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1. 下列各组数据能作为直角三角形的三边长的是(
A.$6,8,9$
B.$6,8,10$
C.$6,8,11$
D.$6,8,12$
B
)A.$6,8,9$
B.$6,8,10$
C.$6,8,11$
D.$6,8,12$
答案
B
解析
根据勾股定理的逆定理，若三角形三边长$a$、$b$、$c$满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，则该三角形是直角三角形。
选项A：$6^{2}+8^{2}=36 + 64=100$，$9^{2}=81$，因为$100\neq81$，所以不能构成直角三角形。
选项B：$6^{2}+8^{2}=36 + 64 = 100$，$10^{2}=100$，因为$6^{2}+8^{2}=10^{2}$，所以能构成直角三角形。
选项C：$6^{2}+8^{2}=100$，$11^{2}=121$，因为$100\neq121$，所以不能构成直角三角形。
选项D：$6^{2}+8^{2}=100$，$12^{2}=144$，因为$100\neq144$，所以不能构成直角三角形。
选项A：$6^{2}+8^{2}=36 + 64=100$，$9^{2}=81$，因为$100\neq81$，所以不能构成直角三角形。
选项B：$6^{2}+8^{2}=36 + 64 = 100$，$10^{2}=100$，因为$6^{2}+8^{2}=10^{2}$，所以能构成直角三角形。
选项C：$6^{2}+8^{2}=100$，$11^{2}=121$，因为$100\neq121$，所以不能构成直角三角形。
选项D：$6^{2}+8^{2}=100$，$12^{2}=144$，因为$100\neq144$，所以不能构成直角三角形。
2. 下列各组数中,不能作为直角三角形的三边长的是(
A.$9,12,15$
B.$5,12,13$
C.$8,15,17$
D.$12,18,22$
D
)A.$9,12,15$
B.$5,12,13$
C.$8,15,17$
D.$12,18,22$
答案
D
解析
要判断哪一组数不能作为直角三角形的三边长，需验证各选项是否满足勾股定理（即两条较短边的平方和等于最长边的平方）。
A. 对于$9,12,15$，有：
$9^{2} + 12^{2} = 81 + 144 = 225$，
$15^{2} = 225$，
因为$9^{2} + 12^{2} = 15^{2}$，所以能构成直角三角形。
B. 对于$5,12,13$，有：
$5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169$，
$13^{2} = 169$，
因为$5^{2} + 12^{2} = 13^{2}$，所以能构成直角三角形。
C. 对于$8,15,17$，有：
$8^{2} + 15^{2} = 64 + 225 = 289$，
$17^{2} = 289$，
因为$8^{2} + 15^{2} = 17^{2}$，所以能构成直角三角形。
D. 对于$12,18,22$，有：
$12^{2} + 18^{2} = 144 + 324 = 468$，
$22^{2} = 484$，
因为$12^{2} + 18^{2} \ne 22^{2}$，所以不能构成直角三角形。
综上所述，不能作为直角三角形的三边长的是D选项。
A. 对于$9,12,15$，有：
$9^{2} + 12^{2} = 81 + 144 = 225$，
$15^{2} = 225$，
因为$9^{2} + 12^{2} = 15^{2}$，所以能构成直角三角形。
B. 对于$5,12,13$，有：
$5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169$，
$13^{2} = 169$，
因为$5^{2} + 12^{2} = 13^{2}$，所以能构成直角三角形。
C. 对于$8,15,17$，有：
$8^{2} + 15^{2} = 64 + 225 = 289$，
$17^{2} = 289$，
因为$8^{2} + 15^{2} = 17^{2}$，所以能构成直角三角形。
D. 对于$12,18,22$，有：
$12^{2} + 18^{2} = 144 + 324 = 468$，
$22^{2} = 484$，
因为$12^{2} + 18^{2} \ne 22^{2}$，所以不能构成直角三角形。
综上所述，不能作为直角三角形的三边长的是D选项。
3. 下列各组数是勾股数的是(
A.$8,15,17$
B.$6,7,8$
C.$0.03,0.04,0.05$
D.$0.9,1.2,1.5$
A
)A.$8,15,17$
B.$6,7,8$
C.$0.03,0.04,0.05$
D.$0.9,1.2,1.5$
答案
A
解析
勾股数是指满足勾股定理的三个正整数，即$a^2+b^2=c^2$，且为正整数。
A选项：$8^{2} + 15^{2} = 64 + 225 = 289$，$17^{2} = 289$，满足$a^2+b^2=c^2$，且都是正整数，是勾股数。
B选项：$6^{2} + 7^{2} = 36 + 49 = 85$，$8^{2} = 64$，不满足$a^2+b^2=c^2$，不是勾股数。
C选项：$0.03,0.04,0.05$不是正整数，不是勾股数。
D选项：$0.9,1.2,1.5$不是正整数，不是勾股数。
A选项：$8^{2} + 15^{2} = 64 + 225 = 289$，$17^{2} = 289$，满足$a^2+b^2=c^2$，且都是正整数，是勾股数。
B选项：$6^{2} + 7^{2} = 36 + 49 = 85$，$8^{2} = 64$，不满足$a^2+b^2=c^2$，不是勾股数。
C选项：$0.03,0.04,0.05$不是正整数，不是勾股数。
D选项：$0.9,1.2,1.5$不是正整数，不是勾股数。
4. 满足下列条件的$\triangle ABC$中,不是直角三角形的是( )
A.$\angle B= \angle A+\angle C$
B.$\angle A:\angle B:\angle C= 5:12:13$
C.$a^{2}= b^{2}-c^{2}$
D.$a:b:c= 5:12:13$
A.$\angle B= \angle A+\angle C$
B.$\angle A:\angle B:\angle C= 5:12:13$
C.$a^{2}= b^{2}-c^{2}$
D.$a:b:c= 5:12:13$
答案
B
解析
A. 根据 $\angle B = \angle A + \angle C$，由三角形内角和为 $180°$，得 $2\angle B = 180°$，所以 $\angle B = 90°$，是直角三角形。
B. 设 $\angle A = 5x$，$\angle B = 12x$，$\angle C = 13x$，由三角形内角和为 $180°$，得 $5x + 12x + 13x = 180°$，解得 $x = 6°$，所以 $\angle A = 30°$，$\angle B = 72°$，$\angle C = 78°$，不是直角三角形。
C. 由 $a^2 = b^2 - c^2$，得 $a^2 + c^2 = b^2$，由勾股定理的逆定理，是直角三角形。
D. 设 $a = 5x$，$b = 12x$，$c = 13x$，由 $a^2 + b^2 = 25x^2 + 144x^2 = 169x^2 = c^2$，由勾股定理的逆定理，是直角三角形。
B. 设 $\angle A = 5x$，$\angle B = 12x$，$\angle C = 13x$，由三角形内角和为 $180°$，得 $5x + 12x + 13x = 180°$，解得 $x = 6°$，所以 $\angle A = 30°$，$\angle B = 72°$，$\angle C = 78°$，不是直角三角形。
C. 由 $a^2 = b^2 - c^2$，得 $a^2 + c^2 = b^2$，由勾股定理的逆定理，是直角三角形。
D. 设 $a = 5x$，$b = 12x$，$c = 13x$，由 $a^2 + b^2 = 25x^2 + 144x^2 = 169x^2 = c^2$，由勾股定理的逆定理，是直角三角形。
5. 在$\triangle ABC$中,$\angle A,\angle B,\angle C的对边分别为a,b,c,a = 3,b = 7,c^{2}= 58$,则$S_{\triangle ABC}= $
10.5
。答案
10.5
解析
首先，根据题目给出的边长，有$a=3$，$b=7$，$c^{2}=58$，
根据勾股定理的逆定理，如果三角形三边满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，则三角形是直角三角形，
计算得$a^{2}+b^{2}=3^{2}+7^{2}=9+49=58$，
由于$c^{2}=58$，所以$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，
因此，根据勾股定理的逆定理，$\triangle ABC$是直角三角形，
直角三角形的面积可以通过公式$S=\frac{1}{2}ab$计算，其中$a$和$b$是直角三角形的两条直角边，
代入$a=3$，$b=7$，得到$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×3×7=10.5$，
所以，$S_{\triangle ABC}=10.5$，
根据勾股定理的逆定理，如果三角形三边满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，则三角形是直角三角形，
计算得$a^{2}+b^{2}=3^{2}+7^{2}=9+49=58$，
由于$c^{2}=58$，所以$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，
因此，根据勾股定理的逆定理，$\triangle ABC$是直角三角形，
直角三角形的面积可以通过公式$S=\frac{1}{2}ab$计算，其中$a$和$b$是直角三角形的两条直角边，
代入$a=3$，$b=7$，得到$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×3×7=10.5$，
所以，$S_{\triangle ABC}=10.5$，
6. 如图,$AD是\triangle ABC$的中线,$AD = 12,AB = 13,BC = 10$,若$AC边上的高为BH$,则$BH$的长为
$\dfrac{120}{13}$
。答案
$\dfrac{120}{13}$
解析
本题可先根据三角形中线的性质求出$BD$的长度，再在$\triangle ABD$中利用勾股定理的逆定理判断其是否为直角三角形，最后根据三角形面积公式求出$BH$的长度。
步骤一：求出$BD$的长度
因为$AD$是$\triangle ABC$的中线，根据三角形中线的定义：三角形的中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段，所以$BD = \dfrac{1}{2}BC$。
已知$BC = 10$，则$BD = \dfrac{1}{2}×10 = 5$。
步骤二：判断$\triangle ABD$的形状
在$\triangle ABD$中，$AD = 12$，$AB = 13$，$BD = 5$，计算$BD^{2}+AD^{2}$的值为：$5^{2}+12^{2}=25 + 144 = 169$。
而$AB^{2}=13^{2}=169$，所以$BD^{2}+AD^{2}=AB^{2}$。
根据勾股定理的逆定理：若一个三角形的三条边满足关系式$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，则这个三角形是直角三角形，其中$c$为最长边，所以$\triangle ABD$是直角三角形，且$\angle ADB = 90^{\circ}$，那么$\angle ADC = 90^{\circ}$。
步骤三：求出$AC$的长度
因为$D$是$BC$的中点，所以$CD = BD = 5$。
在$Rt\triangle ADC$中，根据勾股定理$AC=\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}$，将$AD = 12$，$CD = 5$代入可得：$AC=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=\sqrt{144 + 25}=\sqrt{169}=13$。
步骤四：根据三角形面积公式求出$BH$的长度
根据三角形面积公式$S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}AC\cdot BH$，同时$S_{\triangle ABC}=2S_{\triangle ABD}$（因为$AD$是中线，等底等高）。
先求$S_{\triangle ABD}=\dfrac{1}{2}BD\cdot AD=\dfrac{1}{2}×5×12 = 30$，则$S_{\triangle ABC}=2×30 = 60$。
又因为$S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}AC\cdot BH$，$AC = 13$，所以$\dfrac{1}{2}×13\cdot BH = 60$，解得$BH=\dfrac{120}{13}$。
步骤一：求出$BD$的长度
因为$AD$是$\triangle ABC$的中线，根据三角形中线的定义：三角形的中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段，所以$BD = \dfrac{1}{2}BC$。
已知$BC = 10$，则$BD = \dfrac{1}{2}×10 = 5$。
步骤二：判断$\triangle ABD$的形状
在$\triangle ABD$中，$AD = 12$，$AB = 13$，$BD = 5$，计算$BD^{2}+AD^{2}$的值为：$5^{2}+12^{2}=25 + 144 = 169$。
而$AB^{2}=13^{2}=169$，所以$BD^{2}+AD^{2}=AB^{2}$。
根据勾股定理的逆定理：若一个三角形的三条边满足关系式$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，则这个三角形是直角三角形，其中$c$为最长边，所以$\triangle ABD$是直角三角形，且$\angle ADB = 90^{\circ}$，那么$\angle ADC = 90^{\circ}$。
步骤三：求出$AC$的长度
因为$D$是$BC$的中点，所以$CD = BD = 5$。
在$Rt\triangle ADC$中，根据勾股定理$AC=\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}$，将$AD = 12$，$CD = 5$代入可得：$AC=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=\sqrt{144 + 25}=\sqrt{169}=13$。
步骤四：根据三角形面积公式求出$BH$的长度
根据三角形面积公式$S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}AC\cdot BH$，同时$S_{\triangle ABC}=2S_{\triangle ABD}$（因为$AD$是中线，等底等高）。
先求$S_{\triangle ABD}=\dfrac{1}{2}BD\cdot AD=\dfrac{1}{2}×5×12 = 30$，则$S_{\triangle ABC}=2×30 = 60$。
又因为$S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}AC\cdot BH$，$AC = 13$，所以$\dfrac{1}{2}×13\cdot BH = 60$，解得$BH=\dfrac{120}{13}$。
7. 已知$\vert x - 12\vert+(y - 13)^{2}+z^{2}-10z + 25 = 0$,试判断以$x,y,z$为三边长的三角形的形状。
答案
由|x - 12| + (y - 13)² + z² - 10z + 25 = 0，得|x - 12| + (y - 13)² + (z - 5)² = 0。
∵|x - 12|≥0，(y - 13)²≥0，(z - 5)²≥0，且它们的和为0，
∴|x - 12|=0，(y - 13)²=0，(z - 5)²=0，
解得x=12，y=13，z=5。
∵5² + 12²=25 + 144=169=13²，即z² + x²=y²，
∴以x，y，z为三边长的三角形是直角三角形。
∵|x - 12|≥0，(y - 13)²≥0，(z - 5)²≥0，且它们的和为0，
∴|x - 12|=0，(y - 13)²=0，(z - 5)²=0，
解得x=12，y=13，z=5。
∵5² + 12²=25 + 144=169=13²，即z² + x²=y²，
∴以x，y，z为三边长的三角形是直角三角形。
8. 如图,在$\triangle ABC$中,$D是BC$边上一点,若$AB = 10,BD = 6,AD = 8,AC = 17$,求$BC$的长。
答案
由题意，在$\triangle ABD$中，
$\because AB = 10$，$BD = 6$，$AD = 8$，
$\therefore BD^{2} + AD^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 100$，
$AB^{2} = 10^{2} = 100$，
$\therefore BD^{2} + AD^{2} = AB^{2}$，
$\therefore \angle ADB = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle ADC = 90^{\circ}$。
在$\triangle ADC$中，
$\because \angle ADC = 90^{\circ}$，$AD = 8$，$AC = 17$，
根据勾股定理，得
$DC = \sqrt{AC^{2} - AD^{2}} = \sqrt{17^{2} - 8^{2}} = 15$，
$\therefore BC = BD + DC = 6 + 15 = 21$。
故答案为：$21$。
$\because AB = 10$，$BD = 6$，$AD = 8$，
$\therefore BD^{2} + AD^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 100$，
$AB^{2} = 10^{2} = 100$，
$\therefore BD^{2} + AD^{2} = AB^{2}$，
$\therefore \angle ADB = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle ADC = 90^{\circ}$。
在$\triangle ADC$中，
$\because \angle ADC = 90^{\circ}$，$AD = 8$，$AC = 17$，
根据勾股定理，得
$DC = \sqrt{AC^{2} - AD^{2}} = \sqrt{17^{2} - 8^{2}} = 15$，
$\therefore BC = BD + DC = 6 + 15 = 21$。
故答案为：$21$。
