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8 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$∠ ABC$的平分线交AC于点D,$DE⊥ BC$于点E.若$△ ABC$与$△ CDE$的周长分别为17和7,则AB的长为（
A.10
B.16
C.8
D.5
（第8题）
D
）A.10
B.16
C.8
D.5
（第8题）答案
D
解析
【分析】
解题首先从已知条件角平分线和双垂直入手，先利用角平分线的性质得到相等线段AD=DE；再通过HL判定证明Rt△ABD和Rt△EBD全等，得到AB=BE；接下来将两个三角形的周长进行等量代换，把△CDE的周长转化为AC+EC，再把△ABC的周长用AB和△CDE的周长表示，通过整体代入建立等式即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵BD平分∠ABC，∠BAC=90°（即DA⊥AB），DE⊥BC
∴AD=DE（角平分线上的点到角两边的距离相等）
在Rt△ABD和Rt△EBD中：
$\{\begin{array}{l}BD=BD\\ AD=DE\end{array} $
∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL）
∴AB=BE
∵△CDE的周长为7
∴$CD+DE+EC=CD+AD+EC=AC+EC=7$
∵△ABC的周长为17
∴$AB+AC+BC=17$
又
∵$BC=BE+EC=AB+EC$
将其代入△ABC的周长公式得：
$AB+AC+AB+EC=17$
整理得$2AB + (AC+EC) =17$
把$AC+EC=7$代入上式，得$2AB+7=17$
解得$AB=5$
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形周长计算
【点评】
本题是角平分线章节的典型题型，解题核心是利用角平分线性质和全等三角形转化相等线段，结合整体代换思想求解，无需单独计算各边长度即可快速得到结果。
【难度系数】
0.7
解题首先从已知条件角平分线和双垂直入手，先利用角平分线的性质得到相等线段AD=DE；再通过HL判定证明Rt△ABD和Rt△EBD全等，得到AB=BE；接下来将两个三角形的周长进行等量代换，把△CDE的周长转化为AC+EC，再把△ABC的周长用AB和△CDE的周长表示，通过整体代入建立等式即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵BD平分∠ABC，∠BAC=90°（即DA⊥AB），DE⊥BC
∴AD=DE（角平分线上的点到角两边的距离相等）
在Rt△ABD和Rt△EBD中：
$\{\begin{array}{l}BD=BD\\ AD=DE\end{array} $
∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL）
∴AB=BE
∵△CDE的周长为7
∴$CD+DE+EC=CD+AD+EC=AC+EC=7$
∵△ABC的周长为17
∴$AB+AC+BC=17$
又
∵$BC=BE+EC=AB+EC$
将其代入△ABC的周长公式得：
$AB+AC+AB+EC=17$
整理得$2AB + (AC+EC) =17$
把$AC+EC=7$代入上式，得$2AB+7=17$
解得$AB=5$
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形周长计算
【点评】
本题是角平分线章节的典型题型，解题核心是利用角平分线性质和全等三角形转化相等线段，结合整体代换思想求解，无需单独计算各边长度即可快速得到结果。
【难度系数】
0.7
9 如图,在$△ ABC$中,按以下步骤作图:① 以点 B 为圆心,任意长为半径作弧,分别交 AB,BC 于点 D,E;② 分别以点 D,E 为圆心,大于$\frac{1}{2}DE$的长为半径作弧,两弧交于点 F;③ 作射线 BF 交 AC 于点 G.如果$\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$,那么$\frac{S_{△ ABG}}{S_{△ BGC}}=$
$\frac{2}{3}$
.答案
$\frac{2}{3}$
解析
【分析】
首先根据题中的尺规作图步骤，可判断出射线BG是∠ABC的角平分线；再根据角平分线的性质，可知点G到AB、BC两边的距离相等，即△ABG和△BGC分别以AB、BC为底时，对应的高相等；此时两个三角形的面积比就等于底边长的比，代入已知的$\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$即可求出结果。
【解析】
由作图步骤可知，BG是$∠ ABC$的角平分线。
过点G作$GM⊥ AB$于点M，$GN⊥ BC$于点N，根据角平分线的性质可得：$GM=GN$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，得：
$S_{△ ABG}=\frac{1}{2}× AB× GM$，$S_{△ BGC}=\frac{1}{2}× BC× GN$
因此$\frac{S_{△ ABG}}{S_{△ BGC}}=\frac{\frac{1}{2}× AB× GM}{\frac{1}{2}× BC× GN}=\frac{AB}{BC}$
已知$\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$，所以$\frac{S_{△ ABG}}{S_{△ BGC}}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
角平分线的尺规作图；角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是先通过作图特征识别出角平分线，再利用角平分线的性质得到两个三角形等高，进而将面积比转化为底边长度的比，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
首先根据题中的尺规作图步骤，可判断出射线BG是∠ABC的角平分线；再根据角平分线的性质，可知点G到AB、BC两边的距离相等，即△ABG和△BGC分别以AB、BC为底时，对应的高相等；此时两个三角形的面积比就等于底边长的比，代入已知的$\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$即可求出结果。
【解析】
由作图步骤可知，BG是$∠ ABC$的角平分线。
过点G作$GM⊥ AB$于点M，$GN⊥ BC$于点N，根据角平分线的性质可得：$GM=GN$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，得：
$S_{△ ABG}=\frac{1}{2}× AB× GM$，$S_{△ BGC}=\frac{1}{2}× BC× GN$
因此$\frac{S_{△ ABG}}{S_{△ BGC}}=\frac{\frac{1}{2}× AB× GM}{\frac{1}{2}× BC× GN}=\frac{AB}{BC}$
已知$\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$，所以$\frac{S_{△ ABG}}{S_{△ BGC}}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
角平分线的尺规作图；角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是先通过作图特征识别出角平分线，再利用角平分线的性质得到两个三角形等高，进而将面积比转化为底边长度的比，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
10 教材P53习题T8变式 如图，AB//CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直。若AD=8，则点P到BC的距离是
4
。答案
4 【解析】过点 P 作 PE⊥BC 于点 E.
∵ BP 平分∠ABC,PA⊥AB,PE⊥BC,
∴ PA=PE.
∵ PA⊥AB,AB//CD,
∴ PD⊥CD. 又
∵ CP 平分∠DCB,
∴ PD=PE.
∴ PE=PA=PD=$\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×8=4$,即点 P 到 BC 的距离是4.
∵ BP 平分∠ABC,PA⊥AB,PE⊥BC,
∴ PA=PE.
∵ PA⊥AB,AB//CD,
∴ PD⊥CD. 又
∵ CP 平分∠DCB,
∴ PD=PE.
∴ PE=PA=PD=$\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×8=4$,即点 P 到 BC 的距离是4.
解析
【分析】
要求点P到BC的距离，首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知AD过点P且垂直AB，结合AB//CD可推出AD也垂直CD，因此PA是点P到AB的距离，PD是点P到CD的距离。我们过点P作BC的垂线段PE，PE就是点P到BC的距离，再利用BP、CP是角平分线的条件，可推出PA=PE、PD=PE，因此PE等于AD的一半，代入AD的长度即可求出结果。
【解析】
过点P作PE⊥BC于点E。
∵ BP平分∠ABC，PA⊥AB，PE⊥BC，
∴ PA=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ PA⊥AB，AB//CD，
∴ PD⊥CD（一条直线垂直于一组平行线中的一条，必垂直于另一条）。
又
∵ CP平分∠DCB，PD⊥CD，PE⊥BC，
∴ PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴ PE=PA=PD，即$PE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质；平行线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题属于角平分线性质的基础应用题，解题核心是通过作辅助线构造角平分线上的点到角两边的垂线段，结合平行线的性质建立所求距离和已知线段的数量关系，要注意角平分线性质的使用前提是存在点到角两边的垂线段。
【难度系数】
0.7
要求点P到BC的距离，首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知AD过点P且垂直AB，结合AB//CD可推出AD也垂直CD，因此PA是点P到AB的距离，PD是点P到CD的距离。我们过点P作BC的垂线段PE，PE就是点P到BC的距离，再利用BP、CP是角平分线的条件，可推出PA=PE、PD=PE，因此PE等于AD的一半，代入AD的长度即可求出结果。
【解析】
过点P作PE⊥BC于点E。
∵ BP平分∠ABC，PA⊥AB，PE⊥BC，
∴ PA=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ PA⊥AB，AB//CD，
∴ PD⊥CD（一条直线垂直于一组平行线中的一条，必垂直于另一条）。
又
∵ CP平分∠DCB，PD⊥CD，PE⊥BC，
∴ PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴ PE=PA=PD，即$PE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质；平行线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题属于角平分线性质的基础应用题，解题核心是通过作辅助线构造角平分线上的点到角两边的垂线段，结合平行线的性质建立所求距离和已知线段的数量关系，要注意角平分线性质的使用前提是存在点到角两边的垂线段。
【难度系数】
0.7
11 如图，BD是$∠ ABC$的平分线，$AB=BC$，点E在BD上，连接AE，CE，$DF ⊥ AE$，$DG ⊥ CE$，垂足分别是F，G.求证:$DF=DG$.
答案
∵ BD 平分∠ABC,
∴ ∠ABE = ∠CBE. 在△ABE 和△CBE 中,$\begin{cases} AB=CB, \\ ∠ABE=∠CBE, \\ BE=BE, \end{cases}$,
∴ △ABE≌△CBE.
∴ ∠AEB=∠CEB.
∴ ∠AED=∠CED,即 ED 平分∠AEC. 又
∵ DF⊥AE,DG⊥CE,
∴ DF=DG
解析
【分析】
要证DF=DG，观察到DF、DG分别是点D到AE、CE的垂线段，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，只需先证明ED平分∠AEC，即∠AED=∠CED。首先由BD平分∠ABC可得∠ABE=∠CBE，结合已知AB=BC、公共边BE=BE，可用SAS证明△ABE≌△CBE，得到对应角∠AEB=∠CEB，再根据等角的补角相等推出∠AED=∠CED，即可得到ED是∠AEC的角平分线，最终结合已知的垂直条件，利用角平分线的性质得证结论。
【解析】
证明：
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABE = ∠CBE。
在△ABE 和△CBE 中，
$\begin{cases} AB=CB, \\ ∠ABE=∠CBE, \\ BE=BE, \end{cases}$
∴ △ABE≌△CBE（SAS）。
∴ ∠AEB=∠CEB，
∴ ∠AED=∠CED，即ED平分∠AEC。
又
∵ DF⊥AE，DG⊥CE，
∴ DF=DG。
【答案】
DF=DG，证明成立。
【知识点】
1. SAS判定三角形全等
2. 全等三角形的性质
3. 角平分线的性质
【点评】
本题是几何基础综合证明题，解题关键是先通过全等三角形得到等角，推导出角平分线后，利用角平分线的性质证明两条垂线段相等，能够有效考查学生对全等三角形、角平分线相关知识的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.7
要证DF=DG，观察到DF、DG分别是点D到AE、CE的垂线段，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，只需先证明ED平分∠AEC，即∠AED=∠CED。首先由BD平分∠ABC可得∠ABE=∠CBE，结合已知AB=BC、公共边BE=BE，可用SAS证明△ABE≌△CBE，得到对应角∠AEB=∠CEB，再根据等角的补角相等推出∠AED=∠CED，即可得到ED是∠AEC的角平分线，最终结合已知的垂直条件，利用角平分线的性质得证结论。
【解析】
证明：
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABE = ∠CBE。
在△ABE 和△CBE 中，
$\begin{cases} AB=CB, \\ ∠ABE=∠CBE, \\ BE=BE, \end{cases}$
∴ △ABE≌△CBE（SAS）。
∴ ∠AEB=∠CEB，
∴ ∠AED=∠CED，即ED平分∠AEC。
又
∵ DF⊥AE，DG⊥CE，
∴ DF=DG。
【答案】
DF=DG，证明成立。
【知识点】
1. SAS判定三角形全等
2. 全等三角形的性质
3. 角平分线的性质
【点评】
本题是几何基础综合证明题，解题关键是先通过全等三角形得到等角，推导出角平分线后，利用角平分线的性质证明两条垂线段相等，能够有效考查学生对全等三角形、角平分线相关知识的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.7
12 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ C=90°$,AD 平分 $∠ BAC$,交 BC 于点 D,$DE⊥ AB$ 于点 E,点 F 在 AC 上,且 $DF=BD$.
(1) 求证:$BE=FC$;
(2) 若 $AE=12$,$AF=8$,求 BE 的长.
(1) 求证:$BE=FC$;
(2) 若 $AE=12$,$AF=8$,求 BE 的长.
答案
(1)
∵ ∠C=90°,
∴ DC⊥AC.
∵ AD 平分∠BAC,DC⊥AC,DE⊥AB,
∴ DC = DE, ∠DEB = ∠DEA = 90°. 在Rt△DEB 和Rt△DCF 中,$\begin{cases} DB=DF, \\ DE=DC, \end{cases}$,
∴ Rt△DEB≌Rt△DCF.
∴ BE=FC
(2) 由(1),知∠C=∠DEA=90°.
∵ AD 平分∠BAC,
∴ ∠CAD = ∠EAD. 在△ADC 和△ADE 中,$\begin{cases} ∠CAD=∠EAD, \\ ∠C=∠DEA, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴ △ADC≌△ADE.
∴ AC=AE.
∵ AC=AF+CF,由(1)知,BE=FC,
∴ AE=AF+BE.
∴ BE=AE-AF=12-8=4
∵ ∠C=90°,
∴ DC⊥AC.
∵ AD 平分∠BAC,DC⊥AC,DE⊥AB,
∴ DC = DE, ∠DEB = ∠DEA = 90°. 在Rt△DEB 和Rt△DCF 中,$\begin{cases} DB=DF, \\ DE=DC, \end{cases}$,
∴ Rt△DEB≌Rt△DCF.
∴ BE=FC
(2) 由(1),知∠C=∠DEA=90°.
∵ AD 平分∠BAC,
∴ ∠CAD = ∠EAD. 在△ADC 和△ADE 中,$\begin{cases} ∠CAD=∠EAD, \\ ∠C=∠DEA, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴ △ADC≌△ADE.
∴ AC=AE.
∵ AC=AF+CF,由(1)知,BE=FC,
∴ AE=AF+BE.
∴ BE=AE-AF=12-8=4
解析
【分析】
（1）要证明$BE=FC$，可通过证明两条线段所在的直角三角形全等来推导。首先根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$DC=DE$，结合已知$DF=BD$，利用HL即可证明$\mathrm{Rt}△DEB$和$\mathrm{Rt}△DCF$全等，从而得到结论。
（2）要求$BE$的长，先利用AAS证明$△ADC≌△ADE$，得到$AC=AE$，再结合$AC=AF+CF$，且由（1）知$BE=FC$，将已知$AE$、$AF$的长度代入即可求出$BE$的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ $∠C=90°$，
∴ $DC⊥AC$。
∵ $AD$平分$∠BAC$，$DC⊥AC$，$DE⊥AB$，
∴ $DC = DE$，$∠DEB = ∠C = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△DEB$ 和$\mathrm{Rt}△DCF$ 中，
$\begin{cases} DB=DF \\ DE=DC \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△DEB≌\mathrm{Rt}△DCF$（HL），
∴ $BE=FC$。
(2) 解：
由(1)知$∠C=∠DEA=90°$，
∵ $AD$平分$∠BAC$，
∴ $∠CAD = ∠EAD$。
在$△ADC$ 和$△ADE$ 中，
$\begin{cases} ∠CAD=∠EAD \\ ∠C=∠DEA \\ AD=AD \end{cases}$
∴ $△ADC≌△ADE$（AAS），
∴ $AC=AE$。
∵ $AC=AF+CF$，且由(1)得$BE=FC$，
∴ $AE=AF+BE$，
∴ $BE=AE-AF=12-8=4$。
【答案】
(1) $BE=FC$得证；(2) $BE$的长为$\boxed{4}$
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是角平分线性质与全等三角形的综合应用题，解题的关键是熟练利用角平分线的性质得到相等的线段，再通过证明全等实现线段的等量转化，这类题型是几何基础常考题，需熟练掌握全等的证明方法和线段关系转化的思路。
【难度系数】
0.8
（1）要证明$BE=FC$，可通过证明两条线段所在的直角三角形全等来推导。首先根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$DC=DE$，结合已知$DF=BD$，利用HL即可证明$\mathrm{Rt}△DEB$和$\mathrm{Rt}△DCF$全等，从而得到结论。
（2）要求$BE$的长，先利用AAS证明$△ADC≌△ADE$，得到$AC=AE$，再结合$AC=AF+CF$，且由（1）知$BE=FC$，将已知$AE$、$AF$的长度代入即可求出$BE$的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ $∠C=90°$，
∴ $DC⊥AC$。
∵ $AD$平分$∠BAC$，$DC⊥AC$，$DE⊥AB$，
∴ $DC = DE$，$∠DEB = ∠C = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△DEB$ 和$\mathrm{Rt}△DCF$ 中，
$\begin{cases} DB=DF \\ DE=DC \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△DEB≌\mathrm{Rt}△DCF$（HL），
∴ $BE=FC$。
(2) 解：
由(1)知$∠C=∠DEA=90°$，
∵ $AD$平分$∠BAC$，
∴ $∠CAD = ∠EAD$。
在$△ADC$ 和$△ADE$ 中，
$\begin{cases} ∠CAD=∠EAD \\ ∠C=∠DEA \\ AD=AD \end{cases}$
∴ $△ADC≌△ADE$（AAS），
∴ $AC=AE$。
∵ $AC=AF+CF$，且由(1)得$BE=FC$，
∴ $AE=AF+BE$，
∴ $BE=AE-AF=12-8=4$。
【答案】
(1) $BE=FC$得证；(2) $BE$的长为$\boxed{4}$
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是角平分线性质与全等三角形的综合应用题，解题的关键是熟练利用角平分线的性质得到相等的线段，再通过证明全等实现线段的等量转化，这类题型是几何基础常考题，需熟练掌握全等的证明方法和线段关系转化的思路。
【难度系数】
0.8
13 在$△ ABC$中，D是边BC上的点（不与点B，C重合），连接AD.
（1）如图①，当D是边BC的中点时，$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=$
（2）如图②，当AD平分$∠ BAC$时，若$AB=m$，$AC=n$，求$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}$的值（用含$m$，$n$的式子表示）.
（3）如图③，AD平分$∠ BAC$，延长AD到点E，使得$AD=DE$，连接BE.若$AC=3$，$AB=5$，$S_{△ BDE}=10$，求$S_{△ ABC}$的值.
（1）如图①，当D是边BC的中点时，$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=$
1:1
.（2）如图②，当AD平分$∠ BAC$时，若$AB=m$，$AC=n$，求$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}$的值（用含$m$，$n$的式子表示）.
（3）如图③，AD平分$∠ BAC$，延长AD到点E，使得$AD=DE$，连接BE.若$AC=3$，$AB=5$，$S_{△ BDE}=10$，求$S_{△ ABC}$的值.
答案
(1) 1:1
(2) 如图,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,DF⊥AC 于点 F.
∵ AD 平分∠BAC,
∴ DE=DF.
∵ AB=m,AC=n,
∴ $S_{△ABD}:S_{△ACD}=(\frac{1}{2}AB·DE):(\frac{1}{2}AC·DF)=m:n=\frac{m}{n}$
(3)
∵ AD=DE,
∴ 由(1),知 $S_{△ABD}:S_{△EBD}=1:1$.
∵ $S_{△BDE}=10$,
∴ $S_{△ABD}=10$.
∵ AC=3,AB=5,AD 平分∠CAB,
∴ 由(2),知 $S_{△ABD}:S_{△ACD}=AB:AC=5:3$.
∴ $S_{△ACD}=6$.
∴ $S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}=10+6=16$
解析
【分析】
（1）判断△ABD和△ACD的面积比时，已知D是BC中点，可得BD=CD，两个三角形共享点A到BC的高，根据三角形面积公式，等底同高的三角形面积相等，即可得到面积比。
（2）已知AD平分∠BAC，联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过D分别作AB、AC的垂线，两条垂线段长度相等，两个三角形高相等，面积比就等于底边长AB与AC的比。
（3）首先由AD=DE可知D是AE中点，结合（1）的结论可得△ABD和△EBD面积相等，求出S△ABD；再结合（2）中角平分线分三角形的面积比等于对应邻边的比，求出S△ACD，两者相加即为△ABC的总面积。
【解析】
（1）
∵ D是BC的中点，
∴ BD=CD，△ABD和△ACD以BD、CD为底时，高均为点A到BC的距离，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得$S_{△ABD}:S_{△ACD}=1:1$。
（2）过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。
∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ 根据角平分线的性质，DE=DF。
∵ AB=m，AC=n，
∴ $S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB·DE$，$S_{△ACD}=\frac{1}{2}AC·DF$，
∴ $S_{△ABD}:S_{△ACD}=(\frac{1}{2}·m·DE):(\frac{1}{2}·n·DF)=m:n$。
（3）
∵ AD=DE，即D为AE的中点，
∴ 由（1）中等底同高的三角形面积相等，可得$S_{△ABD}:S_{△BDE}=1:1$，
∵ $S_{△BDE}=10$，
∴ $S_{△ABD}=10$。
∵ AD平分∠BAC，AB=5，AC=3，
∴ 由（2）的结论，得$S_{△ABD}:S_{△ACD}=AB:AC=5:3$，
解得$S_{△ACD}=6$，
∴ $S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}=10+6=16$。
【答案】
(1) 1:1
(2) 如图,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,DF⊥AC 于点 F.
∵ AD 平分∠BAC,
∴ DE=DF.
∵ AB=m,AC=n,
∴ $S_{△ABD}:S_{△ACD}=(\frac{1}{2}AB·DE):(\frac{1}{2}AC·DF)=m:n=\frac{m}{n}$
(3) 16
【知识点】
三角形面积计算，角平分线的性质，等底同高三角形面积关系
【点评】
本题由浅入深设置问题，前两问为基础结论推导，第三问需直接应用前两问的结论求解，考查对三角形面积相关性质的理解和知识迁移运用能力，掌握角平分线性质、三角形面积与底高的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
（1）判断△ABD和△ACD的面积比时，已知D是BC中点，可得BD=CD，两个三角形共享点A到BC的高，根据三角形面积公式，等底同高的三角形面积相等，即可得到面积比。
（2）已知AD平分∠BAC，联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过D分别作AB、AC的垂线，两条垂线段长度相等，两个三角形高相等，面积比就等于底边长AB与AC的比。
（3）首先由AD=DE可知D是AE中点，结合（1）的结论可得△ABD和△EBD面积相等，求出S△ABD；再结合（2）中角平分线分三角形的面积比等于对应邻边的比，求出S△ACD，两者相加即为△ABC的总面积。
【解析】
（1）
∵ D是BC的中点，
∴ BD=CD，△ABD和△ACD以BD、CD为底时，高均为点A到BC的距离，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得$S_{△ABD}:S_{△ACD}=1:1$。
（2）过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。
∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ 根据角平分线的性质，DE=DF。
∵ AB=m，AC=n，
∴ $S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB·DE$，$S_{△ACD}=\frac{1}{2}AC·DF$，
∴ $S_{△ABD}:S_{△ACD}=(\frac{1}{2}·m·DE):(\frac{1}{2}·n·DF)=m:n$。
（3）
∵ AD=DE，即D为AE的中点，
∴ 由（1）中等底同高的三角形面积相等，可得$S_{△ABD}:S_{△BDE}=1:1$，
∵ $S_{△BDE}=10$，
∴ $S_{△ABD}=10$。
∵ AD平分∠BAC，AB=5，AC=3，
∴ 由（2）的结论，得$S_{△ABD}:S_{△ACD}=AB:AC=5:3$，
解得$S_{△ACD}=6$，
∴ $S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}=10+6=16$。
【答案】
(1) 1:1
(2) 如图,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,DF⊥AC 于点 F.
∵ AD 平分∠BAC,
∴ DE=DF.
∵ AB=m,AC=n,
∴ $S_{△ABD}:S_{△ACD}=(\frac{1}{2}AB·DE):(\frac{1}{2}AC·DF)=m:n=\frac{m}{n}$
(3) 16
【知识点】
三角形面积计算，角平分线的性质，等底同高三角形面积关系
【点评】
本题由浅入深设置问题，前两问为基础结论推导，第三问需直接应用前两问的结论求解，考查对三角形面积相关性质的理解和知识迁移运用能力，掌握角平分线性质、三角形面积与底高的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
