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1[2026安徽安庆质检]某校开设了航模、机器人、无人机三门特色编程课程，小雅同学从中随机选取两门课程，恰好选中航模和机器人课程的概率为（
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{3}{4}$
A
）A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{3}{4}$
答案
【解析】将航模、机器人、无人机课程分别用字母A,B,C表示,画树状图如下：
由树状图可知,一共有6种等可能的结果,其中恰好选中航模和机器人课程的结果有2种,
∴恰好选中航模和机器人课程的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$. 故选A.
解析
【分析】
本题是简单随机事件的概率计算问题，解题思路如下：首先将三门课程用字母标记简化表述，再通过画树状图的方法，不重不漏地列举出所有选取两门课程的等可能结果，接着数出恰好选中航模和机器人课程的结果数量，最后根据概率的计算公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”即可求出最终概率。
【解析】
将航模、机器人、无人机课程分别用字母A,B,C表示，画树状图如下：
由树状图可知，一共有6种等可能的结果，其中恰好选中航模和机器人课程的结果有2种，
∴恰好选中航模和机器人课程的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
树状图法求概率，概率公式，列举法求概率
【点评】
本题属于概率计算的基础题型，解题核心是通过树状图准确列举所有等可能的结果，掌握树状图的画法、理解概率的计算公式就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
本题是简单随机事件的概率计算问题，解题思路如下：首先将三门课程用字母标记简化表述，再通过画树状图的方法，不重不漏地列举出所有选取两门课程的等可能结果，接着数出恰好选中航模和机器人课程的结果数量，最后根据概率的计算公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”即可求出最终概率。
【解析】
将航模、机器人、无人机课程分别用字母A,B,C表示，画树状图如下：
由树状图可知，一共有6种等可能的结果，其中恰好选中航模和机器人课程的结果有2种，
∴恰好选中航模和机器人课程的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
树状图法求概率，概率公式，列举法求概率
【点评】
本题属于概率计算的基础题型，解题核心是通过树状图准确列举所有等可能的结果，掌握树状图的画法、理解概率的计算公式就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
2 甲、乙两名同学玩一个游戏:在一个不透明的口袋中装有标号分别为1,2,3,4的四个小球(除标号外无其他差异).从口袋中随机摸出两个小球,记下标号.若两个小球的标号之积为奇数,则甲获胜;若两个小球的标号之积为偶数,则乙获胜.乙获胜的概率是 (
A.$\frac{1}{12}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{5}{6}$
D
)A.$\frac{1}{12}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{5}{6}$
答案
【解析】画树状图如下：
共有12种等可能的结果,其中两个小球的标号之积为偶数的结果有10种,
∴乙获胜的概率为$\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$. 故选D.
解析
【分析】
本题是两步不放回试验的概率计算问题，首先明确试验规则：从4个标号不同的小球中随机摸出两个，属于不放回抽样，所有结果出现的可能性相等。解题时可通过树状图或列表法列举出所有等可能的结果，再根据“两数乘积为偶数则乙获胜”的规则，筛选出满足条件的结果数，最后代入概率公式：概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数，即可求出乙获胜的概率。
【解析】
画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两个小球的标号之积为偶数的结果有10种，
∴乙获胜的概率为$\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
树状图求概率，概率公式，奇偶性判断
【点评】
本题是概率的基础常考题，核心考查对两步试验等可能结果的列举能力，解题时需注意摸两个小球是不放回试验，避免重复或遗漏计数，结合奇数、偶数乘积的性质可以更快筛选符合条件的结果。
【难度系数】
0.7
本题是两步不放回试验的概率计算问题，首先明确试验规则：从4个标号不同的小球中随机摸出两个，属于不放回抽样，所有结果出现的可能性相等。解题时可通过树状图或列表法列举出所有等可能的结果，再根据“两数乘积为偶数则乙获胜”的规则，筛选出满足条件的结果数，最后代入概率公式：概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数，即可求出乙获胜的概率。
【解析】
画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两个小球的标号之积为偶数的结果有10种，
∴乙获胜的概率为$\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
树状图求概率，概率公式，奇偶性判断
【点评】
本题是概率的基础常考题，核心考查对两步试验等可能结果的列举能力，解题时需注意摸两个小球是不放回试验，避免重复或遗漏计数，结合奇数、偶数乘积的性质可以更快筛选符合条件的结果。
【难度系数】
0.7
二、填空题(本大题共2小题,每小题15分,共30分)
3 [2026 山东青岛期中]用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏:转动两个转盘各一次,若其中一个转出红色,另一个转出蓝色,两种颜色在一起即可配成紫色(若指针指向分界线,则重新转),那么配成紫色的概率是
3 [2026 山东青岛期中]用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏:转动两个转盘各一次,若其中一个转出红色,另一个转出蓝色,两种颜色在一起即可配成紫色(若指针指向分界线,则重新转),那么配成紫色的概率是
$\frac{1}{2}$
。答案
【解析】由题意可知,第二个转盘可被等分成1份红色和4份蓝色,画树状图如下：
共有10种等可能的结果,其中一个转出红色,另一个转出蓝色的结果有5种,所以配成紫色的概率为$\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$. 故答案为$\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
要解决配紫色的概率问题，首先明确配成紫色的条件是两个转盘分别转出红色和蓝色各一次。第一步先分析两个转盘的颜色分布：第一个转盘红、蓝各占一半，两种结果等可能；第二个转盘红色区域圆心角为72°，占整个圆周的$\frac{72}{360}=\frac{1}{5}$，因此可将第二个转盘等分为5份，其中1份为红色、4份为蓝色，每份对应结果等可能。第二步可以用树状图列举出转动两个转盘各一次的所有等可能结果，第三步筛选出符合“一红一蓝”的结果数，最后用符合条件的结果数除以总结果数即可得到配成紫色的概率。
【解析】
由题意可知，第二个转盘红色区域圆心角为72°，占整个圆的$\frac{72°}{360°}=\frac{1}{5}$，因此可将第二个转盘等分成1份红色和4份蓝色，所有结果等可能。
画树状图如下：
由树状图可得，转动两个转盘各一次共有10种等可能的结果，其中一个转出红色、另一个转出蓝色（可配成紫色）的结果有5种，
因此配成紫色的概率为$\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
概率计算，树状图法，扇形占比计算
【点评】
本题结合转盘游戏考查概率的求解，解题关键是合理将第二个转盘划分为等可能的区域，准确列举所有等可能结果，再结合配紫色的条件筛选符合要求的结果即可，属于基础概率应用题，考查学生的分析和计算能力。
【难度系数】
0.7
要解决配紫色的概率问题，首先明确配成紫色的条件是两个转盘分别转出红色和蓝色各一次。第一步先分析两个转盘的颜色分布：第一个转盘红、蓝各占一半，两种结果等可能；第二个转盘红色区域圆心角为72°，占整个圆周的$\frac{72}{360}=\frac{1}{5}$，因此可将第二个转盘等分为5份，其中1份为红色、4份为蓝色，每份对应结果等可能。第二步可以用树状图列举出转动两个转盘各一次的所有等可能结果，第三步筛选出符合“一红一蓝”的结果数，最后用符合条件的结果数除以总结果数即可得到配成紫色的概率。
【解析】
由题意可知，第二个转盘红色区域圆心角为72°，占整个圆的$\frac{72°}{360°}=\frac{1}{5}$，因此可将第二个转盘等分成1份红色和4份蓝色，所有结果等可能。
画树状图如下：
由树状图可得，转动两个转盘各一次共有10种等可能的结果，其中一个转出红色、另一个转出蓝色（可配成紫色）的结果有5种，
因此配成紫色的概率为$\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
概率计算，树状图法，扇形占比计算
【点评】
本题结合转盘游戏考查概率的求解，解题关键是合理将第二个转盘划分为等可能的区域，准确列举所有等可能结果，再结合配紫色的条件筛选符合要求的结果即可，属于基础概率应用题，考查学生的分析和计算能力。
【难度系数】
0.7
4 [2026四川成都期末]如图,正方形ABCD的边长为1个单位长度,将一枚棋子按顺时针方向依次沿正方形ABCD的四个顶点移动.棋子从点A出发,掷两枚质地均匀的骰子,掷得的点数之和为几棋子就移动几个单位长度,如掷得的点数之和为3棋子就移动3个单位长度,落在点D处;掷得的点数之和为6棋子就移动6个单位长度,落在点C处.那么掷一次骰子后棋子落在点B处的概率是
$\frac{2}{9}$
. 答案
【解析】根据题意,列表如下：
| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|----|----|----|----|----|----|----|
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) |
| 5 | (5,1) | (5,2) | (5,3) | (5,4) | (5,5) | (5,6) |
| 6 | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,5) | (6,6) |
共有36种等可能的结果,当掷得的点数之和为5或9时,棋子落在点B处,结果有(1,4),(2,3),(3,2),(3,6),(4,1),(4,5),(5,4),(6,3),共8种,
∴掷一次骰子后棋子落在点B处的概率是$\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$. 故答案为$\frac{2}{9}$.
| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|----|----|----|----|----|----|----|
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) |
| 5 | (5,1) | (5,2) | (5,3) | (5,4) | (5,5) | (5,6) |
| 6 | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,5) | (6,6) |
共有36种等可能的结果,当掷得的点数之和为5或9时,棋子落在点B处,结果有(1,4),(2,3),(3,2),(3,6),(4,1),(4,5),(5,4),(6,3),共8种,
∴掷一次骰子后棋子落在点B处的概率是$\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$. 故答案为$\frac{2}{9}$.
解析
【分析】
要解决这道题可按三步思考：第一步，先推导棋子落在B点的移动步数要求：正方形周长为4，从A顺时针出发到B需要走1个单位，之后每多走4个单位也会回到B，因此移动的点数之和除以4余1；两枚骰子的点数之和范围是2~12，因此符合要求的点数和为5、9。第二步，用列表法列出两枚骰子点数和的所有等可能结果，总共有6×6=36种。第三步，统计出点数和为5、9的结果数，代入概率公式计算即可。
【解析】
根据题意，列表得出两枚骰子所有可能的点数组合：
| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|----|----|----|----|----|----|----|
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) |
| 5 | (5,1) | (5,2) | (5,3) | (5,4) | (5,5) | (5,6) |
| 6 | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,5) | (6,6) |
由表可知，共有36种等可能的结果。
要使棋子落在B处，需移动的步数除以4余1，结合两枚骰子点数和的范围为2~12，可得符合要求的点数和为5、9，对应的结果有(1,4),(2,3),(3,2),(3,6),(4,1),(4,5),(5,4),(6,3)，共8种。
根据概率公式，掷一次骰子后棋子落在点B处的概率为$\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$。
【答案】
$\frac{2}{9}$
【知识点】
列表法求概率，概率计算公式，周期规律应用
【点评】
本题将图形周期运动与概率计算相结合，解题的关键是先推导得出棋子落在B点对应的点数和特征，再通过列表法统计结果，既考查了对周期规律的分析能力，也考查了概率的基础计算能力。
【难度系数】
0.7
要解决这道题可按三步思考：第一步，先推导棋子落在B点的移动步数要求：正方形周长为4，从A顺时针出发到B需要走1个单位，之后每多走4个单位也会回到B，因此移动的点数之和除以4余1；两枚骰子的点数之和范围是2~12，因此符合要求的点数和为5、9。第二步，用列表法列出两枚骰子点数和的所有等可能结果，总共有6×6=36种。第三步，统计出点数和为5、9的结果数，代入概率公式计算即可。
【解析】
根据题意，列表得出两枚骰子所有可能的点数组合：
| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|----|----|----|----|----|----|----|
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) |
| 5 | (5,1) | (5,2) | (5,3) | (5,4) | (5,5) | (5,6) |
| 6 | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,5) | (6,6) |
由表可知，共有36种等可能的结果。
要使棋子落在B处，需移动的步数除以4余1，结合两枚骰子点数和的范围为2~12，可得符合要求的点数和为5、9，对应的结果有(1,4),(2,3),(3,2),(3,6),(4,1),(4,5),(5,4),(6,3)，共8种。
根据概率公式，掷一次骰子后棋子落在点B处的概率为$\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$。
【答案】
$\frac{2}{9}$
【知识点】
列表法求概率，概率计算公式，周期规律应用
【点评】
本题将图形周期运动与概率计算相结合，解题的关键是先推导得出棋子落在B点对应的点数和特征，再通过列表法统计结果，既考查了对周期规律的分析能力，也考查了概率的基础计算能力。
【难度系数】
0.7
三、解答题(共40分)
5 [新素材][2026山东济宁调研]2026年央视春晚节目《武BOT》别出心裁,独树一帜,人机共武
为文化传承搭建了新的桥梁.科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取A、B两种型号的智能机器人各10台,统计它们每天可分拣的快递数量.
【数据收集与整理】
A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量(单位:万件)条形统计图如图所示:
B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量(单位:万件)如表所示:
【数据分析与运用】两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表:
请你根据以上数据,解答下列问题:
(1)填空:表中$a=$
(2)若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人,请你结合“数据分析与运用”,为该公司提出一条合理化建议.
(3)若某快递公司新购进A型号智能机器人2台,B型号智能机器人2台,从这4台智能机器人中随机抽取2台分拣快递,求抽取的智能机器人恰是同一型号的概率.
5 [新素材][2026山东济宁调研]2026年央视春晚节目《武BOT》别出心裁,独树一帜,人机共武
为文化传承搭建了新的桥梁.科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取A、B两种型号的智能机器人各10台,统计它们每天可分拣的快递数量.
【数据收集与整理】
A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量(单位:万件)条形统计图如图所示:
B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量(单位:万件)如表所示:
【数据分析与运用】两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表:
请你根据以上数据,解答下列问题:
(1)填空:表中$a=$
20
,$b=$15
,$c=$1.4
;(2)若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人,请你结合“数据分析与运用”,为该公司提出一条合理化建议.
(3)若某快递公司新购进A型号智能机器人2台,B型号智能机器人2台,从这4台智能机器人中随机抽取2台分拣快递,求抽取的智能机器人恰是同一型号的概率.
答案
(1)B型号的智能机器人每天可分拣20万件的有5台,数量最多,故a=20;
A型号智能机器人每天可分拣的快递数量最中间的两个数据是15,15,故$b=\frac{15+15}{2}=15$;
$c=\frac{(13-15)^2×1+(14-15)^2×3+(15-15)^2×2+(16-15)^2×3+(17-15)^2×1}{10}=1.4$. 故答案为20,15,1.4.
(2)从众数、平均数、中位数来看,B型号智能机器人的数据都高于A型号智能机器人,所以建议购买B型号智能机器人.(合理即可)
(3)将2台A型号智能机器人和2台B型号智能机器人分别记为A1,A2,B1,B2,画树状图如图所示：
共有12种等可能的情况,其中抽取的智能机器人恰是同一型号的有4种,所以抽取的智能机器人恰是同一型号的概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
(1) 求a：众数是一组数据中出现次数最多的数，只需找出B型号分拣量中出现频次最高的数值即可；求b：中位数是将数据从小到大排序后，中间位置的数值，10个数据的中位数是第5、6个数据的平均数，整理A型号数据排序后计算即可；求c：方差是反映数据波动程度的统计量，按照方差公式，代入A型号各数据及对应频数计算即可。
(2) 对比A、B两种型号的众数、中位数、平均数三个统计量，数值越高说明分拣能力越强，据此给出合理的购买建议。
(3) 求概率时，先对4台机器人进行标记，用树状图列出所有等可能的抽取结果，再统计出2台为同一型号的结果数，根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。
【解析】
(1) 已知B型号智能机器人每天可分拣20万件的有5台，出现次数最多，根据众数的定义得$a=20$；
将A型号10台机器人的分拣量从小到大排序后，最中间的两个数据均为15，因此中位数$b=\frac{15+15}{2}=15$；
根据方差公式计算c：
$c=\frac{(13-15)^2×1+(14-15)^2×3+(15-15)^2×2+(16-15)^2×3+(17-15)^2×1}{10}=1.4$
(2) 对比两组数据的统计量，B型号智能机器人的众数、平均数、中位数都高于A型号，说明B型号整体分拣快递的能力更强，因此建议购买B型号智能机器人（合理即可）。
(3) 将2台A型号智能机器人记为A1、A2，2台B型号智能机器人记为B1、B2，画树状图如下：
由树状图可得，共有12种等可能的抽取情况，其中抽取的2台智能机器人恰是同一型号的情况有4种，因此所求概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{20}$，$\boldsymbol{15}$，$\boldsymbol{1.4}$
(2) 从众数、平均数、中位数来看，B型号智能机器人的数据都高于A型号智能机器人，所以建议购买B型号智能机器人（合理即可）。
(3) 抽取的智能机器人恰是同一型号的概率为$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$，树状图：
【知识点】
统计量计算，统计量决策，概率计算
【点评】
本题结合智能机器人分拣快递的实际应用场景，综合考查了统计基础和概率求解的相关知识，既要求学生掌握众数、中位数、方差的基础计算方法，又要求学生能结合统计量解决实际决策问题，同时考察了用树状图求概率的方法，实用性较强。
【难度系数】
0.7
(1) 求a：众数是一组数据中出现次数最多的数，只需找出B型号分拣量中出现频次最高的数值即可；求b：中位数是将数据从小到大排序后，中间位置的数值，10个数据的中位数是第5、6个数据的平均数，整理A型号数据排序后计算即可；求c：方差是反映数据波动程度的统计量，按照方差公式，代入A型号各数据及对应频数计算即可。
(2) 对比A、B两种型号的众数、中位数、平均数三个统计量，数值越高说明分拣能力越强，据此给出合理的购买建议。
(3) 求概率时，先对4台机器人进行标记，用树状图列出所有等可能的抽取结果，再统计出2台为同一型号的结果数，根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。
【解析】
(1) 已知B型号智能机器人每天可分拣20万件的有5台，出现次数最多，根据众数的定义得$a=20$；
将A型号10台机器人的分拣量从小到大排序后，最中间的两个数据均为15，因此中位数$b=\frac{15+15}{2}=15$；
根据方差公式计算c：
$c=\frac{(13-15)^2×1+(14-15)^2×3+(15-15)^2×2+(16-15)^2×3+(17-15)^2×1}{10}=1.4$
(2) 对比两组数据的统计量，B型号智能机器人的众数、平均数、中位数都高于A型号，说明B型号整体分拣快递的能力更强，因此建议购买B型号智能机器人（合理即可）。
(3) 将2台A型号智能机器人记为A1、A2，2台B型号智能机器人记为B1、B2，画树状图如下：
由树状图可得，共有12种等可能的抽取情况，其中抽取的2台智能机器人恰是同一型号的情况有4种，因此所求概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{20}$，$\boldsymbol{15}$，$\boldsymbol{1.4}$
(2) 从众数、平均数、中位数来看，B型号智能机器人的数据都高于A型号智能机器人，所以建议购买B型号智能机器人（合理即可）。
(3) 抽取的智能机器人恰是同一型号的概率为$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$，树状图：
【知识点】
统计量计算，统计量决策，概率计算
【点评】
本题结合智能机器人分拣快递的实际应用场景，综合考查了统计基础和概率求解的相关知识，既要求学生掌握众数、中位数、方差的基础计算方法，又要求学生能结合统计量解决实际决策问题，同时考察了用树状图求概率的方法，实用性较强。
【难度系数】
0.7
