1[中]任何一个正整数$n$都可以进行这样的分解：$n=p×q$（$p,q$是正整数，且$p≤q$），如果$p×q$在$n$的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称$p×q$是$n$的最佳分解，并规定：$S(n)=\frac{p}{q}$.例如18可以分解成$1×18,2×9$或$3×6$，则$S(18)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$；例如35可以分解成$1×35,5×7$，则$S(35)=\frac{5}{7}$，则$S(128)$的值是（）

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{1}{8}$
D.$\frac{1}{32}$

因为 $128 = 1×128 = 2×64 = 4×32 = 8×16$,所以 $S(128)=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$,故选 A.

2[2025 江苏扬州调研,中]新定义:规定“!”是一种数学运算符号,且$1! =1,2! =2×1=2,3! =3×2×1=6,4! =4×3×2×1=24,···$,则$-\dfrac{100!}{98!}=$.

由题意得$-\frac{100!}{98!}=-\frac{100×99×98×97×\dots×2×1}{98×97×\dots×2×1}=-100×99=-9\ 900$,故答案为-9 900.

3[较难]设a=1÷2÷3÷4,b=1÷(2÷3÷4),c=1÷(2÷3)÷4,d=1÷2÷(3÷4),计算(b÷a)÷(c÷d)=.

$a=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}=\frac{1}{24},b=1÷(\frac{2}{3}×\frac{1}{4})=6,c=1÷\frac{2}{3}×\frac{1}{4}=\frac{3}{2}×\frac{1}{4}=\frac{3}{8},d=1÷2÷\frac{3}{4}=\frac{1}{2}×\frac{4}{3}=\frac{2}{3},(b÷a)÷(c÷d)=\frac{b}{a}×\frac{d}{c}=\frac{bd}{ac}$. 因为 $bd=6×\frac{2}{3}=4,ac=\frac{1}{24}×\frac{3}{8}=\frac{1}{64}$,所以 $\frac{bd}{ac}=256$.

4[较难]三个互不相等的有理数，既可以表示为0, b, $\frac{b}{a}$的形式，也可以表示为1, a, a+b的形式，那么$a - b = \_\_\_\_\_\_$.

因为三个互不相等的有理数,既可以表示为 0,b,$\frac{b}{a}$的形式,又可以表示为 1,a,a+b 的形式,所以这两个数组的数分别对应相等,所以 a+b 与 a 中有一个是 0,$\frac{b}{a}$与 b 中有一个是 1. 但若 $a=0$,会使 $\frac{b}{a}$ 无意义,所以 $a≠0$,所以 $a+b=0$,即 $a=-b$,于是 $\frac{b}{a}=-1$,则 $b=1$,所以 $a=-1$,所以 $a-b=-1-1=-2$. 故答案为-2.

5 新考向开放性试题 [2026 河南驻马店期中,中]
给出如下一列数,分别按照下列要求选出整数和分数进行运算.
(注:每小问写出一个符合要求的式子及结果即可)
$0,-\dfrac{2}{5},26,2.4,-7,\dfrac{1}{2},-370,-2\dfrac{1}{2},-24,-0.3.$
(1)选择一个整数和一个分数进行任意的加减乘除运算,使运算结果为整数;
(2)选择一个整数和两个分数进行任意的加减乘除运算,使运算结果为正分数;
(3)选择两个整数和两个分数,仅包含乘除运算,使运算结果为负分数.
刷素养 走向重高

(1)$0×\frac{1}{2}=0$(答案不唯一).
(2)$0+\frac{1}{2}+(-\frac{2}{5})=\frac{1}{10}$(答案不唯一).
(3)$26×(-24)×(-\frac{2}{5})÷(-2\frac{1}{2})=-\frac{2\ 496}{25}$(答案不唯一).

6 核心素养运算能力[2026江苏南通质检,中]
【阅读材料】
当有理数x不等于0时，
把2个相同的有理数x的除法运算记作$f(2,x)=x÷x$；
把3个相同的有理数x的除法运算记作$f(3,x)=x÷x÷x$；
把4个相同的有理数x的除法运算记作$f(4,x)=x÷x÷x÷x$；
…；
特别地，规定$f(1,x)=x$.
【解决问题】
(1)若$f(n,-2)=(-2)÷(-2)÷(-2)÷(-2)$，则$n=$；
(2)$f(3,\dfrac{1}{3})=$；
(3)计算：$f(2,\dfrac{1}{4})÷f(3,-3)+f(4,\dfrac{1}{2})×f(1,-1)$.

(1)因为$f(n,-2)=(-2)÷(-2)÷(-2)÷(-2)$,所以$f(n,-2)$表示的是 4 个(-2)作除法运算,所以 $n=4$,故答案为 4.
(2)由题意得,$f(3,\frac{1}{3})=\frac{1}{3}÷\frac{1}{3}÷\frac{1}{3}=\frac{1}{3}×3×3=3$,故答案为 3.
(3)$f(2,\frac{1}{4})÷f(3,-3)+f(4,\frac{1}{2})×f(1,-1)=(\frac{1}{4}÷\frac{1}{4})÷[(-3)÷(-3)÷(-3)]+(\frac{1}{2}÷\frac{1}{2}÷\frac{1}{2}÷\frac{1}{2}) × (-1) = (\frac{1}{4}×4) ÷ [(-3)×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})] + (\frac{1}{2}×2×2×2) × (-1) = 1÷(-\frac{1}{3}) +4×(-1)= 1×(-3)+(-4)= -3-4=-7.$