜ t ≤ 60) \end{cases}$.
(4)在相遇前,两人之间的距离为300 m.
根据题意,得$- 100t + 2400 = 300$,
解得$t = 21$;
在相遇后,两人之间的距离为300 m.根据题意,
得$100t - 2400 = 300$,
解得$t = 27$.
综上所述,当甲、乙两人出发21 min或27 min时,两人之间的距离为300 m.
(2)根据题意,得甲的速度为$\frac{2400}{60} = 40(m/min)$.
由题中图象,得两人在第24 min相遇,∴乙的速度为$\frac{2400}{24} - 40 = 60(m/min)$,乙走完全程用时$\frac{2400}{60} = 40(min)$,此时甲走了$40×40 = 1600(m)$,
即点$A(40,1600)$,点A的实际意义为甲、乙两人出发40 min后乙到达学校,此时两人相距1600 m.
(3)当$0 ≤ t ≤ 24$时,设$y_{1} = at + b_{1}$.根据题意,
得$\begin{cases} 24a + b_{1} = 0\\ b_{1} = 2400 \end{cases}$,
解得$\begin{cases} a = - 100\\ b_{1} = 2400 \end{cases}$,
∴$y_{1} = - 100t + 2400(0 ≤ t ≤ 24)$;
当$24 ＜ t ≤ 40$时,设$y_{2} = kt + b_{2}$.根据题意,
得$\begin{cases} 24k + b_{2} = 0\\ 40k + b_{2} = 1600 \end{cases}$,
解得$\begin{cases} k = 100\\ b_{2} = - 2400 \end{cases}$,
∴$y_{2} = 100t - 2400(24 ＜ t ≤ 40)$;
当$40 ＜ t ≤ 60$时,设$y_{3} = mt + b_{3}$.根据题意,
得$\begin{cases} 60m + b_{3} = 2400\\ 40m + b_{3} = 1600 \end{cases}$,
解得$\begin{cases} m = 40\\ b_{3} = 0 \end{cases}$,
∴$y_{3} = 40t(40 ＜ t ≤ 60)$.
综上所述,$y = \begin{cases} - 100t + 2400(0 ≤ t ≤ 24)\\ 100t - 2400(24 ＜ t ≤ 40)\\ 40t(40 ＜ t ≤ 60) \end{cases}$.
(4)在相遇前,两人之间的距离为300 m.
根据题意,得$- 100t + 2400 = 300$,
解得$t = 21$;
在相遇后,两人之间的距离为300 m.根据题意,
得$100t - 2400 = 300$,
解得$t = 27$.
综上所述,当甲、乙两人出发21 min或27 min时,两人之间的距离为300 m.
13. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y= kx+b的图象经过点A(-2,6)$,且与$x轴交于点B$,与正比例函数$y= 3x的图象交于点C$,点$C的横坐标为1$.
(1)求$k$,$b$的值；$k=$
(2)若点$D在y$轴的负半轴上,且满足$S_{\triangle COD}= 4S_{\triangle BOC}$,求点$D$的坐标.点$D$的坐标为
(1)求$k$,$b$的值；$k=$
-1
，$b=$4
(2)若点$D在y$轴的负半轴上,且满足$S_{\triangle COD}= 4S_{\triangle BOC}$,求点$D$的坐标.点$D$的坐标为
(0,-48)
答案
解:(1)当$x = 1$时,$y = 3×1 = 3$,
∴点C的坐标为$(1,3)$.
分别将$A( - 2,6),C(1,3)$代入$y = kx + b$中,
得$\begin{cases} - 2k + b = 6\\ k + b = 3 \end{cases}$,解得$\begin{cases} k = - 1\\ b = 4 \end{cases}$.
(2)令$y = 0$,则$- x + 4 = 0$,
解得$x = 4$,
∴点B的坐标为$(4,0)$.
设点D的坐标为$(0,m)$.
∵$S_{\triangle COD} = 4S_{\triangle BOC}$,$\therefore \frac{1}{2}×1×|m| = 4×\frac{1}{2}×4×3$,
解得$m = ± 48$.
∵点D在y轴的负半轴上,
∴$m = - 48$,
∴点D的坐标为$(0, - 48)$.
∴点C的坐标为$(1,3)$.
分别将$A( - 2,6),C(1,3)$代入$y = kx + b$中,
得$\begin{cases} - 2k + b = 6\\ k + b = 3 \end{cases}$,解得$\begin{cases} k = - 1\\ b = 4 \end{cases}$.
(2)令$y = 0$,则$- x + 4 = 0$,
解得$x = 4$,
∴点B的坐标为$(4,0)$.
设点D的坐标为$(0,m)$.
∵$S_{\triangle COD} = 4S_{\triangle BOC}$,$\therefore \frac{1}{2}×1×|m| = 4×\frac{1}{2}×4×3$,
解得$m = ± 48$.
∵点D在y轴的负半轴上,
∴$m = - 48$,
∴点D的坐标为$(0, - 48)$.
