15 新考法 规律探究（2025·广西中考）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”ABCDEFG的所有线段均与x轴平行或垂直，且满足$BC=DE=FG=1$，点$A,C,E,G$均在双曲线$y=\frac{k}{x}$的一支上。若点$A$的坐标为$(4,\frac{3}{2})$，则第三级阶梯的高$EF=$（）。


A.$4$
B.$3$
C.$\frac{7}{2}$
D.$\frac{5}{2}$

15.B

16 数形结合思想（2026·河南洛阳期末）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点A(-2,0),B(0,4),将点A绕点B逆时针旋转90°得到点C，点A的旋转路径为$\overset{\frown}{AC}$，点C落在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，过点C作CD⊥y轴，垂足为D。
(1)点C的坐标为；
(2)求反比例函数$y=\frac{k}{x}$的表达式；
(3)直接写出图中阴影部分的面积。

16.(1)$(4,2)$
(2)
∵$C(4,2)$在反比例函数图象上,
∴$k=8$,
∴$y=\frac{8}{x}$.
(3)
∵$A(-2,0)$,$B(0,4)$,
∴$AB=2\sqrt{5}$,
∴扇形ABC的面积$=\frac{1}{4}×π×20=5π$.
∵$AO=2$,$BO=4$,
∴$△AOB$的面积$=\frac{1}{2}×2×4=4$.
∵$BD=2$,$CD=4$,
∴$△BCD$的面积$=\frac{1}{2}×4×2=4$,
∴阴影面积$=5π-4-4=5π-8$.

17 (2026·重庆大渡口区模拟)如图,在平面直角坐标系中,直线l与反比例函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图象交于点$C(1,m)$,与x轴交于点$A(-1,0)$,与y轴交于点B.
(1)求直线l的函数表达式;
(2)点P是直线l下方,反比例函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$图象上的一点,连接PA,PC,当$S_{△ PAC}=4S_{△ AOB}$时,求点P的坐标;
(3)在(2)问求出点P的条件下,将点A向左平移3个单位长度得到点N,连接NB,点M是y轴上一点,且$∠ MNB=∠ PAO$,请求出所有符合条件的点M的坐标(选一种情况写出解答过程).

17.(1)直线l与反比例函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图象交于$C(1,m)$,与x轴交于点$A(-1,0)$,将点C的坐标代入$y=\frac{6}{x}(x＞0)$,得$m=\frac{6}{1}=6$,
∴$C(1,6)$.
设直线l的函数表达式为$y=kx+b$,将点A,C的坐标分别代入,得$\begin{cases}6=k+b,\\0=-k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=3,\\b=3,\end{cases}$
∴直线l的函数表达式为$y=3x+3$.
(2)直线$l:y=3x+3$与y轴交于点B,
当$x=0$时,得$y=3$,
∴$B(0,3)$,
∴$OB=3$,$AB=\sqrt{10}$,$BC=\sqrt{10}$,
∴$S_{△AOB}=\frac{1}{2}OB·OA=\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}$,$AB=BC$,
∴$S_{△PAC}=4S_{△AOB}=6$.
如图(1),取点$N(0,-3)$,则$OB=ON=3$,连接AN,CN,
∴$S_{△NAB}=2S_{△AOB}$,$S_{△NAC}=2S_{△NAB}=4S_{△AOB}$.
过N作$NP// AC$交$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图象于点P,此时$S_{△NAC}=S_{△PAC}=4S_{△AOB}$.
∵直线l的函数表达式为$y=3x+3$,
设直线NP的函数表达式为$y=3x+b_1$,将点$N(0,-3)$代入,得$b_1=-3$,
∴直线NP的函数表达式为$y=3x-3$,
联立得$\begin{cases}y=3x-3,\\y=\frac{6}{x},\end{cases}$解得$\begin{cases}x=2,\\y=3\end{cases}$(负值舍去),
∴$P(2,3)$.


(3)将点$A(-1,0)$向左平移3个单位长度得到点N,
则$N(-4,0)$,$ON=4$.
过P作$PQ⊥x$轴于Q,如图(2).
由(2)得$P(2,3)$,$A(-1,0)$,
∴$PQ=AQ=3$,
∴$∠PAQ=∠QPA=45°$,即$∠PAO=45°$,
∴$∠MNB=∠PAO=45°$.
当M在点B下方时,过B作$BE⊥BN$交直线MN于E,
过E作$EF⊥y$轴于F,
∴$∠MNB=∠BEN=45°$,
∴$BE=BN$,$∠EBN=∠EFB=∠BON=90°$,
∴$∠EBF=∠BNO=90°-∠OBN$.
在$△BFE$和$△NOB$中,$\begin{cases}∠EFB=∠BON,\\∠EBF=∠BNO,\\BE=NB,\end{cases}$
∴$△BFE≌△NOB(\mathrm{AAS})$,
∴$BF=ON=4$,$OB=EF=3$,
∴$OF=BF-OB=4-3=1$,
∴$E(3,-1)$.
设直线MN表达式为$y=k_2x+b_2$,把$E(3,-1)$,$N(-4,0)$代入,得$\begin{cases}0=-4k_2+b_2,\\-1=3k_2+b_2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_2=-\frac{1}{7},\\b_2=-\frac{4}{7},\end{cases}$
∴直线MN的函数表达式为$y=-\frac{1}{7}x-\frac{4}{7}$.
当$x=0$时,得$y=-\frac{4}{7}$,
∴$M(0,-\frac{4}{7})$.
当M在点B上方时,过B作$BE⊥BN$交直线MN于E,
过E作$EF⊥y$轴于F,如图(3),
∴$∠MNB=∠BEN=45°$,
∴$BE=BN$,$∠EBN=∠EFB=∠BON=90°$,
∴$∠EBF=∠BNO=90°-∠OBN$.
在$△BFE$和$△NOB$中,$\begin{cases}∠EFB=∠BON,\\∠EBF=∠BNO,\\BE=NB,\end{cases}$
∴$△BFE≌△NOB(\mathrm{AAS})$,
∴$BF=ON=4$,$OB=EF=3$,
∴$OF=BF+OB=4+3=7$,
∴$E(-3,7)$.
设直线MN表达式为$y=k_3x+b_3$,把$E(-3,7)$,$N(-4,0)$代入,得$\begin{cases}0=-4k_3+b_3,\\7=-3k_3+b_3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_3=7,\\b_3=28,\end{cases}$
∴直线MN的函数表达式为$y=7x+28$.
当$x=0$时,得$y=28$,
∴$M(0,28)$.
综上所述,$M(0,-\frac{4}{7})$或$(0,28)$.