1 [2024湖北武汉质检，中]如图，在多边形$ABCDEF$中，$∠ A+∠ C=180^{\circ}$，$∠ B+∠ EFA=210^{\circ}$，$EF// CD$，则$∠ B$的度数为()

A.$150^{\circ}$
B.$105^{\circ}$
C.$110^{\circ}$
D.$120^{\circ}$

1. B 【解析】如图，连接AE.根据题意，得$∠ FAE+∠ FAB+∠ B+∠ C+∠ D+∠ FED+∠ FEA=(5 - 2)×180^{\circ}=540^{\circ}$。
∵$EF// CD$，
∴$∠ D+∠ FED=180^{\circ}$。又
∵$∠ BAF+∠ C=180^{\circ}$，
∴$∠ FAE+∠ FEA+∠ B=540^{\circ}-360^{\circ}=180^{\circ}$，
∴$180^{\circ}-∠ EFA+∠ B=180^{\circ}$，
∴$∠ B=∠ EFA$。
∵$∠ B+∠ EFA=210^{\circ}$，
∴$∠ B=105^{\circ}$。故选B。

2 [2025江苏苏州期末，中]如图，将五边形纸片$ABCDE$分别沿$AF$，$DF$，$AD$折叠后，顶点$B$，$C$，$E$恰好都落在五边形$ABCDE$内的点$P$处，且$∠ CDE$是锐角，则下列判断中正确的是()

A.$∠ AFD=90^{\circ}$且$∠ FAD＞∠ ADF$
B.$∠ AFD=90^{\circ}$且$∠ FAD＜∠ ADF$
C.$∠ AFD≠ 90^{\circ}$且$∠ FAD＞∠ ADF$
D.$∠ AFD≠ 90^{\circ}$且$∠ FAD＜∠ ADF$

2. A 【解析】由折叠的性质得，$∠ AFB=∠ AFP$，$∠ CFD=∠ PFD$，
∴$∠ AFD=∠ AFP+∠ DFP=\frac{1}{2}∠ BFC=90^{\circ}$。由折叠的性质得，$∠ APF=∠ B$，$∠ APD=∠ E$，$∠ DPF=∠ C$，$∠ BAF=∠ PAF$，$∠ EAD=∠ PAD$，$∠ CDF=∠ PDF$，$∠ EDA=∠ PDA$，
∴$∠ FAD=\frac{1}{2}∠ BAE$，$∠ ADF=\frac{1}{2}∠ CDE$。
∵$∠ APF+∠ DPF+∠ APD=360^{\circ}$，
∴$∠ BAE+∠ CDE=(5 - 2)×180^{\circ}-(∠ B+∠ C+∠ E)=540^{\circ}-(∠ APF+∠ APD+∠ FPD)=540^{\circ}-360^{\circ}=180^{\circ}$。
∵$∠ CDE$是锐角，
∴$∠ CDE＜90^{\circ}$，
∴$∠ BAE＞90^{\circ}$。
∵$∠ FAD=\frac{1}{2}∠ BAE＞45^{\circ}$，$∠ ADF=\frac{1}{2}∠ CDE＜45^{\circ}$，
∴$∠ FAD＞∠ ADF$，故选A。

3 新考法[2024江苏苏州相城区调研，中]正五边形$GHCDL$按如图所示的方式叠放在正六边形$ABCDEF$上，$CD$边互相重合，延长$LG$交$AF$于点$P$，则$∠ APG$的度数为()

A.$141^{\circ}$
B.$144^{\circ}$
C.$147^{\circ}$
D.$150^{\circ}$

3. B 【解析】如图，延长GH交BC于M.
∵正五边形的内角和为$540^{\circ}$，正六边形的内角和为$720^{\circ}$，多边形的外角和为$360^{\circ}$，
∴正六边形的一个内角和外角分别为$120^{\circ}$，$60^{\circ}$；正五边形的一个内角和外角分别为$108^{\circ}$，$72^{\circ}$，
∴$∠ A=∠ B=∠ BCD=120^{\circ}$，$∠ PGM=72^{\circ}$，$∠ MGL=∠ L=∠ CDL=108^{\circ}$。在五边形CDLGM中，$∠ GMC=540^{\circ}-∠ BCD-∠ CDL-∠ L-∠ MGL=96^{\circ}$，
∴$∠ BMG=180^{\circ}-∠ GMC=84^{\circ}$。在五边形ABMGP中，$∠ APG=540^{\circ}-∠ A-∠ B-∠ BMG-∠ PGM=144^{\circ}$。故选B。

4 [中]如图，小明从点$A$出发，前进$10\mathrm{m}$后向右转$20^{\circ}$，再前进$10\mathrm{m}$后又向右转$20^{\circ}$，这样一直下去，直到他第一次回到出发点$A$为止，他所走的路径构成了一个多边形，那么小明一共走了米.

4. 180 【解析】因为所走的路径正好构成一个外角是$20^{\circ}$的正多边形，所以$360^{\circ}÷20^{\circ}=18$。因为$18×10=180$（米），所以小明一共走了180米。故答案为180。

5 [中]将等边三角形、正方形、各角均相等的五边形按如图所示的位置摆放，如果$∠ 1=41^{\circ}$，$∠ 2=51^{\circ}$，那么$∠ 3$的度数为.

5. $10^{\circ}$ 【解析】等边三角形的内角的度数是$60^{\circ}$，正方形的内角的度数是$90^{\circ}$，五边形的内角的度数是$\frac{1}{5}×(5 - 2)×180^{\circ}=108^{\circ}$。因为三角形的外角和为$360^{\circ}$，所以$∠3=360^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}-108^{\circ}-∠1-∠2=10^{\circ}$。故答案为$10^{\circ}$。

6 核心素养几何直观[2025江苏扬州调研，较难]
（1）如图(1)，在凹四边形$ABOC$中，请直接写出$∠ BOC$与$∠ B$，$∠ C$，$∠ A$之间的数量关系.
（2）根据图(2)中的条件，利用(1)中你得出的结论计算$∠ A+∠ ABC+∠ D+∠ DEF$的度数.
（3）如图(3)，在$△ ABC$中，$∠ A=β$，$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线$BD$，$CE$交于点$O$，过$B$作$EC$的平行线$BG$交$AC$的延长线于点$G$，试用含$β$的代数式表示$∠ OBG$的度数.

6. 【解】（1）$∠ BOC=∠ A+∠ B+∠ C$。理由如下：如图（1），延长BO交AC于点D.
∵$∠ BDC$是$△ ABD$的一个外角，
∴$∠ BDC=∠ A+∠ B$。
∵$∠ BOC$是$△ COD$的一个外角，
∴$∠ BOC=∠ BDC+∠ C$，
∴$∠ BOC=∠ A+∠ B+∠ C$，即$∠ BOC$与$∠ B$，$∠ C$，$∠ A$之间的数量关系为$∠ BOC=∠ A+∠ B+∠ C$。
（2）如图（2），连接BE.由（1）中得出的结论可知，$∠ A+∠ ABE+∠ BEF=∠ AFE=132^{\circ}$，$∠ CBE+∠ D+∠ BED=∠ BCD=92^{\circ}$，
∴$∠ A+∠ ABE+∠ BEF+∠ CBE+∠ D+∠ BED=132^{\circ}+92^{\circ}=224^{\circ}$，即$∠ A+∠ ABC+∠ D+∠ DEF=224^{\circ}$。
（3）在$△ ABC$中，$∠ ABC+∠ ACB=180^{\circ}-∠ A=180^{\circ}-β$。
∵$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线BD，CE交于点O，
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$，
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=90^{\circ}-\frac{β}{2}$。
∵$BG// EC$，
∴$∠ CBG=∠ OCB$，
∴$∠ OBG=∠ OBC+∠ CBG=∠ OBC+∠ OCB=90^{\circ}-\frac{β}{2}$，即$∠ OBG$的度数为$90^{\circ}-\frac{β}{2}$。