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基础知识·预习
问题1 什么样的多边形是正多边形？
问题2 正多边形与圆有什么关系？什么是正多边形的中心、半径、中心角和边心距？
正多边形的中心角的度数怎么计算？
问题3 如何利用一个圆作一个正多边形？
问题1 什么样的多边形是正多边形？
问题2 正多边形与圆有什么关系？什么是正多边形的中心、半径、中心角和边心距？
正多边形的中心角的度数怎么计算？
问题3 如何利用一个圆作一个正多边形？
答案
解：
问题1
各边相等，各角也分别相等的多边形是正多边形。
问题2
1. 正多边形与圆的关系：把一个圆分成n（n≥3）等份，依次连接各分点，得到的多边形就是这个圆的内接正n边形，任意正多边形都存在唯一的外接圆，正多边形的所有顶点都在它的外接圆上。
2. 相关定义：
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；
正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径；
正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角；
正多边形的中心到正多边形任意一条边的距离叫做这个正多边形的边心距。
3. 中心角的度数计算：边数为n的正多边形，中心角的度数为$\frac{360°}{n}$。
问题3
利用圆作正多边形的核心是等分圆周，一般方法如下：
1. 若要作边数为n的正多边形，先计算出对应正n边形的中心角大小为$\frac{360°}{n}$；
2. 以已知圆的圆心为顶点，用量角器依次画出n个度数为$\frac{360°}{n}$的圆心角，这些角的边与圆相交得到n个点，即将圆n等分；
3. 顺次连接这n个等分点，即可得到该圆的内接正n边形。
对于正四边形、正六边形等特殊正多边形，也可通过尺规作图直接完成圆周等分，进而作出对应的正多边形。
问题1
各边相等，各角也分别相等的多边形是正多边形。
问题2
1. 正多边形与圆的关系：把一个圆分成n（n≥3）等份，依次连接各分点，得到的多边形就是这个圆的内接正n边形，任意正多边形都存在唯一的外接圆，正多边形的所有顶点都在它的外接圆上。
2. 相关定义：
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；
正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径；
正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角；
正多边形的中心到正多边形任意一条边的距离叫做这个正多边形的边心距。
3. 中心角的度数计算：边数为n的正多边形，中心角的度数为$\frac{360°}{n}$。
问题3
利用圆作正多边形的核心是等分圆周，一般方法如下：
1. 若要作边数为n的正多边形，先计算出对应正n边形的中心角大小为$\frac{360°}{n}$；
2. 以已知圆的圆心为顶点，用量角器依次画出n个度数为$\frac{360°}{n}$的圆心角，这些角的边与圆相交得到n个点，即将圆n等分；
3. 顺次连接这n个等分点，即可得到该圆的内接正n边形。
对于正四边形、正六边形等特殊正多边形，也可通过尺规作图直接完成圆周等分，进而作出对应的正多边形。
解析
【分析】
本题是正多边形与圆模块的基础概念类习题，三个问题分别从定义判定、关联性质与核心概念、实际作图三个维度设置，解题思路如下：
1. 思考问题1时，要抓住正多边形的两个核心判定要素，需同时满足所有边相等、所有角相等，两个条件缺一不可，例如仅边相等的菱形、仅角相等的矩形都不属于正多边形；
2. 思考问题2时，可结合圆的等分性质理解二者的关联，将正多边形的相关要素和其外接圆的要素一一对应：外接圆的圆心对应正多边形的中心，外接圆半径对应正多边形的半径，边对应的外接圆圆心角对应正多边形的中心角，圆心到边的距离对应正多边形的边心距；由于周角为360°，正n边形有n个大小相等的中心角，因此可推导得到中心角的计算方法；
3. 思考问题3时，可根据正多边形和圆的关系反向推导：要得到正n边形，只需先将圆n等分，再顺次连接各等分点即可，等分圆周可通过量取对应度数的中心角实现，正四边形、正六边形等特殊正多边形也可直接用尺规作图完成等分。
【解析】
我们对三个问题逐一解答：
问题1
各边相等，各角也分别相等的多边形是正多边形。
问题2
1. 正多边形与圆的关系：把一个圆分成n（n≥3）等份，依次连接各分点，得到的多边形就是这个圆的内接正n边形，任意正多边形都存在唯一的外接圆，正多边形的所有顶点都在它的外接圆上。
2. 相关定义：
正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；
正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径；
正多边形的中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角；
正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形任意一条边的距离叫做这个正多边形的边心距。
3. 中心角的度数计算：边数为n的正多边形，中心角的度数为$\frac{360°}{n}$。
问题3
利用圆作正多边形的核心是等分圆周，一般方法如下：
1. 若要作边数为n的正多边形，先计算出对应正n边形的中心角大小为$\frac{360°}{n}$；
2. 以已知圆的圆心为顶点，用量角器依次画出n个度数为$\frac{360°}{n}$的圆心角，这些角的边与圆相交得到n个点，即将圆n等分；
3. 顺次连接这n个等分点，即可得到该圆的内接正n边形。
对于正四边形、正六边形等特殊正多边形，也可通过尺规作图直接完成圆周等分，进而作出对应的正多边形。
【答案】
问题1
各边相等，各角也分别相等的多边形是正多边形。
问题2
1. 正多边形与圆的关系：把一个圆分成n（n≥3）等份，依次连接各分点，得到的多边形就是这个圆的内接正n边形，任意正多边形都存在唯一的外接圆，正多边形的所有顶点都在它的外接圆上。
2. 相关定义：
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；
正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径；
正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角；
正多边形的中心到正多边形任意一条边的距离叫做这个正多边形的边心距。
3. 中心角的度数计算：边数为n的正多边形，中心角的度数为$\frac{360°}{n}$。
问题3
利用圆作正多边形的核心是等分圆周，一般方法如下：
1. 若要作边数为n的正多边形，先计算出对应正n边形的中心角大小为$\frac{360°}{n}$；
2. 以已知圆的圆心为顶点，用量角器依次画出n个度数为$\frac{360°}{n}$的圆心角，这些角的边与圆相交得到n个点，即将圆n等分；
3. 顺次连接这n个等分点，即可得到该圆的内接正n边形。
对于正四边形、正六边形等特殊正多边形，也可通过尺规作图直接完成圆周等分，进而作出对应的正多边形。
【知识点】
正多边形的定义；正多边形与圆的关系；正多边形相关概念及作图
【点评】
本题属于基础概念题，是后续开展正多边形边长、面积计算以及复杂作图的基础，需要准确记忆各相关概念，理清正多边形要素与其外接圆要素的对应关系。
【难度系数】
0.9
本题是正多边形与圆模块的基础概念类习题，三个问题分别从定义判定、关联性质与核心概念、实际作图三个维度设置，解题思路如下：
1. 思考问题1时，要抓住正多边形的两个核心判定要素，需同时满足所有边相等、所有角相等，两个条件缺一不可，例如仅边相等的菱形、仅角相等的矩形都不属于正多边形；
2. 思考问题2时，可结合圆的等分性质理解二者的关联，将正多边形的相关要素和其外接圆的要素一一对应：外接圆的圆心对应正多边形的中心，外接圆半径对应正多边形的半径，边对应的外接圆圆心角对应正多边形的中心角，圆心到边的距离对应正多边形的边心距；由于周角为360°，正n边形有n个大小相等的中心角，因此可推导得到中心角的计算方法；
3. 思考问题3时，可根据正多边形和圆的关系反向推导：要得到正n边形，只需先将圆n等分，再顺次连接各等分点即可，等分圆周可通过量取对应度数的中心角实现，正四边形、正六边形等特殊正多边形也可直接用尺规作图完成等分。
【解析】
我们对三个问题逐一解答：
问题1
各边相等，各角也分别相等的多边形是正多边形。
问题2
1. 正多边形与圆的关系：把一个圆分成n（n≥3）等份，依次连接各分点，得到的多边形就是这个圆的内接正n边形，任意正多边形都存在唯一的外接圆，正多边形的所有顶点都在它的外接圆上。
2. 相关定义：
正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；
正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径；
正多边形的中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角；
正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形任意一条边的距离叫做这个正多边形的边心距。
3. 中心角的度数计算：边数为n的正多边形，中心角的度数为$\frac{360°}{n}$。
问题3
利用圆作正多边形的核心是等分圆周，一般方法如下：
1. 若要作边数为n的正多边形，先计算出对应正n边形的中心角大小为$\frac{360°}{n}$；
2. 以已知圆的圆心为顶点，用量角器依次画出n个度数为$\frac{360°}{n}$的圆心角，这些角的边与圆相交得到n个点，即将圆n等分；
3. 顺次连接这n个等分点，即可得到该圆的内接正n边形。
对于正四边形、正六边形等特殊正多边形，也可通过尺规作图直接完成圆周等分，进而作出对应的正多边形。
【答案】
问题1
各边相等，各角也分别相等的多边形是正多边形。
问题2
1. 正多边形与圆的关系：把一个圆分成n（n≥3）等份，依次连接各分点，得到的多边形就是这个圆的内接正n边形，任意正多边形都存在唯一的外接圆，正多边形的所有顶点都在它的外接圆上。
2. 相关定义：
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；
正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径；
正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角；
正多边形的中心到正多边形任意一条边的距离叫做这个正多边形的边心距。
3. 中心角的度数计算：边数为n的正多边形，中心角的度数为$\frac{360°}{n}$。
问题3
利用圆作正多边形的核心是等分圆周，一般方法如下：
1. 若要作边数为n的正多边形，先计算出对应正n边形的中心角大小为$\frac{360°}{n}$；
2. 以已知圆的圆心为顶点，用量角器依次画出n个度数为$\frac{360°}{n}$的圆心角，这些角的边与圆相交得到n个点，即将圆n等分；
3. 顺次连接这n个等分点，即可得到该圆的内接正n边形。
对于正四边形、正六边形等特殊正多边形，也可通过尺规作图直接完成圆周等分，进而作出对应的正多边形。
【知识点】
正多边形的定义；正多边形与圆的关系；正多边形相关概念及作图
【点评】
本题属于基础概念题，是后续开展正多边形边长、面积计算以及复杂作图的基础，需要准确记忆各相关概念，理清正多边形要素与其外接圆要素的对应关系。
【难度系数】
0.9
【典型例题 1】如图，$\odot O$的周长为$16π$，正六边形$ABCDEF$内接于$\odot O$.
(1)求点$O$到$CD$的距离.
(2)求正六边形$ABCDEF$的面积.
【解】(1)如图，连接$OC$，$OD$，过点$O$作$OH ⊥ CD$，垂足为$H$，则$∠ CHO=90°$.
因为$\odot O$的周长为$16π$，
所以$OC=\frac{16π}{2π}=8$.
因为正六边形$ABCDEF$内接于$\odot O$，
所以$∠ COD = 60°$，$OC = OD$. 所以$∠ COH=30°$. 所以$CH=\frac{1}{2}OC=4$. 所以点$O$到$CD$的距离$OH = \sqrt{OC^2 - CH^2} = \sqrt{8^2 - 4^2}=4\sqrt{3}$.
(2)由(1)知$∠ COD=60°$，$OC=OD$.
所以$△ OCD$是等边三角形.
所以$CD = OC = 8$. 所以$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}CD · OH=\frac{1}{2} × 8 × 4\sqrt{3}=16\sqrt{3}$.
所以$S_{正六边形ABCDEF}=6S_{△ OCD}=6 × 16\sqrt{3}=96\sqrt{3}$.
规律方法 与正$n$边形有关的计算公式(正$n$边形的半径为$R$，边长为$a$，边心距为$r$)：
(1)正$n$边形的每个内角都是$\frac{(n-2)·180°}{n}$.
(2)正$n$边形的每个中心角都是$\frac{360°}{n}$.
(3)正$n$边形的半径、边长与边心距的关系是$(\frac{a}{2})^2 + r^2 = R^2$.
(4)正$n$边形的周长$C=na$.
(5)正$n$边形的面积$S=\frac{1}{2}arn$.
(1)求点$O$到$CD$的距离.
(2)求正六边形$ABCDEF$的面积.
【解】(1)如图，连接$OC$，$OD$，过点$O$作$OH ⊥ CD$，垂足为$H$，则$∠ CHO=90°$.
因为$\odot O$的周长为$16π$，
所以$OC=\frac{16π}{2π}=8$.
因为正六边形$ABCDEF$内接于$\odot O$，
所以$∠ COD = 60°$，$OC = OD$. 所以$∠ COH=30°$. 所以$CH=\frac{1}{2}OC=4$. 所以点$O$到$CD$的距离$OH = \sqrt{OC^2 - CH^2} = \sqrt{8^2 - 4^2}=4\sqrt{3}$.
(2)由(1)知$∠ COD=60°$，$OC=OD$.
所以$△ OCD$是等边三角形.
所以$CD = OC = 8$. 所以$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}CD · OH=\frac{1}{2} × 8 × 4\sqrt{3}=16\sqrt{3}$.
所以$S_{正六边形ABCDEF}=6S_{△ OCD}=6 × 16\sqrt{3}=96\sqrt{3}$.
规律方法 与正$n$边形有关的计算公式(正$n$边形的半径为$R$，边长为$a$，边心距为$r$)：
(1)正$n$边形的每个内角都是$\frac{(n-2)·180°}{n}$.
(2)正$n$边形的每个中心角都是$\frac{360°}{n}$.
(3)正$n$边形的半径、边长与边心距的关系是$(\frac{a}{2})^2 + r^2 = R^2$.
(4)正$n$边形的周长$C=na$.
(5)正$n$边形的面积$S=\frac{1}{2}arn$.
答案
(1) 连接$OC$，$OD$，过点$O$作$OH ⊥ CD$，垂足为$H$，则$∠ CHO=90°$.
因为$\odot O$的周长为$16π$，
所以$OC=\frac{16π}{2π}=8$.
因为正六边形$ABCDEF$内接于$\odot O$，
所以$∠ COD = 60°$，$OC = OD$. 所以$∠ COH=30°$. 所以$CH=\frac{1}{2}OC=4$. 所以点$O$到$CD$的距离$OH = \sqrt{OC^2 - CH^2} = \sqrt{8^2 - 4^2}=4\sqrt{3}$.
(2) 由(1)知$∠ COD=60°$，$OC=OD$.
所以$△ OCD$是等边三角形.
所以$CD = OC = 8$. 所以$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}CD · OH=\frac{1}{2} × 8 × 4\sqrt{3}=16\sqrt{3}$.
所以$S_{正六边形ABCDEF}=6S_{△ OCD}=6 × 16\sqrt{3}=96\sqrt{3}$.
规律方法 与正$n$边形有关的计算公式(正$n$边形的半径为$R$，边长为$a$，边心距为$r$)：
(1)正$n$边形的每个内角都是$\frac{(n-2)·180°}{n}$.
(2)正$n$边形的每个中心角都是$\frac{360°}{n}$.
(3)正$n$边形的半径、边长与边心距的关系是$(\frac{a}{2})^2 + r^2 = R^2$.
(4)正$n$边形的周长$C=na$.
(5)正$n$边形的面积$S=\frac{1}{2}arn$.
解析
【分析】
本题可结合正多边形与圆的性质逐步求解：
(1) 求点O到CD的距离即正六边形的边心距：首先根据圆的周长求出⊙O的半径，再利用正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，得到$△ OCD$为等边三角形，过O作CD的垂线后，结合直角三角形性质和勾股定理即可求出边心距。
(2) 求正六边形面积：正六边形可拆分为6个全等的等边三角形，先求出单个中心三角形$△ OCD$的面积，再乘以6即可得到正六边形的总面积。
【解析】
(1) 如图，连接$OC$，$OD$，过点$O$作$OH ⊥ CD$，垂足为$H$，则$∠ CHO=90°$.
因为$\odot O$的周长为$16π$，
所以$OC=\frac{16π}{2π}=8$.
因为正六边形$ABCDEF$内接于$\odot O$，
所以$∠ COD = 60°$，$OC = OD$，所以$∠ COH=30°$，所以$CH=\frac{1}{2}OC=4$.
所以点$O$到$CD$的距离$OH = \sqrt{OC^2 - CH^2} = \sqrt{8^2 - 4^2}=4\sqrt{3}$.
(2) 由(1)知$∠ COD=60°$，$OC=OD$，所以$△ OCD$是等边三角形，所以$CD = OC = 8$.
所以$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}CD · OH=\frac{1}{2} × 8 × 4\sqrt{3}=16\sqrt{3}$.
所以$S_{正六边形ABCDEF}=6S_{△ OCD}=6 × 16\sqrt{3}=96\sqrt{3}$.
【答案】
(1) 点O到CD的距离为$\boldsymbol{4\sqrt{3}}$；
(2) 正六边形$ABCDEF$的面积为$\boldsymbol{96\sqrt{3}}$。
【知识点】
正多边形与圆的性质，勾股定理，正多边形面积计算
【点评】
本题是正多边形与圆章节的典型基础题，解题核心是掌握正六边形可拆分为6个全等等边三角形的特征，将正多边形的计算转化为常见的直角三角形、等边三角形计算，是正多边形相关计算方法的基础应用。
【难度系数】
0.8
本题可结合正多边形与圆的性质逐步求解：
(1) 求点O到CD的距离即正六边形的边心距：首先根据圆的周长求出⊙O的半径，再利用正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，得到$△ OCD$为等边三角形，过O作CD的垂线后，结合直角三角形性质和勾股定理即可求出边心距。
(2) 求正六边形面积：正六边形可拆分为6个全等的等边三角形，先求出单个中心三角形$△ OCD$的面积，再乘以6即可得到正六边形的总面积。
【解析】
(1) 如图，连接$OC$，$OD$，过点$O$作$OH ⊥ CD$，垂足为$H$，则$∠ CHO=90°$.
因为$\odot O$的周长为$16π$，
所以$OC=\frac{16π}{2π}=8$.
因为正六边形$ABCDEF$内接于$\odot O$，
所以$∠ COD = 60°$，$OC = OD$，所以$∠ COH=30°$，所以$CH=\frac{1}{2}OC=4$.
所以点$O$到$CD$的距离$OH = \sqrt{OC^2 - CH^2} = \sqrt{8^2 - 4^2}=4\sqrt{3}$.
(2) 由(1)知$∠ COD=60°$，$OC=OD$，所以$△ OCD$是等边三角形，所以$CD = OC = 8$.
所以$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}CD · OH=\frac{1}{2} × 8 × 4\sqrt{3}=16\sqrt{3}$.
所以$S_{正六边形ABCDEF}=6S_{△ OCD}=6 × 16\sqrt{3}=96\sqrt{3}$.
【答案】
(1) 点O到CD的距离为$\boldsymbol{4\sqrt{3}}$；
(2) 正六边形$ABCDEF$的面积为$\boldsymbol{96\sqrt{3}}$。
【知识点】
正多边形与圆的性质，勾股定理，正多边形面积计算
【点评】
本题是正多边形与圆章节的典型基础题，解题核心是掌握正六边形可拆分为6个全等等边三角形的特征，将正多边形的计算转化为常见的直角三角形、等边三角形计算，是正多边形相关计算方法的基础应用。
【难度系数】
0.8
