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问题1 三角形的三边之间有怎样的关系？得出这个结论的依据是什么？
问题2 举实例说明三角形具有稳定性。
问题1 三角形的三边之间有怎样的关系？得出这个结论的依据是什么？
问题2 举实例说明三角形具有稳定性。
答案
解：
问题1：三角形三边之间的关系为：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
得出该结论的依据是：两点之间，线段最短。
问题2：常见实例如：自行车的车架设计为三角形结构，使用过程中不会轻易发生形变；高压电线杆的斜拉钢索与电线杆、地面共同构成三角形结构，可稳固固定电线杆，防止倒伏；房屋的三角形屋架，承重时结构可保持稳定，不易变形，以上实例都体现了三角形的稳定性。
问题1：三角形三边之间的关系为：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
得出该结论的依据是：两点之间，线段最短。
问题2：常见实例如：自行车的车架设计为三角形结构，使用过程中不会轻易发生形变；高压电线杆的斜拉钢索与电线杆、地面共同构成三角形结构，可稳固固定电线杆，防止倒伏；房屋的三角形屋架，承重时结构可保持稳定，不易变形，以上实例都体现了三角形的稳定性。
解析
【分析】
解答本题分两个问题依次梳理思路：
1. 针对问题1：先回忆三角形三边关系的相关结论，再结合已学的线段性质推导结论来源：两点之间的所有连线中线段最短，在三角形中，任意两个顶点之间的最短路径是连接这两个顶点的边，走另外两条边的路径是折线，长度必然比边更长，可推出两边之和大于第三边，对不等式移项变形即可得到两边之差小于第三边。
2. 针对问题2：三角形的稳定性指三角形结构固定后不易发生形变，只需列举生活中利用三角形不易变形特点设计的物品或结构即可。
【解析】
问题1解答
设三角形三个顶点为A、B、C，根据两点之间线段最短的性质，A到B的最短路径为线段AB，因此可得$AC+BC＞AB$；同理可推出$AB+BC＞AC$、$AB+AC＞BC$，整理可得：三角形任意两边之和大于第三边。
将上述不等式移项变形，例如由$AB+AC＞BC$可得$BC-AB＜AC$，同理可推导其余差值关系，即：三角形任意两边之差小于第三边。
因此三边关系结论的推导依据为两点之间，线段最短。
问题2解答
三角形的稳定性即三角形结构确定后，形状不易发生改变，生活中利用该性质的实例非常多，只要是三角形结构起到稳固作用的例子都符合要求。
【答案】
问题1：三角形三边之间的关系为：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。得出该结论的依据是：两点之间，线段最短。
问题2：常见实例如：自行车的车架设计为三角形结构，使用过程中不会轻易发生形变；高压电线杆的斜拉钢索与电线杆、地面共同构成三角形结构，可稳固固定电线杆，防止倒伏；房屋的三角形屋架，承重时结构可保持稳定，不易变形，以上实例都体现了三角形的稳定性。
【知识点】
三角形三边关系；三角形的稳定性；两点之间线段最短
【点评】
本题属于基础概念类题目，考查对三角形基础性质的记忆和理解，同时要求能将数学性质和生活实际相结合，平时学习时要注意熟记基础概念，多观察生活中的数学应用实例。
【难度系数】
0.9
解答本题分两个问题依次梳理思路：
1. 针对问题1：先回忆三角形三边关系的相关结论，再结合已学的线段性质推导结论来源：两点之间的所有连线中线段最短，在三角形中，任意两个顶点之间的最短路径是连接这两个顶点的边，走另外两条边的路径是折线，长度必然比边更长，可推出两边之和大于第三边，对不等式移项变形即可得到两边之差小于第三边。
2. 针对问题2：三角形的稳定性指三角形结构固定后不易发生形变，只需列举生活中利用三角形不易变形特点设计的物品或结构即可。
【解析】
问题1解答
设三角形三个顶点为A、B、C，根据两点之间线段最短的性质，A到B的最短路径为线段AB，因此可得$AC+BC＞AB$；同理可推出$AB+BC＞AC$、$AB+AC＞BC$，整理可得：三角形任意两边之和大于第三边。
将上述不等式移项变形，例如由$AB+AC＞BC$可得$BC-AB＜AC$，同理可推导其余差值关系，即：三角形任意两边之差小于第三边。
因此三边关系结论的推导依据为两点之间，线段最短。
问题2解答
三角形的稳定性即三角形结构确定后，形状不易发生改变，生活中利用该性质的实例非常多，只要是三角形结构起到稳固作用的例子都符合要求。
【答案】
问题1：三角形三边之间的关系为：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。得出该结论的依据是：两点之间，线段最短。
问题2：常见实例如：自行车的车架设计为三角形结构，使用过程中不会轻易发生形变；高压电线杆的斜拉钢索与电线杆、地面共同构成三角形结构，可稳固固定电线杆，防止倒伏；房屋的三角形屋架，承重时结构可保持稳定，不易变形，以上实例都体现了三角形的稳定性。
【知识点】
三角形三边关系；三角形的稳定性；两点之间线段最短
【点评】
本题属于基础概念类题目，考查对三角形基础性质的记忆和理解，同时要求能将数学性质和生活实际相结合，平时学习时要注意熟记基础概念，多观察生活中的数学应用实例。
【难度系数】
0.9
【典型例题1】用一条长为18 m的细绳围成一个三角形，其中两边长分别为x m和4 m.
(1)求x的取值范围；
(2)当围成的三角形是等腰三角形时，求x的值.
【解】(1)根据题意，得该三角形的第三边长为$18 - 4 - x = (14 - x)\mathrm{m}$.
由三角形三边关系，可得不等式组
$\begin{cases}14 - x + 4 ＞ x, \\x + 4 ＞ 14 - x,\end{cases}$解得$5 ＜ x ＜ 9$.
(2)①边长为x m的边为底边时，有$x + 4 + 4 = 18$，解得$x = 10$，由(1)中范围可知该结果不合题意，舍去；
②边长为x m的边为腰时，有$x + x + 4 = 18$，解得$x = 7$，符合题意.
综上所述，x的值是7.
规律方法 1.根据三角形的三边关系来判断已知的三条线段能否组成三角形，只需看较小的两边之和是否大于第三边即可.
2.已知三角形的两边确定第三边的取值范围时，一般利用三边关系构建不等式(组)求解.
3.在解决与等腰三角形的边有关的问题时，若腰或底边不确定，需分类讨论，防止出现遗漏的错误，此时也要注意三边长应满足三角形的三边关系.
(1)求x的取值范围；
(2)当围成的三角形是等腰三角形时，求x的值.
【解】(1)根据题意，得该三角形的第三边长为$18 - 4 - x = (14 - x)\mathrm{m}$.
由三角形三边关系，可得不等式组
$\begin{cases}14 - x + 4 ＞ x, \\x + 4 ＞ 14 - x,\end{cases}$解得$5 ＜ x ＜ 9$.
(2)①边长为x m的边为底边时，有$x + 4 + 4 = 18$，解得$x = 10$，由(1)中范围可知该结果不合题意，舍去；
②边长为x m的边为腰时，有$x + x + 4 = 18$，解得$x = 7$，符合题意.
综上所述，x的值是7.
规律方法 1.根据三角形的三边关系来判断已知的三条线段能否组成三角形，只需看较小的两边之和是否大于第三边即可.
2.已知三角形的两边确定第三边的取值范围时，一般利用三边关系构建不等式(组)求解.
3.在解决与等腰三角形的边有关的问题时，若腰或底边不确定，需分类讨论，防止出现遗漏的错误，此时也要注意三边长应满足三角形的三边关系.
答案
解：
(1) 由题意得，该三角形的第三边长为$18-4-x=(14-x)\ \mathrm{m}$。
根据三角形三边关系，可得不等式组
$\begin{cases}14-x + 4 ＞ x \\x + 4 ＞ 14 - x\end{cases}$
解第一个不等式得$x＜9$，解第二个不等式得$x＞5$，
因此$x$的取值范围是$5＜x＜9$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当边长为$x\ \mathrm{m}$的边为等腰三角形的底边时，两腰长均为4 m，
列方程得$x + 4 + 4 = 18$，解得$x=10$，
由(1)的取值范围可知$x=10$不符合要求，不能构成三角形，舍去；
② 当边长为$x\ \mathrm{m}$的边为等腰三角形的腰时，另一腰长也为$x\ \mathrm{m}$，底边长为4 m，
列方程得$x + x + 4 = 18$，解得$x=7$，
$x=7$满足$5＜x＜9$，符合三角形三边关系，成立。
综上，$x$的值是7。
(1) 由题意得，该三角形的第三边长为$18-4-x=(14-x)\ \mathrm{m}$。
根据三角形三边关系，可得不等式组
$\begin{cases}14-x + 4 ＞ x \\x + 4 ＞ 14 - x\end{cases}$
解第一个不等式得$x＜9$，解第二个不等式得$x＞5$，
因此$x$的取值范围是$5＜x＜9$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当边长为$x\ \mathrm{m}$的边为等腰三角形的底边时，两腰长均为4 m，
列方程得$x + 4 + 4 = 18$，解得$x=10$，
由(1)的取值范围可知$x=10$不符合要求，不能构成三角形，舍去；
② 当边长为$x\ \mathrm{m}$的边为等腰三角形的腰时，另一腰长也为$x\ \mathrm{m}$，底边长为4 m，
列方程得$x + x + 4 = 18$，解得$x=7$，
$x=7$满足$5＜x＜9$，符合三角形三边关系，成立。
综上，$x$的值是7。
解析
【分析】
(1) 求解x的取值范围时，首先根据细绳总长即三角形周长为18m，结合已知的两条边长x m和4 m，先算出第三边长度为(14-x)m；再依据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，列出关于x的不等式组，解不等式组即可得到x的取值范围。
(2) 求解等腰三角形对应的x值时，因为腰和底边未明确给出，所以需要分类讨论：①若x为底边长，4为腰长，根据周长列方程求解，再检验结果是否符合(1)中的取值范围，不符合则舍去；②若x为腰长，4为底边长，同样根据周长列方程求解，再检验是否符合三边要求，最终得到符合条件的x值。
【解析】
(1) 由题意得，该三角形的第三边长为$18-4-x=(14-x)\ \mathrm{m}$。
根据三角形三边关系，可得不等式组
$\begin{cases}14-x + 4 ＞ x \\x + 4 ＞ 14 - x\end{cases}$
解第一个不等式得$x＜9$，解第二个不等式得$x＞5$，
因此$x$的取值范围是$5＜x＜9$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当边长为$x\ \mathrm{m}$的边为等腰三角形的底边时，两腰长均为4 m，
列方程得$x + 4 + 4 = 18$，解得$x=10$，
由(1)的取值范围可知$x=10$不符合要求，不能构成三角形，舍去；
② 当边长为$x\ \mathrm{m}$的边为等腰三角形的腰时，另一腰长也为$x\ \mathrm{m}$，底边长为4 m，
列方程得$x + x + 4 = 18$，解得$x=7$，
$x=7$满足$5＜x＜9$，符合三角形三边关系，成立。
综上，$x$的值是7。
【答案】
(1) $5＜x＜9$；(2) $x=7$
【知识点】
三角形三边关系，等腰三角形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题侧重考察三角形三边关系的实际应用，解决等腰三角形边长问题时，要注意对腰和底边进行分类讨论，求出结果后一定要验证是否满足三角形三边关系，避免出现增解的错误。
【难度系数】
0.7
(1) 求解x的取值范围时，首先根据细绳总长即三角形周长为18m，结合已知的两条边长x m和4 m，先算出第三边长度为(14-x)m；再依据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，列出关于x的不等式组，解不等式组即可得到x的取值范围。
(2) 求解等腰三角形对应的x值时，因为腰和底边未明确给出，所以需要分类讨论：①若x为底边长，4为腰长，根据周长列方程求解，再检验结果是否符合(1)中的取值范围，不符合则舍去；②若x为腰长，4为底边长，同样根据周长列方程求解，再检验是否符合三边要求，最终得到符合条件的x值。
【解析】
(1) 由题意得，该三角形的第三边长为$18-4-x=(14-x)\ \mathrm{m}$。
根据三角形三边关系，可得不等式组
$\begin{cases}14-x + 4 ＞ x \\x + 4 ＞ 14 - x\end{cases}$
解第一个不等式得$x＜9$，解第二个不等式得$x＞5$，
因此$x$的取值范围是$5＜x＜9$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当边长为$x\ \mathrm{m}$的边为等腰三角形的底边时，两腰长均为4 m，
列方程得$x + 4 + 4 = 18$，解得$x=10$，
由(1)的取值范围可知$x=10$不符合要求，不能构成三角形，舍去；
② 当边长为$x\ \mathrm{m}$的边为等腰三角形的腰时，另一腰长也为$x\ \mathrm{m}$，底边长为4 m，
列方程得$x + x + 4 = 18$，解得$x=7$，
$x=7$满足$5＜x＜9$，符合三角形三边关系，成立。
综上，$x$的值是7。
【答案】
(1) $5＜x＜9$；(2) $x=7$
【知识点】
三角形三边关系，等腰三角形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题侧重考察三角形三边关系的实际应用，解决等腰三角形边长问题时，要注意对腰和底边进行分类讨论，求出结果后一定要验证是否满足三角形三边关系，避免出现增解的错误。
【难度系数】
0.7
