4. 如图,需在一面墙上绘制几个相同的抛物线形图案.在平面直角坐标系中,最左边的抛物线可以用$y=ax^2+bx(a≠0)$表示.已知抛物线上B,C两点到地面的距离均为$\frac{3}{4}$ m,到墙边OA的距离分别为$\frac{1}{2}$ m,$\frac{3}{2}$ m.
(1) 求该抛物线的函数关系式,并求图案最高点到地面的距离;
(2) 若该墙的长度为10 m,则最多可以连续绘制几个这样的抛物线形图案?

(1) 将 $B(\frac{1}{2},\frac{3}{4}),C(\frac{3}{2},\frac{3}{4})$ 分别代入$y=ax^2+bx$,得$\begin{cases}\frac{1}{4}a+\frac{1}{2}b=\frac{3}{4},\\\frac{9}{4}a+\frac{3}{2}b=\frac{3}{4},\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\b=2.\end{cases}$
∴抛物线的函数关系式为 $y=-x^2+2x$,即 $y=-(x-1)^2+1$,
∴抛物线的顶点坐标为$(1,1)$,即图案最高点到地面的距离为1 m.
(2) 当 $y=0$,即$-x^2+2x=0$时,解得 $x_1=0,x_2=2$.
∵墙长 10 m,
∴最多可以连续绘制抛物线形图案的数量为$10÷2=5$(个).

5. 如图,某公路隧道横截面为抛物线,其最大高度为6 m,底部宽度 OM 为12 m,现以点 O 为原点,OM 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系.
(1) 直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标;
(2) 求这条抛物线的解析式;
(3) 若要搭建一个矩形“支撑架”AD—DC—CB,使 C,D 点在抛物线上,A,B 点在地面 OM 上,则这个“支撑架”的总长的最大值是多少米?

(1) $M(12,0),P(6,6)$
(2) 设抛物线的解析式为 $y=a(x-6)^2+6$,
∵抛物线$y=a(x-6)^2+6$ 经过点$(0,0)$,
∴$0=a(0-6)^2+6$,
∴$a=-\frac{1}{6}$,
∴抛物线解析式为 $y=-\frac{1}{6}(x-6)^2+6$,即 $y=-\frac{1}{6}x^2+2x$.
(3) 设 $A(m,0)$,则 $B(12-m,0),C(12-m,-\frac{1}{6}m^2+2m)$,$D(m,-\frac{1}{6}m^2+2m)$.
∴“支撑架”总长 $AD+DC+CB = (-\frac{1}{6}m^2+2m)+(12-2m)+(-\frac{1}{6}m^2+2m)=-\frac{1}{3}m^2+2m+12=-\frac{1}{3}(m-3)^2+15$.
∵此二次函数的图象开口向下,
∴当 $m=3$时,$AD+DC+CB$ 有最大值为 15,即支架的总长的最大值是 15 m.

6. 一条隧道的横截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8 m，宽为2 m，隧道的最高点P位于AB的中央且距地面6 m，建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）求抛物线的解析式；
（2）一辆货车高4 m，宽2 m，能否从该隧道内通过？为什么？
（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过？为什么？

(1) 由题意可知抛物线经过点 $A(0,2),P(4,6),B(8,2)$,设抛物线的解析式为 $y=ax^2+bx+c$,将点 A,P,B 的坐标代入抛物线的解析式,求得 $y=-\frac{1}{4}x^2+2x+2$.
(2) 令 $y=4$,则有 $-\frac{1}{4}x^2+2x+2=4$,解得 $x_1=4+2\sqrt{2},x_2=4-2\sqrt{2},|x_2-x_1|=4\sqrt{2}＞2$.
∴货车可以通过.
(3) 由(2)可知 $\frac{1}{2}|x_2-x_1|=2\sqrt{2}＞2$,
∴货车可以通过.