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7.(易错题)有如下问题:一组人平分10元钱,每人分得若干;若再加上6人,平分40元钱,则第二次每人所得与第一次相同,求第一次分钱的人数.设第一次分钱的人数为x人,则可列方程:.
答案
解：
由题意，第一次每人分得的钱数为$\frac{10}{x}$元，第二次参与分钱的人数为$(x+6)$人，第二次每人分得的钱数为$\frac{40}{x+6}$元，根据两次每人所得相同，可列方程：
$\frac{10}{x}=\frac{40}{x+6}$
方程两边同乘$x(x+6)$，得：
$10(x+6)=40x$
展开整理得：
$30x=60$
解得：
$x=2$
检验：当$x=2$时，$x(x+6)≠0$，所以$x=2$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：第一次分钱的人数为2人。
由题意，第一次每人分得的钱数为$\frac{10}{x}$元，第二次参与分钱的人数为$(x+6)$人，第二次每人分得的钱数为$\frac{40}{x+6}$元，根据两次每人所得相同，可列方程：
$\frac{10}{x}=\frac{40}{x+6}$
方程两边同乘$x(x+6)$，得：
$10(x+6)=40x$
展开整理得：
$30x=60$
解得：
$x=2$
检验：当$x=2$时，$x(x+6)≠0$，所以$x=2$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：第一次分钱的人数为2人。
解析
【分析】
解题时首先要抓住题目核心等量关系：第二次每人分得的钱数与第一次相同。第一步先用含x的代数式分别表示两次每人分得的钱数：第一次总金额10元，共x人，因此每人分得$\frac{10}{x}$元；第二次总金额40元，人数比第一次多6人即$(x+6)$人，因此每人分得$\frac{40}{x+6}$元。第二步根据两个量相等列出分式方程，第三步按照分式方程的解法求解，最后必须检验解是否满足分母不为0，且符合实际意义。
【解析】
解：由题意得，第一次每人分得的钱数为$\frac{10}{x}$元，
第二次参与分钱的人数为$(x+6)$人，第二次每人分得的钱数为$\frac{40}{x+6}$元，
根据两次每人所得相同的等量关系，列方程得：
$\frac{10}{x}=\frac{40}{x+6}$
方程两边同乘最简公分母$x(x+6)$去分母得：
$10(x+6)=40x$
展开括号得：$10x+60=40x$
移项、合并同类项得：$30x=60$
系数化为1得：$x=2$
检验：当$x=2$时，$x(x+6)=2×8=16≠0$，因此$x=2$是原分式方程的解，且人数为正整数，符合实际意义。
答：第一次分钱的人数为2人。
【答案】
可列方程为$\frac{10}{x}=\frac{40}{x+6}$，第一次分钱的人数为2人。
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 分式方程的解法
3. 列代数式
【点评】
本题是分式方程应用的基础易错题，解题关键是找准“两次每人分得钱数相等”的等量关系，易错点为混淆第二次分钱的人数，或是解完分式方程后遗漏检验步骤，忽略解的实际意义。
【难度系数】
0.7
解题时首先要抓住题目核心等量关系：第二次每人分得的钱数与第一次相同。第一步先用含x的代数式分别表示两次每人分得的钱数：第一次总金额10元，共x人，因此每人分得$\frac{10}{x}$元；第二次总金额40元，人数比第一次多6人即$(x+6)$人，因此每人分得$\frac{40}{x+6}$元。第二步根据两个量相等列出分式方程，第三步按照分式方程的解法求解，最后必须检验解是否满足分母不为0，且符合实际意义。
【解析】
解：由题意得，第一次每人分得的钱数为$\frac{10}{x}$元，
第二次参与分钱的人数为$(x+6)$人，第二次每人分得的钱数为$\frac{40}{x+6}$元，
根据两次每人所得相同的等量关系，列方程得：
$\frac{10}{x}=\frac{40}{x+6}$
方程两边同乘最简公分母$x(x+6)$去分母得：
$10(x+6)=40x$
展开括号得：$10x+60=40x$
移项、合并同类项得：$30x=60$
系数化为1得：$x=2$
检验：当$x=2$时，$x(x+6)=2×8=16≠0$，因此$x=2$是原分式方程的解，且人数为正整数，符合实际意义。
答：第一次分钱的人数为2人。
【答案】
可列方程为$\frac{10}{x}=\frac{40}{x+6}$，第一次分钱的人数为2人。
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 分式方程的解法
3. 列代数式
【点评】
本题是分式方程应用的基础易错题，解题关键是找准“两次每人分得钱数相等”的等量关系，易错点为混淆第二次分钱的人数，或是解完分式方程后遗漏检验步骤，忽略解的实际意义。
【难度系数】
0.7
8. 某公司计划为仓库购买甲、乙两种型号的无人机搬运材料. 已知每台甲型无人机比每台乙型无人机每小时多搬运 15 kg 材料,且每台甲型无人机搬运 180 kg 材料所用的时间与每台乙型无人机搬运 120 kg 材料所用的时间相同.
(1)每台甲、乙两种型号的无人机每小时分别搬运多少千克材料?
(2)若该公司计划购进甲、乙两种型号的无人机共 10 台,且要求每小时搬运的材料不少于 380 kg,则至少要购进甲型无人机多少台?
(1)每台甲、乙两种型号的无人机每小时分别搬运多少千克材料?
(2)若该公司计划购进甲、乙两种型号的无人机共 10 台,且要求每小时搬运的材料不少于 380 kg,则至少要购进甲型无人机多少台?
答案
解：
(1) 设每台乙型无人机每小时搬运$ x $ kg材料，则每台甲型无人机每小时搬运$ (x+15) $ kg材料。
根据题意列方程：
$\frac{180}{x+15} = \frac{120}{x}$
方程两边同乘$ x(x+15) $得：
$ 180x = 120(x+15) $
解得：$ x = 30 $
检验：当$ x=30 $时，$ x(x+15) ≠ 0 $，所以$ x=30 $是原分式方程的解，且符合实际意义。
则$ x+15 = 30+15 = 45 $。
(2) 设购进甲型无人机$ m $台，则购进乙型无人机$ (10-m) $台。
根据题意列不等式：
$45m + 30(10 - m) ≥ 380$
解不等式：
$ 45m + 300 - 30m ≥ 380 $
$ 15m ≥ 80 $
$ m ≥ \frac{16}{3} $
因为$ m $为正整数，所以$ m $的最小值为6。
答：(1) 每台甲型无人机每小时搬运45kg材料，每台乙型无人机每小时搬运30kg材料；(2) 至少要购进甲型无人机6台。
(1) 设每台乙型无人机每小时搬运$ x $ kg材料，则每台甲型无人机每小时搬运$ (x+15) $ kg材料。
根据题意列方程：
$\frac{180}{x+15} = \frac{120}{x}$
方程两边同乘$ x(x+15) $得：
$ 180x = 120(x+15) $
解得：$ x = 30 $
检验：当$ x=30 $时，$ x(x+15) ≠ 0 $，所以$ x=30 $是原分式方程的解，且符合实际意义。
则$ x+15 = 30+15 = 45 $。
(2) 设购进甲型无人机$ m $台，则购进乙型无人机$ (10-m) $台。
根据题意列不等式：
$45m + 30(10 - m) ≥ 380$
解不等式：
$ 45m + 300 - 30m ≥ 380 $
$ 15m ≥ 80 $
$ m ≥ \frac{16}{3} $
因为$ m $为正整数，所以$ m $的最小值为6。
答：(1) 每台甲型无人机每小时搬运45kg材料，每台乙型无人机每小时搬运30kg材料；(2) 至少要购进甲型无人机6台。
解析
【分析】
（1）本题属于工作类实际应用题，核心公式为“工作时间=工作总量÷工作效率”。已知甲型和乙型搬运不同重量材料的时间相等，我们可以设乙型无人机每小时搬运x kg材料，那么甲型每小时搬运(x+15)kg，根据时间相等的等量关系列分式方程求解，解完后需要检验解是否为分式方程的增根，是否符合实际意义。
（2）第二问为不等式实际应用题，已知两种无人机总数量为10台，总搬运效率不低于380kg/小时，设购进甲型无人机m台，那么乙型为(10-m)台，根据总搬运效率的要求列不等式求解，最后结合无人机台数为正整数的实际要求，取最小的符合条件的整数解即可。
【解析】
(1) 设每台乙型无人机每小时搬运$ x $ kg材料，则每台甲型无人机每小时搬运$ (x+15) $ kg材料。
根据题意列方程：
$\frac{180}{x+15} = \frac{120}{x}$
方程两边同乘$ x(x+15) $去分母得：
$ 180x = 120(x+15) $
展开整理得：$60x=1800$
解得：$ x = 30 $
检验：当$ x=30 $时，$ x(x+15) =30×45=1350≠0 $，所以$ x=30 $是原分式方程的解，且符合实际意义。
则甲型无人机每小时搬运量为$ x+15 = 30+15 = 45 $（kg）。
(2) 设购进甲型无人机$ m $台，则购进乙型无人机$ (10-m) $台。
根据“每小时搬运材料不少于380kg”列不等式：
$45m + 30(10 - m) ≥ 380$
解不等式：
展开得$ 45m + 300 - 30m ≥ 380 $
合并同类项得$ 15m ≥ 80 $
解得$ m ≥ \frac{16}{3} \approx5.33$
因为$ m $为正整数，所以$ m $的最小值为6。
【答案】
(1) 每台甲型无人机每小时搬运45kg材料，每台乙型无人机每小时搬运30kg材料；
(2) 至少要购进甲型无人机6台。
【知识点】
分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用
【点评】
本题是分式方程与一元一次不等式结合的常规应用题，解题的核心是找准题干中的等量关系和不等关系，正确列出对应式子。需要注意分式方程必须检验是否有增根、是否符合实际，不等式的解要结合实际场景取符合要求的整数解。
【难度系数】
0.7
（1）本题属于工作类实际应用题，核心公式为“工作时间=工作总量÷工作效率”。已知甲型和乙型搬运不同重量材料的时间相等，我们可以设乙型无人机每小时搬运x kg材料，那么甲型每小时搬运(x+15)kg，根据时间相等的等量关系列分式方程求解，解完后需要检验解是否为分式方程的增根，是否符合实际意义。
（2）第二问为不等式实际应用题，已知两种无人机总数量为10台，总搬运效率不低于380kg/小时，设购进甲型无人机m台，那么乙型为(10-m)台，根据总搬运效率的要求列不等式求解，最后结合无人机台数为正整数的实际要求，取最小的符合条件的整数解即可。
【解析】
(1) 设每台乙型无人机每小时搬运$ x $ kg材料，则每台甲型无人机每小时搬运$ (x+15) $ kg材料。
根据题意列方程：
$\frac{180}{x+15} = \frac{120}{x}$
方程两边同乘$ x(x+15) $去分母得：
$ 180x = 120(x+15) $
展开整理得：$60x=1800$
解得：$ x = 30 $
检验：当$ x=30 $时，$ x(x+15) =30×45=1350≠0 $，所以$ x=30 $是原分式方程的解，且符合实际意义。
则甲型无人机每小时搬运量为$ x+15 = 30+15 = 45 $（kg）。
(2) 设购进甲型无人机$ m $台，则购进乙型无人机$ (10-m) $台。
根据“每小时搬运材料不少于380kg”列不等式：
$45m + 30(10 - m) ≥ 380$
解不等式：
展开得$ 45m + 300 - 30m ≥ 380 $
合并同类项得$ 15m ≥ 80 $
解得$ m ≥ \frac{16}{3} \approx5.33$
因为$ m $为正整数，所以$ m $的最小值为6。
【答案】
(1) 每台甲型无人机每小时搬运45kg材料，每台乙型无人机每小时搬运30kg材料；
(2) 至少要购进甲型无人机6台。
【知识点】
分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用
【点评】
本题是分式方程与一元一次不等式结合的常规应用题，解题的核心是找准题干中的等量关系和不等关系，正确列出对应式子。需要注意分式方程必须检验是否有增根、是否符合实际，不等式的解要结合实际场景取符合要求的整数解。
【难度系数】
0.7
9.(应用意识)金师傅近期准备换车,看中了价格相同的两款国产车.
燃油车
油箱容积:40 L
油价:9元/L
续航里程:a km
每千米行驶费用:
$\frac{40×9}{a}$元
新能源车
电池容量:60 kW·h
电价:0.6元/kW·h
续航里程:a km
每千米行驶费用:
元
(1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用.
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元.
①分别求出这两款车的每千米行驶费用；
②若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4 800元和7 500元.问:每年行驶里程为多少千米时,买新能源车的年费用更低?(年费用=年行驶费用+年其他费用)
燃油车
油箱容积:40 L
油价:9元/L
续航里程:a km
每千米行驶费用:
$\frac{40×9}{a}$元
新能源车
电池容量:60 kW·h
电价:0.6元/kW·h
续航里程:a km
每千米行驶费用:
元
(1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用.
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元.
①分别求出这两款车的每千米行驶费用；
②若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4 800元和7 500元.问:每年行驶里程为多少千米时,买新能源车的年费用更低?(年费用=年行驶费用+年其他费用)
答案
解：
新能源车的每千米行驶费用为$\frac{60×0.6}{a}=\frac{36}{a}$元。
(1) 新能源车的每千米行驶费用为$\boldsymbol{\frac{36}{a}}$元。
(2) ① 根据题意列方程：
$\frac{40×9}{a} - \frac{36}{a} = 0.54$
化简得：
$\frac{324}{a}=0.54$
解得：
$a=600$
检验：当$a=600$时，分式分母不为0，故$a=600$是原分式方程的解，且符合实际意义。
燃油车每千米行驶费用为$\frac{40×9}{600}=0.6$元，
新能源车每千米行驶费用为$\frac{36}{600}=0.06$元。
② 设每年行驶里程为$x$千米时，买新能源车的年费用更低。
根据题意列不等式：
$0.6x + 4800 ＞ 0.06x + 7500$
移项合并得：
$0.54x ＞ 2700$
解得：
$x ＞ 5000$
答：(1) 新能源车的每千米行驶费用为$\frac{36}{a}$元；(2) ① 燃油车每千米行驶费用为0.6元，新能源车每千米行驶费用为0.06元；② 当每年行驶里程大于5000千米时，买新能源车的年费用更低。
新能源车的每千米行驶费用为$\frac{60×0.6}{a}=\frac{36}{a}$元。
(1) 新能源车的每千米行驶费用为$\boldsymbol{\frac{36}{a}}$元。
(2) ① 根据题意列方程：
$\frac{40×9}{a} - \frac{36}{a} = 0.54$
化简得：
$\frac{324}{a}=0.54$
解得：
$a=600$
检验：当$a=600$时，分式分母不为0，故$a=600$是原分式方程的解，且符合实际意义。
燃油车每千米行驶费用为$\frac{40×9}{600}=0.6$元，
新能源车每千米行驶费用为$\frac{36}{600}=0.06$元。
② 设每年行驶里程为$x$千米时，买新能源车的年费用更低。
根据题意列不等式：
$0.6x + 4800 ＞ 0.06x + 7500$
移项合并得：
$0.54x ＞ 2700$
解得：
$x ＞ 5000$
答：(1) 新能源车的每千米行驶费用为$\frac{36}{a}$元；(2) ① 燃油车每千米行驶费用为0.6元，新能源车每千米行驶费用为0.06元；② 当每年行驶里程大于5000千米时，买新能源车的年费用更低。
解析
【分析】
解题可分三步逐层推进：
1. 解第(1)问：参考燃油车每千米费用的计算逻辑，每千米行驶费用=总能源费用÷续航里程，先算出新能源车满电的总电费，再除以续航里程a即可得到对应代数式。
2. 解第(2)①问：抓住“燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.54元”的等量关系列分式方程，求解后需检验分母不为0且符合实际意义，再代入代数式计算两款车的每千米费用。
3. 解第(2)②问：设年行驶里程为x，结合“年费用=年行驶费用+年其他费用”的公式，根据“新能源车年费用更低”即燃油车年费用＞新能源车年费用列不等式，求解得到x的范围即可。
【解析】
新能源车满电总电费为$60×0.6=36$元，续航里程为a km，因此每千米行驶费用为$\frac{36}{a}$元。
(1) 由上述计算可得，新能源车的每千米行驶费用为$\frac{36}{a}$元。
(2) ① 根据题意列方程：
$\frac{40×9}{a} - \frac{36}{a} = 0.54$
化简得：$\frac{324}{a}=0.54$
解得：$a=600$
检验：当$a=600$时，分式分母不为0，且续航里程符合实际意义，故$a=600$是原分式方程的解。
代入计算两款车的每千米费用：
燃油车：$\frac{40×9}{600}=0.6$元
新能源车：$\frac{36}{600}=0.06$元
② 设每年行驶里程为$x$千米时，买新能源车的年费用更低，根据题意列不等式：
$0.6x + 4800 ＞ 0.06x + 7500$
移项合并得：$0.54x ＞ 2700$
解得：$x ＞ 5000$
【答案】
(1) $\frac{36}{a}$元；
(2) ① 燃油车每千米行驶费用为0.6元，新能源车每千米行驶费用为0.06元；② 当每年行驶里程大于5000千米时，买新能源车的年费用更低。
【知识点】
列代数式；分式方程的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合购车的生活实际命题，解题核心是准确提取题干中的等量关系、不等关系列式，需要注意分式方程求解后必须检验是否符合实际意义，对学生的应用意识和基础计算能力有一定考查。
【难度系数】
0.7
解题可分三步逐层推进：
1. 解第(1)问：参考燃油车每千米费用的计算逻辑，每千米行驶费用=总能源费用÷续航里程，先算出新能源车满电的总电费，再除以续航里程a即可得到对应代数式。
2. 解第(2)①问：抓住“燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.54元”的等量关系列分式方程，求解后需检验分母不为0且符合实际意义，再代入代数式计算两款车的每千米费用。
3. 解第(2)②问：设年行驶里程为x，结合“年费用=年行驶费用+年其他费用”的公式，根据“新能源车年费用更低”即燃油车年费用＞新能源车年费用列不等式，求解得到x的范围即可。
【解析】
新能源车满电总电费为$60×0.6=36$元，续航里程为a km，因此每千米行驶费用为$\frac{36}{a}$元。
(1) 由上述计算可得，新能源车的每千米行驶费用为$\frac{36}{a}$元。
(2) ① 根据题意列方程：
$\frac{40×9}{a} - \frac{36}{a} = 0.54$
化简得：$\frac{324}{a}=0.54$
解得：$a=600$
检验：当$a=600$时，分式分母不为0，且续航里程符合实际意义，故$a=600$是原分式方程的解。
代入计算两款车的每千米费用：
燃油车：$\frac{40×9}{600}=0.6$元
新能源车：$\frac{36}{600}=0.06$元
② 设每年行驶里程为$x$千米时，买新能源车的年费用更低，根据题意列不等式：
$0.6x + 4800 ＞ 0.06x + 7500$
移项合并得：$0.54x ＞ 2700$
解得：$x ＞ 5000$
【答案】
(1) $\frac{36}{a}$元；
(2) ① 燃油车每千米行驶费用为0.6元，新能源车每千米行驶费用为0.06元；② 当每年行驶里程大于5000千米时，买新能源车的年费用更低。
【知识点】
列代数式；分式方程的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合购车的生活实际命题，解题核心是准确提取题干中的等量关系、不等关系列式，需要注意分式方程求解后必须检验是否符合实际意义，对学生的应用意识和基础计算能力有一定考查。
【难度系数】
0.7
