7. (2025·编写)一次函数$y_1 = k_1x + b(k_1 \neq 0)与反比例函数y_2 = \frac{k_2}{x}(k_2 \neq 0)的图象交于点A(-1,-2)和点B(2,1)$。当$y_1 ＜ y_2$时,$x$的取值范围是()
A. $x ＜ -1$
B. $-1 ＜ x ＜ 0或x ＞ 2$
C. $0 ＜ x ＜ 2$
D. $0 ＜ x ＜ 2或x ＜ -1$

D

8. (2025·编写)如图,小英同学根据学习函数的经验,自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个解析式为$y = \frac{2}{x - 1}$的函数图象。根据这个函数的图象,下列说法正确的是()

A. 图象与$x$轴没有交点
B. 当$x ＞ 0$时,$y ＞ 0$
C. 图象与$y轴的交点是(0,-\frac{1}{2})$
D. $y随x$的增大而减小

A

9. (1)(2025·编写)如图,在平面直角坐标系中,矩形$OABC的顶点A$,$B在双曲线y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$上,$BC与x轴交于点D$。若点$A的坐标为(1,2)$,求点$B$的坐标。

(2)(2025·编写)如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y = kx + b的图象经过点A(0,-4)$,$B(2,0)$,交反比例函数$y = \frac{m}{x}(x ＞ 0)的图象于点C(3,a)$,点$P$在反比例函数的图象上,横坐标为$n(0 ＜ n ＜ 3)$,$PQ // y轴交直线AB于点Q$,$D是y$轴上任意一点,连接$PD$,$QD$。
①求一次函数和反比例函数的表达式；
②求$\triangle DPQ$面积的最大值。

(1)[解]∵矩形OABC的顶点A,B在双曲线y=$\frac{k}{x}$(x＞0)上，点A的坐标为(1,2)，∴2=$\frac{k}{1}$，解得k = 2，∴双曲线的解析式为y = $\frac{2}{x}$，直线OA的解析式为y = 2x。∵OA⊥AB，∴设直线AB的解析式为y = −$\frac{1}{2}$x + b，∴2 = −$\frac{1}{2}$×1 + b，解得b = $\frac{5}{2}$，∴直线AB的解析式为y = −$\frac{1}{2}$x + $\frac{5}{2}$。由$\begin{cases} y = \frac{2}{x} \\ y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2} \end{cases}$解得$\begin{cases} x = 4 \\ y = \frac{1}{2} \end{cases}$或$\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases}$，∴点B(4,$\frac{1}{2}$)。
(2)[解]①把点A(0,−4)，B(2,0)的坐标代入y = kx + b，得$\begin{cases} b = -4 \\ 2k + b = 0 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k = 2 \\ b = -4 \end{cases}$，∴一次函数的表达式为y = 2x - 4。当x = 3时，y = 2×3 - 4 = 2，∴C(3,2)。∵点C在反比例函数的图象上，∴m = 3×2 = 6，∴反比例函数的表达式为y = $\frac{6}{x}$。故一次函数的表达式为y = 2x - 4，反比例函数的表达式为y = $\frac{6}{x}$。
②点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上，∴点P(n,$\frac{6}{n}$)，点Q(n,2n - 4)，∴PQ = $\frac{6}{n}$ - (2n - 4)，∴$S_{\triangle PDQ} = \frac{1}{2}n[\frac{6}{n} - (2n - 4)] = -n^2 + 2n + 3 = -(n - 1)^2 + 4$，∴当n = 1时，$S_{最大} = 4$。故$\triangle DPQ$面积的最大值是4。