1. 如图,平面内$∠AOB=∠COD=90°$,$OF$平分$∠AOD$,$E$为$OF$反向延长线上一点,有以下结论:①$∠AOE=∠DOE$;②$∠AOD+∠COB=180°$;③$∠COB-∠AOD=90°$;④若$∠FOD:∠COE=2:7$,则$∠FOD=36°$.其中结论正确的序号是 ()

A.①②④
B.①②③
C.②③④
D.①③④

1. A 【解析】因为 OF 平分∠AOD,所以∠AOF=∠DOF,所以 180°-∠AOF=180°-∠DOF,即∠AOE=∠DOE,故结论①正确;因为∠AOB=∠COD=90°,所以∠AOD+∠COB=∠AOD+∠AOC+∠AOB=∠COD+∠AOB=180°,故结论②正确;因为∠COB-∠AOD=∠AOC+∠AOB-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD,∠AOC ≠ ∠AOD,所以∠COB-∠AOD≠90°,故结论③不正确;若∠FOD:∠COE=2:7,设∠FOD=2x,则∠COE=7x,∠AOF=∠DOF=2x. 因为∠COD=90°,所以∠AOC=∠COD-∠AOF-∠DOF=90°-4x.又因为∠EOF=180°,所以∠AOC=∠EOF-∠COE-∠AOF=180°-7x-2x=180°-9x,所以 90°-4x=180°-9x,所以 x=18°,所以∠FOD=36°,故结论④正确.综上所述,结论正确的序号有①②④.故选 A.

2. 如图，$∠ COD$ 在 $∠ AOB$ 的内部，分别作 $∠ AOC$，$∠ BOD$ 的平分线 $OE$，$OF$，下列结论：
①$∠ AOB+∠ COD=∠ AOD+∠ BOC$；②$∠ AOB=2∠ EOF$；③$2∠ AOF=∠ AOB+∠ AOD$；④若$∠ AOB=7∠ COD$，则$∠ EOF=4∠ COD$.其中正确的是________.(填序号)

2. ①③④ 【解析】因为 ∠AOB = ∠AOD + ∠DOB, 所以∠AOB+∠COD=∠AOD+∠DOB+∠COD=∠AOD+∠BOC,故①正确;因为 OE,OF 分别是∠AOC,∠BOD 的平分线,所以 ∠AOC = 2∠AOE = 2∠EOC, ∠BOD = 2∠DOF = 2∠FOB, 所以 2∠EOF = 2∠EOC + 2∠COD + 2∠DOF = ∠AOB + ∠COD, 故 ② 错误; 因为 ∠DOF = ∠FOB = $\frac{1}{2}$∠BOD,所以∠AOB+∠AOD=∠AOD+∠DOF+∠FOB+∠AOD=2∠AOF,故③正确;因为∠AOB=7∠COD,所以2∠EOF=∠AOB+∠COD=8∠COD,所以∠EOF=4∠COD,故④正确.综上,正确的结论是①③④.

3. 如图,把∠APB放在量角器上,读得射线PA,PB分别经过刻度117和153,把∠APB绕点P按逆时针方向旋转到∠A'PB',下列三个结论:①∠APA'=∠BPB';②若射线PA'经过刻度27,则∠B'PA与∠A'PB互补;③若∠APB'=$\frac{1}{2}$∠APA',则射线PA'经过刻度45.其中正确的是.(填序号)

3. ①②③ 【解析】因为射线 PA,PB 分别经过刻度 117 和153,所以∠APB=153°-117°=36°,把∠APB 绕点 P 按逆时针方向旋转到∠A'PB',得∠APB = ∠A'PB'. 因为∠APA' = ∠APB' + ∠A'PB', ∠BPB' = ∠APB' + ∠APB, 所以∠APA' = ∠BPB', 即①正确; 因为射线 PA' 经过刻度 27,∠APB=∠A'PB'=36°,所以射线 PB' 经过的刻度为 27+36=63,所以∠B'PA=117°-63°=54°,所以∠A'PB=∠A'PB'+∠B'PA+∠APB=36°+54°+36°=126°,所以∠B'PA+∠A'PB=180°,即 ② 正确; 因为 ∠APB' = $\frac{1}{2}$∠APA', 且 ∠APA' = ∠APB' + ∠A'PB', 所以 ∠APB' = ∠A'PB', 所以 ∠APA' = 2∠A'PB' = 72°, 所以射线 PA' 经过的刻度为 117-72=45,即③正确.故答案为①②③.

4. 一副三角板ABC,DBE,如图①放置,∠D=30°,∠BAC=45°,将三角板DBE绕点B逆时针旋转一定角度,如图②所示,且0°＜∠CBE＜90°,有下列四个结论:①在图①的情况下,在∠DBC内作∠DBF=∠EBF,则BA平分∠DBF;②在旋转过程中,若BM平分∠DBA,BN平分∠EBC,∠MBN的角度恒为定值;③在旋转过程中,两块三角板的边所在直线夹角成90°的次数为3次;④∠DBC+∠ABE的角度恒为105°.其中正确的结论个数为.

4. 3 【解析】①由题图①可得∠DBA=∠ABF=15°,所以BA平分∠DBF,①正确;②当 0° ＜ ∠CBE ＜ 45° 时,设∠DBM=x,因为 BM 平分∠DBA,所以∠ABM=∠DBM=x,所以∠ABE=60°-2x,∠EBC=45°-(60°-2x)=2x-15°,所以∠EBN=x-7.5°,∠MBN=x+60°-2x+x-7.5°=52.5°.当45°＜∠CBE＜90°时,设∠DBM=x,因为 BM 平分∠DBA,所以∠ABM = ∠DBM = x, 所以 ∠ABE = 2x - 60°, 所以∠EBC=2x-15°,∠MBE=60°-x,所以∠EBN=∠CBN=x-7.5°,所以∠MBN=60°-x+x-7.5°=52.5°,故②正确;③当∠CBE=30°时,BD⊥BC,当∠CBE=45°时,AB⊥DE,当∠CBE=75°时,DB⊥AB,故③正确;④当 0°＜∠CBE＜45°时,∠DBC+∠ABE=105°,当45°＜∠CBE＜90°时,∠DBC+∠ABE＞105°,故④错误.综上所述,正确的结论为①②③,共3个.

5. 如图,点 O 为直线 AB 上一点,$∠COD$为直角,OE 平分$∠AOC$,OF 平分$∠COB$,OG 平分$∠BOD$.下列结论:①$∠FOG=45^{\circ }$;②$∠AOE+∠FOB=90^{\circ }$;③$∠EOG=130^{\circ }$;④$∠AOC-∠BOD=90^{\circ }$.其中正确的是.(填序号)

5. ①②④ 【解析】因为 OF 平分∠BOC,所以∠BOF=∠COF.因为 OG 平分∠BOD,所以∠BOG=∠DOG.因为∠COD=∠COB+∠BOD=90°,所以$\frac{1}{2}$(∠COB+∠BOD)=45°,所以∠FOB+∠BOG=∠FOG=45°,故①正确;因为 OE 平分∠AOC,所以∠AOE=∠EOC.因为∠AOB=∠AOC+∠COB=180°,所以$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠COB)=90°,所以∠AOE+∠FOB=90°,故 ② 正确; 因为 ∠AOC = 180° - ∠COB,∠COB+∠BOD=90°,所以∠AOC-∠BOD=180°-∠COB-∠BOD=180°-(∠COB+∠BOD)=90°,故④正确;因为∠AOC-∠BOD=90°,所以$\frac{1}{2}$(∠AOC-∠BOD)=45°,所以∠EOC-∠GOD=45°,所以∠EOC=∠GOD+45°.因为∠EOG=∠EOC+∠COG=∠GOD+45°+∠COG=∠COD+45°=135°,故③错误.综上所述,①②④正确.