9. 关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$的两根分别为$x_{1}=\dfrac{-b+\sqrt{b^{2}+4}}{2},x_{2}=\dfrac{-b-\sqrt{b^{2}+4}}{2},$下列判断一定正确的是（）

A.$a=-1$
B.$c=1$
C.$ac=-1$
D.$\dfrac{c}{a}=1$

9. C 解析:由求根公式可得$a=1,-4ac=4$,$\therefore ac=-1$,$\therefore c=-1$,$\therefore \dfrac{c}{a}=-1$.

【分析】要解决这道题，需利用一元二次方程的求根公式，将题目给出的两根表达式与标准求根公式对比，找到对应部分的关系，进而求出参数$a$、$ac$的值，再逐一判断选项。
【解析】一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的求根公式为$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。题目中给出的两根为$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 + 4}}{2}$、$x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 + 4}}{2}$，对比求根公式：
1. 分母部分：$2a = 2$，解得$a = 1$；
2. 根号内的判别式部分：$b^2 - 4ac = b^2 + 4$，两边消去$b^2$得$-4ac = 4$，化简得$ac = -1$。
逐一分析选项：
A选项：$a = -1$，与求得的$a=1$矛盾，错误；
B选项：由$a=1$、$ac=-1$得$c=-1$，并非$c=1$，错误；
C选项：$ac=-1$，与计算结果一致，正确；
D选项：$\frac{c}{a} = \frac{-1}{1} = -1 ≠ 1$，错误。
综上，答案选C。
【答案】C
【知识点】一元二次方程求根公式、一元二次方程判别式
【点评】本题考查一元二次方程求根公式的应用，核心是掌握求根公式的结构，通过对比对应项的关系求解参数，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6

10. 若$x^{2}+bx+c=0$的两根中较小的一个根是$m(m ≠ 0)$，则$b+\sqrt{b^{2}-4c}=$（）

A.$m$
B.$-m$
C.$2m$
D.$-2m$

10. D 解析:$\because x^{2}+bx+c=0$的两根中较小的一个根是$m(m≠0)$,$\therefore \dfrac{-b-\sqrt{b^2-4c}}{2}=m$,$\therefore -b-\sqrt{b^2-4c}=2m$,$\therefore b+\sqrt{b^2-4c}=-2m$.

【分析】
首先回忆一元二次方程的求根公式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根为$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。本题中方程为$x^2+bx+c=0$，即$a=1$，因此两根可表示为$\frac{-b+\sqrt{b^2-4c}}{2}$和$\frac{-b-\sqrt{b^2-4c}}{2}$。由于$\sqrt{b^2-4c}≥0$，所以较小的根是取减号的那个，结合题目中“较小根为$m$”的条件列出等式，再通过等式变形即可求出目标式子的值。
【解析】
对于一元二次方程$x^2+bx+c=0$，其中$a=1$，根据求根公式，两根为：
$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4c}}{2}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4c}}{2}$。
因为$\sqrt{b^2-4c}≥0$，所以$x_2＜x_1$，即较小的根为$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4c}}{2}$。
已知较小根为$m(m≠0)$，因此：
$\frac{-b-\sqrt{b^2-4c}}{2}=m$，
两边同乘2得：$-b-\sqrt{b^2-4c}=2m$，
移项整理得：$b+\sqrt{b^2-4c}=-2m$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程求根公式；代数式变形
【点评】
本题考查一元二次方程求根公式的基础应用，核心是明确较小根对应的求根公式形式，通过等式基本性质变形即可得到结果，属于易掌握的基础题型。
【难度系数】
0.6

11. 已知方程$2x^{2}+4x+c=0$，且$b^{2}-4ac=0$，则方程的根为。

11. $x_1=x_2=-1$ 解析:$\because b^{2}-4ac=4^{2}-4×2c=16-8c=0$,$\therefore c=2$,则方程为$2x^{2}+4x+2=0$,即$x^{2}+2x+1=0$,$\therefore$方程的根为$x_1=x_2=-1$.

【分析】首先明确一元二次方程根的判别式公式为$\Delta = b^2 - 4ac$，题目中已知$\Delta = 0$，先代入方程中$a$、$b$的值求出参数$c$；再将$c$代入原方程，通过化简或因式分解等方法求解一元二次方程，得到两个相等的实数根。
【解析】对于方程$2x^2 + 4x + c = 0$，其中$a=2$，$b=4$，由根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，代入得：
$4^2 - 4×2×c = 0$，
计算得$16 - 8c = 0$，解得$c=2$。
将$c=2$代入原方程，得$2x^2 + 4x + 2 = 0$，
两边同除以2化简为$x^2 + 2x + 1 = 0$，
因式分解得$(x+1)^2 = 0$，因此方程的根为$x_1 = x_2 = -1$。
【答案】$x_1=x_2=-1$
【知识点】一元二次方程根的判别式，解一元二次方程
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式的应用及一元二次方程的求解，属于基础题型，关键是牢记判别式公式并准确计算。
【难度系数】0.7

12. 李伟同学在解关于$x$的一元二次方程$x^{2}-3x+m=0$时,误将$-3x$看作$+3x$,结果解得$x_{1}=1$,$x_{2}=-4$,则原方程的解为.

12. $x_1=4,x_2=-1$ 解析:由题意,得$x^{2}+3x+m=0$的解为$x_1=1,x_2=-4$,可得$m=-4$,$\therefore$原方程为$x^{2}-3x-4=0$,解得$x_1=4,x_2=-1$.

【分析】首先，李伟误将原方程中的-3x看成+3x，得到错误方程$x^2 + 3x + m = 0$，且该方程的解为$x_1=1$、$x_2=-4$。解题思路是：先利用错误方程的解求出参数$m$的值，再将$m$代入原方程，最后解原方程得到正确解。
【解析】1. 求参数$m$：因为错误方程$x^2 + 3x + m = 0$的解为$x_1=1$、$x_2=-4$，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积等于常数项，即$1×(-4)=m$，得$m=-4$。2. 写出原方程：将$m=-4$代入原方程，得$x^2 - 3x - 4 = 0$。3. 解原方程：对$x^2 - 3x - 4$因式分解得$(x - 4)(x + 1)=0$，则$x - 4=0$或$x + 1=0$，解得$x_1=4$，$x_2=-1$。
【答案】$x_1=4$，$x_2=-1$
【知识点】一元二次方程的解，韦达定理，一元二次方程的解法
【点评】本题通过“看错系数求参数”的形式，考查一元二次方程的解的应用，核心是利用错误方程的解确定未知参数，再求解原方程，属于基础题型，需掌握韦达定理或代入法求参数，以及因式分解法解一元二次方程。
【难度系数】0.6

13. 若最简二次根式$2\sqrt{m^{2}-7}$与$4\sqrt{8m+2}$是同类二次根式，则$m=$。

13. 9 解析:由题意,得$m^2-7=8m+2$,整理,得$m^2-8m-9=0$,解得$m_1=-1,m_2=9$.当$m=-1$时,$m^2-7=8m+2=-6$,二次根式无意义;当$m=9$时,$m^2-7=8m+2=74$,符合题意,$\therefore m=9$.

【分析】
要解决这个问题，需先明确同类二次根式的定义：几个最简二次根式的被开方数相同，则它们是同类二次根式。题目中两个二次根式已为最简形式，因此可通过被开方数相等列方程求解；同时，二次根式的被开方数必须是非负数，所以解出的m值需代入检验，排除使被开方数为负的无效解，最终得到正确结果。
【解析】
根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式的被开方数相等，可得方程：
$m^2 - 7 = 8m + 2$
整理为一元二次方程的标准形式：
$m^2 - 8m - 9 = 0$
因式分解得：
$(m - 9)(m + 1) = 0$
解得：$m_1 = 9$，$m_2 = -1$
检验二次根式有意义的条件：
当$m = -1$时，被开方数$m^2 -7 = (-1)^2 -7 = -6 ＜ 0$，二次根式无意义，舍去；
当$m = 9$时，被开方数$m^2 -7 = 9^2 -7 =74 ≥0$，$8m +2 =8×9 +2=74 ≥0$，符合题意，故$m =9$。
【答案】
9
【知识点】
同类二次根式；二次根式有意义的条件
【点评】
本题考查同类二次根式的概念及二次根式有意义的条件，解题核心是利用同类二次根式的性质列方程，需特别注意检验解是否满足二次根式有意义的条件，避免出现增根，属于基础题型，需细心作答。
【难度系数】
0.6

14.【新情境】小明设计了一个魔术盒，当任意实数对$(a,b)$进入其中，会得到一个新的实数$a^{2}-$$2b+3$.若将实数对$(x,-3x)$放入其中，得到一个新数为5，则$x=$.

14. $-3\pm\sqrt{11}$ 解析:根据题意,得$x^{2}+6x+3=5$,即$x^{2}+6x-2=0$,$\therefore a=1$,$b=6,c=-2$,$\therefore b^{2}-4ac=6^{2}-4×1×(-2)=44＞0$,$\therefore x=\dfrac{-6\pm2\sqrt{11}}{2}=-3\pm\sqrt{11}$.

【分析】首先明确魔术盒的运算规则：将实数对$(a,b)$代入后，得到的数为$a^2 -2b +3$；接着把给定的实数对$(x,-3x)$代入该规则，结合得到的新数为5，列出关于$x$的一元二次方程；最后整理方程为标准形式，用公式法求解方程即可得到$x$的值。
【解析】根据题意，将实数对$(x,-3x)$代入魔术盒的运算式，得：
$x^2 - 2×(-3x) + 3 = 5$
整理方程：
$x^2 + 6x + 3 = 5$
移项得标准一元二次方程：
$x^2 + 6x - 2 = 0$
其中$a=1$，$b=6$，$c=-2$，计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = 6^2 - 4×1×(-2) = 36 + 8 = 44 ＞ 0$
代入求根公式$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x = \frac{-6\pm\sqrt{44}}{2×1} = \frac{-6\pm2\sqrt{11}}{2} = -3\pm\sqrt{11}$
【答案】$-3\pm\sqrt{11}$
【知识点】一元二次方程的应用，公式法解一元二次方程
【点评】本题属于新情境应用题，核心是将魔术盒的运算规则转化为一元二次方程，考查学生的数学建模能力和一元二次方程的解法，难度适中。
【难度系数】0.6

15. 解下列方程：
(1) $-3x^{2}-2x+1=0$；
(2) $2x^{2}-2\sqrt{2}x-5=0$；
(3) $(x-5)(x-1)=3$；
(4) $(3x-1)(x+2)=11x-4.$

15. (1)$x_1=\dfrac{1}{3},x_2=-1$.
(2)$x_1=\dfrac{\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{2},x_2=\dfrac{\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{2}$.
(3)$x_1=3+\sqrt{7},x_2=3-\sqrt{7}$.
(4)$x_1=1+\dfrac{\sqrt{3}}{3},x_2=1-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

【分析】
解一元二次方程时，需先将每个方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，再利用求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$求解，步骤为：确定$a、b、c$的值，计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，代入公式计算方程的根。
【解析】
(1) 将方程$-3x^2-2x+1=0$整理为一般形式：$3x^2+2x-1=0$，其中$a=3$，$b=2$，$c=-1$。
判别式$\Delta=2^2 -4×3×(-1)=4+12=16$，
代入求根公式：$x=\frac{-2±\sqrt{16}}{2×3}=\frac{-2±4}{6}$，
解得$x_1=\frac{1}{3}$，$x_2=-1$。
(2) 方程$2x^2-2\sqrt{2}x-5=0$中，$a=2$，$b=-2\sqrt{2}$，$c=-5$。
判别式$\Delta=(-2\sqrt{2})^2 -4×2×(-5)=8+40=48$，
代入求根公式：$x=\frac{2\sqrt{2}±\sqrt{48}}{2×2}=\frac{2\sqrt{2}±4\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{2}±2\sqrt{3}}{2}$，
解得$x_1=\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{2}$，$x_2=\frac{\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{2}$。
(3) 先展开左边：$(x-5)(x-1)=x^2-6x+5$，原方程化为$x^2-6x+5=3$，整理为一般形式：$x^2-6x+2=0$，其中$a=1$，$b=-6$，$c=2$。
判别式$\Delta=(-6)^2 -4×1×2=36-8=28$，
代入求根公式：$x=\frac{6±\sqrt{28}}{2×1}=\frac{6±2\sqrt{7}}{2}=3±\sqrt{7}$，
解得$x_1=3+\sqrt{7}$，$x_2=3-\sqrt{7}$。
(4) 先展开左边：$(3x-1)(x+2)=3x^2+5x-2$，原方程化为$3x^2+5x-2=11x-4$，移项合并同类项得一般形式：$3x^2-6x+2=0$，其中$a=3$，$b=-6$，$c=2$。
判别式$\Delta=(-6)^2 -4×3×2=36-24=12$，
代入求根公式：$x=\frac{6±\sqrt{12}}{2×3}=\frac{6±2\sqrt{3}}{6}=1±\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得$x_1=1+\frac{\sqrt{3}}{3}$，$x_2=1-\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
15. (1)$x_1=\dfrac{1}{3},x_2=-1$；(2)$x_1=\dfrac{\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{2},x_2=\dfrac{\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{2}$；(3)$x_1=3+\sqrt{7},x_2=3-\sqrt{7}$；(4)$x_1=1+\dfrac{\sqrt{3}}{3},x_2=1-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
一元二次方程的解法、公式法、一元二次方程的一般形式
【点评】
本题考查一元二次方程的求解，核心是将方程整理为标准形式后运用求根公式，计算时需注意判别式的计算和符号，属于基础的一元二次方程运算题目，需熟练掌握求根公式的应用。
【难度系数】
0.6

16. 解方程$x^{2}-|x-1|-3=0$时,我们可以按如下思路解答.
解:当$x-1 ≥ 0$,即$x ≥ 1$时,$x^{2}-(x-1)-3=0$,解得$x_{1}=2$,$x_{2}=-1$(舍去);
当$x-1＜0$,即$x＜1$时,$x^{2}-(1-x)-3=0$,解得$x_{1}=\dfrac{-1+\sqrt{17}}{2}$(舍去),$x_{2}=\dfrac{-1-\sqrt{17}}{2}$.
综上所述,$x^{2}-|x-1|-3=0$的解为$x_{1}=2$,$x_{2}=\dfrac{-1-\sqrt{17}}{2}$.
模仿上述方法解方程:$x^{2}-|x-2|-4=0$.

16. 当$x-2≥0$,即$x≥2$时,$x^{2}-(x-2)-4=0$,解得$x_1=2$,$x_2=-1$(舍去);当$x-2＜0$,即$x＜2$时,$x^{2}-(2-x)-4=0$,解得$x_1=2$(舍去),$x_2=-3$.
综上所述,$x^{2}-|x-2|-4=0$的解为$x_1=2$,$x_2=-3$.

【分析】解含绝对值的方程时，需根据绝对值内表达式的正负性分情况讨论，去掉绝对值符号后转化为普通一元二次方程求解，最后检验解是否满足对应情况的范围，舍去不符合的解。本题中绝对值内为$x-2$，故分$x≥2$和$x＜2$两种情况。
【解析】分两种情况讨论：
1. 当$x-2≥0$，即$x≥2$时，原方程化为：
$x^2 - (x - 2) - 4 = 0$，整理得$x^2 - x - 2 = 0$，
因式分解得$(x - 2)(x + 1) = 0$，解得$x_1=2$，$x_2=-1$。
因为$x≥2$，所以$x=-1$不符合，舍去，保留$x=2$。
2. 当$x-2＜0$，即$x＜2$时，原方程化为：
$x^2 - (2 - x) - 4 = 0$，整理得$x^2 + x - 6 = 0$，
因式分解得$(x + 3)(x - 2) = 0$，解得$x_1=2$，$x_2=-3$。
因为$x＜2$，所以$x=2$不符合，舍去，保留$x=-3$。
综上所述，原方程的解为$x=2$和$x=-3$。
【答案】$x_1=2$，$x_2=-3$
【知识点】含绝对值的一元二次方程求解；一元二次方程的解法
【点评】本题通过分类讨论去掉绝对值符号，将复杂的含绝对值方程转化为常规一元二次方程，关键在于根据取值范围检验解的合理性，是处理绝对值方程的典型方法，难度适中。
【难度系数】0.5