【教材母题】如图，在$△ ABC$中，$∠ A = 64°$.如果$BP$，$CP$分别是$∠ ABC$，$∠ ACB$两内角平分线，求$∠ P$的度数.

解:
∵BP 是∠ABC 的平分线,CP 是∠ACB 的平分线,
∴∠CBP=1/2∠ABC,∠BCP=1/2∠ACB.
∴∠CBP+∠BCP=1/2(∠ABC+∠ACB)=1/2(180°−∠A)=1/2×(180°−64°)=58°.
∴∠P=180°−(∠CBP+∠BCP)=180°−58°=122°.

【分析】
本题可结合三角形内角和定理与角平分线的定义求解。首先根据△ABC的内角和为180°，结合已知∠A的度数，求出∠ABC与∠ACB的度数和；再利用角平分线的定义，得到∠CBP、∠BCP分别是∠ABC、∠ACB的一半，进而求出∠CBP与∠BCP的和；最后在△PBC中再次利用三角形内角和为180°，即可求出∠P的度数。
【解析】
∵BP 是∠ABC 的平分线,CP 是∠ACB 的平分线,
∴∠CBP=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠BCP=$\frac{1}{2}$∠ACB.
∴∠CBP+∠BCP=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=$\frac{1}{2}$×(180°−64°)=58°.
∴∠P=180°−(∠CBP+∠BCP)=180°−58°=122°.
【答案】
122°
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题是三角形内角平分线夹角的典型题型，推导过程中反复运用三角形内角和定理与角平分线的性质，掌握该题的推导逻辑后可得出通用结论：三角形两个内角的平分线形成的夹角等于90°与第三个角度数一半的和，能帮助快速解决同类型问题。
【难度系数】
0.85

变式题组
(1)[逆向变式]如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线$BE$,$CF$相交于点$O$.已知$∠ BOC=130°$,则$∠ A$的度数为 （）
A. $60°$ B. $70°$ C. $80°$ D. $85°$

变式题(1)图

变式题(2)图
(2)[条件变式]如图,在$△ ABC$中,$P$是$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线的交点.若$∠ P=2∠ A$,则$∠ A$的度数为 .

(1)C (2)60°

【分析】
第(1)题解题思路：先利用三角形内角和定理求出△BOC中两个底角的和，再结合角平分线的定义得到△ABC中∠ABC与∠ACB的和，最后再次利用三角形内角和定理即可求出∠A的度数。
第(2)题解题思路：先推导三角形两内角平分线的夹角∠P与∠A的数量关系，再结合题中给出的∠P=2∠A的等量关系列方程求解即可。
【解析】
(1) 在△BOC中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠OBC + ∠OCB = 180° - ∠BOC = 180° - 130° = 50°
∵BE平分∠ABC，CF平分∠ACB
∴∠ABC = 2∠OBC，∠ACB = 2∠OCB
∴∠ABC + ∠ACB = 2(∠OBC + ∠OCB) = 2×50° = 100°
在△ABC中，∠A = 180° - (∠ABC + ∠ACB) = 180° - 100° = 80°
(2) 设∠A的度数为x，则∠P=2x
∵P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点
∴∠PBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCB = $\frac{1}{2}$∠ACB
在△PBC中，∠P = 180° - (∠PBC + ∠PCB) = 180° - $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB)
又
∵在△ABC中，∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 180° - x
代入上式得：∠P = 180° - $\frac{1}{2}$(180° - x) = 90° + $\frac{1}{2}$x
结合∠P=2x，列方程得：
$90° + \frac{1}{2}x = 2x$
解得x=60°，即∠A=60°
【答案】
(1)C；(2)60°
【知识点】
三角形内角和定理、角平分线的定义、方程法求角度
【点评】
这两道题是三角形角平分线模型的基础变式题，解题核心是熟练运用三角形内角和定理结合角平分线的性质推导角度关系，若能掌握两内角平分线夹角与顶角的固定结论，可大幅提高解题速度和准确率。
【难度系数】
0.7

模型总结 如图，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，则∠A与∠O之间的数量关系是.

∠O=90°+1/2∠A

【分析】
要推导∠O与∠A的数量关系，可按以下思路思考：第一步，先利用三角形内角和定理，在△ABC中表示出∠ABC与∠ACB的和；第二步，根据角平分线的定义，将∠OBC、∠OCB用∠ABC、∠ACB表示，进而得到∠OBC与∠OCB的和；第三步，在△BOC中再次利用三角形内角和定理，代入前面的结论消去∠ABC和∠ACB，即可得到两个角的数量关系。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A$
∵BO平分$∠ ABC$，CO平分$∠ ACB$
∴$∠ OBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB = \frac{1}{2}∠ ACB$
∴$∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}(180° - ∠ A) = 90° - \frac{1}{2}∠ A$
在△BOC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ O = 180° - (∠ OBC + ∠ OCB) = 180° - (90° - \frac{1}{2}∠ A) = 90° + \frac{1}{2}∠ A$
【答案】
$\boldsymbol{∠O=90°+\frac{1}{2}∠A}$
【知识点】
角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形双内角平分线的经典角度模型，解题的关键是通过角平分线得到角的倍分关系，再两次运用三角形内角和定理进行角度代换推导，掌握该模型结论可大幅提升同类型角度计算问题的解题效率。
【难度系数】
0.7

【教材母题】如图，在$△ ABC$中，$∠ A = 64°$.若$△ ABC$的两个外角平分线$BP$，$CP$交于点$P$，求$∠ P$的度数.

解:如图.
∵∠A=64°,
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−64°=116°.
∵△ABC 的两个外角平分线 BP,CP 交于点 P,
∴∠PBC=1/2∠MBC,∠PCB=1/2∠NCB.
∴∠PBC+∠PCB=1/2(∠MBC+∠NCB)=1/2×(360°−116°)=122°.
∴∠P=180°−(∠PBC+∠PCB)=180°−122°=58°.

【分析】
要计算∠P的度数，我们可以结合三角形内角和定理逐步推导：①已知∠A的度数，先根据△ABC的内角和为180°，求出∠ABC与∠ACB的度数和；②∠MBC、∠NCB是△ABC的两个外角，二者的和等于360°减去∠ABC与∠ACB的度数和；③BP、CP是外角平分线，因此∠PBC+∠PCB等于两个外角和的一半；④最后利用△PBC的内角和为180°，减去∠PBC与∠PCB的和，即可求出∠P的度数。
【解析】
解：
∵∠A=64°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−64°=116°。
∵△ABC的两个外角平分线BP，CP交于点P，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠MBC，∠PCB=$\frac{1}{2}$∠NCB。
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$(∠MBC+∠NCB)=$\frac{1}{2}$×(360°−116°)=122°。
∴∠P=180°−(∠PBC+∠PCB)=180°−122°=58°。
【答案】
解:如图.
∵∠A=64°,
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−64°=116°.
∵△ABC 的两个外角平分线 BP,CP 交于点 P,
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠MBC,∠PCB=$\frac{1}{2}$∠NCB.
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$(∠MBC+∠NCB)=$\frac{1}{2}$×(360°−116°)=122°.
∴∠P=180°−(∠PBC+∠PCB)=180°−122°=58°.

【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，邻补角的性质
【点评】
本题是三角形外角平分线交角模型的基础题，解题核心是熟练运用三角形内角和定理与角平分线的性质，梳理清楚已知角和未知角的数量关系，掌握该模型可大幅提升同类角度计算问题的解题效率。
【难度系数】
0.7

(1)[逆向变式]如图，$△ ABC$ 的外角$∠ ACE$ 和外角$∠ CAF$ 的平分线相交于点 $P$.已知$∠ P=72°$,则$∠ B$ 的度数为 ()

A.$44°$
B.$43°$
C.$36°$
D.$34°$


变式题(1)图
变式题(2)图

(1)C

【分析】
解题时先利用三角形外角的性质表示出△ABC两个外角的和，再结合角平分线的定义得到△APC中两个内角的和，最后通过三角形内角和定理推导出∠P与∠B的数量关系，代入已知∠P的度数即可求出∠B。
【解析】
解：
∵∠CAF、∠ACE是△ABC的外角
∴∠CAF=∠B+∠ACB，∠ACE=∠B+∠BAC
∴∠CAF+∠ACE=2∠B+(∠ACB+∠BAC)
在△ABC中，∠BAC+∠ACB+∠B=180°，即∠BAC+∠ACB=180°-∠B
代入得：∠CAF+∠ACE=2∠B+180°-∠B=180°+∠B
∵AP平分∠CAF，CP平分∠ACE
∴$∠ CAP=\frac{1}{2}∠ CAF$，$∠ ACP=\frac{1}{2}∠ ACE$
∴$∠ CAP+∠ ACP=\frac{1}{2}(∠ CAF+∠ ACE)=\frac{1}{2}(180°+∠ B)=90°+\frac{1}{2}∠ B$
在△APC中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ P=180°-(∠ CAP+∠ ACP)=180°-(90°+\frac{1}{2}∠ B)=90°-\frac{1}{2}∠ B$
将∠P=72°代入得：
$72°=90°-\frac{1}{2}∠ B$
解得：$∠ B=36°$
【答案】
C
【知识点】
三角形外角性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角平分线模型的典型应用，解题的核心是灵活结合外角性质和内角和定理推导角的数量关系，掌握双外角平分线的夹角规律可以提升解题效率。
【难度系数】
0.7

(2)[条件变式]如图，O是$△ ABC$两内角平分线的交点，I是$△ ABC$两外角平分线的交点.若$∠ I=70°$,则$∠ O$的度数为.

110°

【分析】
解题思路如下：1. 先根据角平分线定义、三角形外角性质和内角和定理，推导两外角平分线交点I处的∠I与△ABC的两个内角∠ABC、∠ACB之和的数量关系；2. 再根据角平分线定义和内角和定理，推导两内角平分线交点O处的∠O与∠ABC、∠ACB之和的数量关系；3. 结合已知∠I的度数，通过两个数量关系的关联，计算出∠O的度数。
【解析】
设△ABC中，∠ABC的外角为∠MBC，∠ACB的外角为∠NCB。
1. 推导∠I与∠ABC+∠ACB的关系：
∵ I是△ABC两外角平分线的交点
∴ IB平分∠MBC，IC平分∠NCB
∴ $∠ IBC = \frac{1}{2}∠ MBC$，$∠ ICB = \frac{1}{2}∠ NCB$
又
∵ $∠ MBC = 180°-∠ ABC$，$∠ NCB = 180°-∠ ACB$
在△IBC中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ I = 180° - (∠ IBC + ∠ ICB)$
$= 180° - \frac{1}{2}(∠ MBC + ∠ NCB)$
$= 180° - \frac{1}{2}[(180°-∠ ABC)+(180°-∠ ACB)]$
$= 180° - \frac{1}{2}[360° - (∠ ABC + ∠ ACB)]$
$= \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB)$
已知$∠ I=70°$，代入得：$∠ ABC + ∠ ACB = 2×70°=140°$
2. 推导∠O的度数：
∵ O是△ABC两内角平分线的交点
∴ OB平分∠ABC，OC平分∠ACB
∴ $∠ OBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB = \frac{1}{2}∠ ACB$
在△OBC中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ O = 180° - (∠ OBC + ∠ OCB)$
$= 180° - \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB)$
把$∠ ABC + ∠ ACB=140°$代入得：
$∠ O = 180° - \frac{1}{2}×140° = 110°$
【答案】
$110°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角平分线模型的典型应用，解题核心是通过角平分线性质和内角和定理建立待求角与已知角的关联，掌握该类模型的角度关系结论可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7

模型总结 如图，BO，CO分别为△ABC的外角∠CBD，∠BCE的平分线，则∠A与∠O之间的数量关系是.

∠O=90°−1/2∠A

【分析】
要推导∠A和∠O的数量关系，我们可以从∠O所在的△OBC的内角和入手。首先利用三角形外角的性质，把△ABC的两个外角∠CBD、∠BCE用∠A和△ABC的内角表示，再结合角平分线的定义，求出△OBC中两个底角∠OBC与∠OCB的和，最后根据三角形内角和为180°，即可推出∠O和∠A的关系。
【解析】
解：
∵∠CBD、∠BCE是△ABC的外角
∴∠CBD = ∠A + ∠ACB，∠BCE = ∠A + ∠ABC
∴∠CBD + ∠BCE = ∠A + ∠ACB + ∠A + ∠ABC
又
∵在△ABC中，∠ABC + ∠ACB + ∠A = 180°
∴∠CBD + ∠BCE = 180° + ∠A
∵BO平分∠CBD，CO平分∠BCE
∴∠OBC = $\frac{1}{2}$∠CBD，∠OCB = $\frac{1}{2}$∠BCE
∴∠OBC + ∠OCB = $\frac{1}{2}$(∠CBD + ∠BCE) = $\frac{1}{2}$(180° + ∠A) = 90° + $\frac{1}{2}$∠A
在△OBC中，∠O + ∠OBC + ∠OCB = 180°
∴∠O = 180° - (∠OBC + ∠OCB) = 180° - (90° + $\frac{1}{2}$∠A) = 90° - $\frac{1}{2}$∠A
【答案】
$\boldsymbol{∠O=90°−\frac{1}{2}∠A}$
【知识点】
三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线的定义
【点评】
本题是三角形双外角平分线的经典模型，推导过程核心是利用内外角的关系以及三角形内角和定理搭建两个角的关联，熟练掌握该模型结论可以提升相关角度计算类题目的解题效率。
【难度系数】
0.7