8. 如图，矩形 $OBCD$ 的顶点 $C$ 的坐标为 $(1, 3)$，则 $BD =$.

8.$\sqrt{10}$

9. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 3$，$AD = 4$，点 $P$ 是对角线 $BD$ 上一动点，过点 $P$ 分别作 $BC$，$CD$ 的垂线，垂足分别为 $E$，$F$，连接 $EF$，则 $EF$ 的最小值为.

9.$\frac{12}{5}$

10. 如图，矩形纸片 $ABCD$ 中，$AB = 6$，$AD = 10$，点 $E$ 为 $CD$ 的中点，将 $△ AED$ 沿 $AE$ 所在直线翻折，使点 $D$ 落在点 $F$ 处，延长 $AF$ 交 $BC$ 于点 $G$，求 $CG$ 的长.

10.解:如答图,连接EG,
∵E是CD的中点,
∴DE=CE,
由翻折的性质,得AF=AD=10,∠AFE=∠D=90°,FE=DE,
∴∠EFG=90°=∠C,FE=CE.
在Rt△CEG和Rt△FEG中,$\{\begin{array}{l} EG=EG,\\ CE=FE,\end{array} $
∴Rt△CEG≌Rt△FEG(HL),
∴CG=FG.
设CG=FG=y,则AG=AF+FG=10+y,
BG=BC-CG=10-y,
在Rt△ABG中,由勾股定理,得$6^{2}+(10-y)^{2}=(10+y)^{2}$,
解得$y=\frac{9}{10}$,即CG的长为$\frac{9}{10}$.

11. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$E$，$F$ 分别是边 $AB$，$CD$ 上的点，$AE = CF$，连接 $EF$，$BF$，$EF$ 与对角线 $AC$ 交于点 $O$，且 $BE = BF$，$∠ BEF = 2∠ BAC$.若 $BC = 1$，求 $AB$ 的长.

11.解:如答图,连接BO.

∵四边形ABCD是矩形,
∴DC//AB,∠DCB=90°,
∴∠FCO=∠EAO.
在△COF和△AOE中,$\{\begin{array}{l} ∠FCO=∠EAO,\\ ∠COF=∠AOE,\\ CF=AE,\end{array} $
∴△COF≌△AOE(AAS),
∴OE=OF,OA=OC.
∵BF=BE,
∴BO⊥EF,
∴∠BOE=90°,
∴∠BEF+∠ABO=90°.
在Rt△ABC中,OA=OC,
∴BO=AO=OC,
∴∠BAC=∠ABO,
又
∵∠BEF=2∠BAC,∠BEF+∠ABO=90°,
∴2∠BAC+∠BAC=90°,
∴∠BAC=30°,
∵BC=1,
∴AC=2BC=2,
∴AB=$\sqrt{AC^{2}-BC^{2}}=\sqrt{3}$.
∴AB的长为$\sqrt{3}$.

12. 把一张矩形 $ABCD$ 纸片按如图方式折叠，使点 $A$ 与点 $E$ 重合，点 $C$ 与点 $F$ 重合（$E$，$F$ 两点均在对角线 $BD$ 上），折痕分别为 $BH$，$DG$.
(1) 求证：$△ BHE ≌ △ DGF$；
(2) 若 $AB = 6\ \mathrm{cm}$，$BC = 8\ \mathrm{cm}$，求线段 $FG$ 的长.

12.(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,∠A=∠C=90°,AB//CD,
∴∠ABD=∠BDC.
∵△BEH是△BAH翻折而成的,
∴∠ABH=∠EBH,∠A=∠HEB=90°,AB=BE,
∴∠DBH=$\frac{1}{2}$∠ABD.
∵△DGF是△DGC翻折而成的,
∴∠FDG=∠CDG,∠C=∠DFG=90°,CD=DF,
∴∠BDG=$\frac{1}{2}$∠BDC,BE=DF,∠HEB=∠DFG=90°,
∴∠DBH=∠BDG,
∴△BEH≌△DFG(ASA).
(2)解:
∵四边形ABCD是矩形,AB=6 cm,BC=8 cm,
∴AB=CD=6 cm,AD=BC=8 cm.
∴BD=$\sqrt{BC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10$(cm).
由(1)知,FD=CD,CG=FG,
∴BF=10-6=4(cm).
设FG=x cm,则BG=(8-x)cm,
在Rt△BGF中,$BG^{2}=BF^{2}+FG^{2}$,即$(8-x)^{2}=4^{2}+x^{2}$,
解得x=3,即FG=3 cm.