1[2026江苏无锡期中]如图,小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河,但由于水流的影响,实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米,结果轮船在水中实际航行的路程AC比河的宽度AB多2米,则河的宽度AB是 ()

A.8米
B.12米
C.16米
D.24米

(第1题图)
(第2题图)

根据题意可知 BC=10 米,设 AB=x 米,则 AC=(x+2) 米. Rt△ABC 中,由勾股定理得 $AC^2=AB^2+BC^2$,即 $(x+2)^2=x^2+10^2$,解得 x=24.
∴ 河的宽度 AB 为 24 米. 故选 D.

2 [2025江苏南京期中]如图,一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向行驶,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向行驶,离开港口A $\frac{3}{4}$小时后,两船相距（）

A.15海里
B.20海里
C.35海里
D.40海里

如图,点 B,C 为两船离开港口 A $\frac{3}{4}$小时后的位置.
∵ 两船行驶的方向是东北方向和东南方向,
∴ $∠ BAC=90°$. $\frac{3}{4}$小时后,两船分别行驶了 $16×\frac{3}{4}=12$(海里),$12×\frac{3}{4}=9$(海里),
∴ 根据勾股定理得 $BC=\sqrt{12^2+9^2}=15$(海里),
∴ 两船相距 15 海里. 故选 A.

3[2025江苏宿迁质检]一棵大树在一次强台风中折断倒下,大树折断前高度为18 m,倒下后树顶落在地面距树根部大约12 m处,则这棵大树离地面约 m处折断.

如图,由题意知 $AB+BC=18\ \mathrm{m}$,$AC=12\ \mathrm{m}$. 设 $AB=x\ \mathrm{m}$,则 $BC=(18-x)\ \mathrm{m}$.
∵ $∠ BAC=90°$,
∴ $AB^2+AC^2=CB^2$,
∴ $x^2+12^2=(18-x)^2$,解得 $x=5$,
∴ 这棵大树离地面约 5 m 处折断,故答案为 5.

4[2026安徽宿州质检]“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢.”某校八年级(1)班的小明和小芸在学习勾股定理后，来到操场上放风筝.已知小明站立时的最高点B、风筝正下方点D和风筝的最低点C构成三角形，如图所示.
(1)经测量，$BD=8\ \mathrm{m}$，$CD=15\ \mathrm{m}$，$BC=17\ \mathrm{m}$，小芸判断$△ BCD$是直角三角形，她的说法是否正确？请说明理由.
(2)若小明沿水平方向移动2 m到点F处，此时风筝垂直下降到点$C'$处，测得$FC'=10\ \mathrm{m}$，求风筝垂直下降的高度.

(1)正确. 理由: $\because BD=8\ \mathrm{m}$,$CD=15\ \mathrm{m}$,$BC=17\ \mathrm{m}$,$\therefore BD^2+CD^2=8^2+15^2=289=17^2=BC^2$,$\therefore △ BCD$ 是直角三角形,且 $∠ BDC=90°$.
(2) $\because BF=2\ \mathrm{m}$,$BD=8\ \mathrm{m}$,$\therefore DF=8-2=6(\mathrm{m})$. $\because FC'=10\ \mathrm{m}$,$∠ BDC=90°$,$\therefore C'D=\sqrt{10^2-6^2}=8(\mathrm{m})$. $\because CD=15\ \mathrm{m}$,$\therefore CC'=15-8=7(\mathrm{m})$,$\therefore$ 风筝垂直下降的高度为 7 m.

5[2026安徽宿州期中]如图,一圆柱形玻璃杯的高为7 cm,底面周长为16 cm(玻璃杯壁厚度不计),在玻璃杯内壁离杯底2.5 cm的点B处有一滴蜂蜜,一只蚂蚁正好在玻璃杯外壁,离玻璃杯上沿1.5 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁吃到蜂蜜的最短路程为 ()

A.10 cm
B.11 cm
C.$5\sqrt{2}$ cm
D.$4\sqrt{3}$ cm

(第5题图)
(第6题图)

如图,将玻璃杯的侧面展开一半,作点 A 关于直线 EF 的对称点 C,连接 BC,则 BC 的长即为蚂蚁从玻璃杯外壁 A 处到玻璃杯内壁 B 处的最短路程. 过点 C 作 $CD⊥ BE$ 交 BE 的延长线于点 D. 由题意知 $CD=16÷2=8(\mathrm{cm})$,$BD=1.5+(7-2.5)=6(\mathrm{cm})$. 在 $\mathrm{Rt}△ BCD$ 中,由勾股定理得 $BC=\sqrt{CD^2+BD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10(\mathrm{cm})$,所以蚂蚁吃到蜂蜜的最短路程为 10 cm. 故选 A.

6 如图,一个大长方体盒子中$AB=9,BC=3$,M为AB上靠近A的三等分点,在大长方体盒子上有一个小长方体盒子,$EC=6,CG=1,CF=4$.一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N,那么它爬行的最短路程为.

如图,将面 ABCD,CEIG,HIGN 展开在同一个平面内,连接 MN,则 MN 为最短路径. 由题意知 $BM=6$,$GN=4$,$∠ B=90°$,$\therefore BN=BC+CG+GN=8$. 由勾股定理得 $MN=\sqrt{BM^2+BN^2}=10$,故答案为 10.

7[2026江苏徐州期中]如图是一个三级台阶，它的每一级台阶的长、宽、高分别是4米、0.7米、0.3米，A,B是这个台阶上两个相对的顶点，点A处有一只蚂蚁，它想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶表面爬行到点B处的最短路程是米。

将三级台阶表面展开,如图所示. 由题意可知 $AC=(0.7+0.3)×3=3$(米),$BC=4$ 米. 根据两点之间线段最短,可知 AB 的长为最短路程. 根据勾股定理得 $AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$(米). 故答案为 5.