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3. 玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品. 如图，现有一块直径为10 cm的圆形玉料，要用其刻出一个圆周角为 $90°$ 的扇形玉佩，则图中阴影部分的面积为（
A.$5π \ \mathrm{cm}^2$
B.$\frac{15π}{2}\ \mathrm{cm}^2$
C.$\frac{25π}{2}\ \mathrm{cm}^2$
D.$15π \ \mathrm{cm}^2$
C
）A.$5π \ \mathrm{cm}^2$
B.$\frac{15π}{2}\ \mathrm{cm}^2$
C.$\frac{25π}{2}\ \mathrm{cm}^2$
D.$15π \ \mathrm{cm}^2$
答案
3. C
解析
【分析】
要求阴影部分面积，可采用“整体减部分”的思路求解：第一步先计算整个圆形玉料的面积；第二步根据90°圆周角的性质确定扇形所对的弦长，再用勾股定理求出扇形的半径平方，进而计算扇形BAC的面积；第三步用圆的面积减去扇形面积即可得到阴影部分面积。
【解析】
解：已知圆形玉料的直径为10cm，因此其半径$r=10÷2=5\ \mathrm{cm}$，
圆形玉料的面积为：$S_{\mathrm{圆}}=π r^2=π×5^2=25π\ \mathrm{cm}^2$。
∵ $∠ BAC=90°$，且点A、B、C都在圆O上，根据圆周角定理，$90°$的圆周角所对的弦是直径，
∴ BC是圆O的直径，即$BC=10\ \mathrm{cm}$。
∵ 扇形BAC的两条半径AB=AC，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$AB^2+AC^2=BC^2$，即$2AB^2=10^2$，解得$AB^2=50$。
扇形BAC的圆心角为$90°$，因此扇形面积为：
$S_{\mathrm{扇}}=\frac{nπ R^2}{360}=\frac{90π× AB^2}{360}=\frac{90π×50}{360}=\frac{25π}{2}\ \mathrm{cm}^2$。
则阴影部分面积为：$S_{\mathrm{阴}}=S_{\mathrm{圆}}-S_{\mathrm{扇}}=25π-\frac{25π}{2}=\frac{25π}{2}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，扇形面积计算，勾股定理
【点评】
本题是典型的不规则图形面积计算问题，核心是将阴影面积转化为规则图形面积的差，解题的关键是利用圆周角定理和勾股定理求出扇形的半径平方，掌握常见的面积转化方法就能快速求解。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分面积，可采用“整体减部分”的思路求解：第一步先计算整个圆形玉料的面积；第二步根据90°圆周角的性质确定扇形所对的弦长，再用勾股定理求出扇形的半径平方，进而计算扇形BAC的面积；第三步用圆的面积减去扇形面积即可得到阴影部分面积。
【解析】
解：已知圆形玉料的直径为10cm，因此其半径$r=10÷2=5\ \mathrm{cm}$，
圆形玉料的面积为：$S_{\mathrm{圆}}=π r^2=π×5^2=25π\ \mathrm{cm}^2$。
∵ $∠ BAC=90°$，且点A、B、C都在圆O上，根据圆周角定理，$90°$的圆周角所对的弦是直径，
∴ BC是圆O的直径，即$BC=10\ \mathrm{cm}$。
∵ 扇形BAC的两条半径AB=AC，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$AB^2+AC^2=BC^2$，即$2AB^2=10^2$，解得$AB^2=50$。
扇形BAC的圆心角为$90°$，因此扇形面积为：
$S_{\mathrm{扇}}=\frac{nπ R^2}{360}=\frac{90π× AB^2}{360}=\frac{90π×50}{360}=\frac{25π}{2}\ \mathrm{cm}^2$。
则阴影部分面积为：$S_{\mathrm{阴}}=S_{\mathrm{圆}}-S_{\mathrm{扇}}=25π-\frac{25π}{2}=\frac{25π}{2}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，扇形面积计算，勾股定理
【点评】
本题是典型的不规则图形面积计算问题，核心是将阴影面积转化为规则图形面积的差，解题的关键是利用圆周角定理和勾股定理求出扇形的半径平方，掌握常见的面积转化方法就能快速求解。
【难度系数】
0.7
4. 如图，草地上一根长5 m的绳子，一端拴在墙角O处的木桩上，另一端拴着一只小羊. 小羊在草地上的最大活动区域的面积是（
A.$\frac{13}{2}π \ \mathrm{m}^2$
B.$\frac{27}{4}π \ \mathrm{m}^2$
C.$\frac{\sqrt{13}}{2}π \ \mathrm{m}^2$
D.$\frac{\sqrt{27}}{4}π \ \mathrm{m}^2$
B
）A.$\frac{13}{2}π \ \mathrm{m}^2$
B.$\frac{27}{4}π \ \mathrm{m}^2$
C.$\frac{\sqrt{13}}{2}π \ \mathrm{m}^2$
D.$\frac{\sqrt{27}}{4}π \ \mathrm{m}^2$
答案
4. B
解析
【分析】
要计算小羊的最大活动区域面积，首先需要明确活动区域的组成：
1. 小羊被拴在O点，绳子长5m，两面垂直的墙会挡住大部分区域，首先能得到1个以O为圆心、5m为半径、圆心角为90°的大扇形区域，这是活动的主要区域；
2. 当绳子分别沿着两面墙拉伸到墙的端点（距离O点4m）时，剩余绳子长度为5-4=1m，此时小羊可以在墙的外侧各活动1个圆心角为90°、半径为1m的小扇形区域，共2个小扇形。
分别计算这三部分的面积求和即可得到结果。
【解析】
1. 计算大扇形的面积：
大扇形半径$ r_1=5\mathrm{m} $，圆心角为$ 90° $，
扇形面积公式为$ S=\frac{n}{360°}π r^2 $（$ n $为圆心角度数），
则$ S_1=\frac{90°}{360°}×π×5^2=\frac{1}{4}×25π=\frac{25}{4}π \ \mathrm{m}^2 $。
2. 计算两个小扇形的总面积：
剩余绳长$ r_2=5-4=1\mathrm{m} $，每个小扇形圆心角为$ 90° $，
则2个小扇形总面积$ S_2=2×\frac{90°}{360°}×π×1^2=2×\frac{1}{4}π=\frac{1}{2}π=\frac{2}{4}π \ \mathrm{m}^2 $。
3. 总面积求和：
$ S=S_1+S_2=\frac{25}{4}π+\frac{2}{4}π=\frac{27}{4}π \ \mathrm{m}^2 $。
【答案】
B
【知识点】
扇形面积计算，组合图形面积计算
【点评】
本题的解题核心是准确梳理小羊活动区域的构成，区分每个扇形对应的圆心角和半径，避免遗漏小扇形或错算圆心角度数，属于对几何组合图形分析能力的常规考查。
【难度系数】
0.6
要计算小羊的最大活动区域面积，首先需要明确活动区域的组成：
1. 小羊被拴在O点，绳子长5m，两面垂直的墙会挡住大部分区域，首先能得到1个以O为圆心、5m为半径、圆心角为90°的大扇形区域，这是活动的主要区域；
2. 当绳子分别沿着两面墙拉伸到墙的端点（距离O点4m）时，剩余绳子长度为5-4=1m，此时小羊可以在墙的外侧各活动1个圆心角为90°、半径为1m的小扇形区域，共2个小扇形。
分别计算这三部分的面积求和即可得到结果。
【解析】
1. 计算大扇形的面积：
大扇形半径$ r_1=5\mathrm{m} $，圆心角为$ 90° $，
扇形面积公式为$ S=\frac{n}{360°}π r^2 $（$ n $为圆心角度数），
则$ S_1=\frac{90°}{360°}×π×5^2=\frac{1}{4}×25π=\frac{25}{4}π \ \mathrm{m}^2 $。
2. 计算两个小扇形的总面积：
剩余绳长$ r_2=5-4=1\mathrm{m} $，每个小扇形圆心角为$ 90° $，
则2个小扇形总面积$ S_2=2×\frac{90°}{360°}×π×1^2=2×\frac{1}{4}π=\frac{1}{2}π=\frac{2}{4}π \ \mathrm{m}^2 $。
3. 总面积求和：
$ S=S_1+S_2=\frac{25}{4}π+\frac{2}{4}π=\frac{27}{4}π \ \mathrm{m}^2 $。
【答案】
B
【知识点】
扇形面积计算，组合图形面积计算
【点评】
本题的解题核心是准确梳理小羊活动区域的构成，区分每个扇形对应的圆心角和半径，避免遗漏小扇形或错算圆心角度数，属于对几何组合图形分析能力的常规考查。
【难度系数】
0.6
5. 如图，阴影部分是两个半径为1的扇形.若$α=120°$，$β=60°$，则大扇形与小扇形的面积之差为（
A.$\dfrac{π}{3}$
B.$\dfrac{π}{6}$
C.$\dfrac{5π}{3}$
D.$\dfrac{5π}{6}$
B
）A.$\dfrac{π}{3}$
B.$\dfrac{π}{6}$
C.$\dfrac{5π}{3}$
D.$\dfrac{5π}{6}$
答案
5. B
解析
【分析】
要计算两个阴影扇形的面积之差，首先明确两个扇形半径均为1，阴影扇形的圆心角等于周角360°减去各自空白部分的圆心角。我们可以先分别求出两个阴影扇形的圆心角，再利用扇形面积公式计算出两者的面积，最后作差得到结果；也可以利用半径相同的扇形面积差等于圆心角度数差对应的扇形面积，简化计算。
【解析】
已知两个扇形半径$r=1$，扇形面积公式为$S=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为扇形圆心角度数）。
1. 计算两个阴影扇形的圆心角：
大阴影扇形的空白圆心角$β=60°$，因此它的圆心角$n_1=360°-β=360°-60°=300°$；
小阴影扇形的空白圆心角$α=120°$，因此它的圆心角$n_2=360°-α=360°-120°=240°$。
2. 分别计算两个阴影扇形的面积：
$S_大=\frac{n_1π r^2}{360}=\frac{300π×1^2}{360}=\frac{5π}{6}$
$S_小=\frac{n_2π r^2}{360}=\frac{240π×1^2}{360}=\frac{2π}{3}$
3. 计算面积差：
$S_大 - S_小=\frac{5π}{6}-\frac{2π}{3}=\frac{5π}{6}-\frac{4π}{6}=\frac{π}{6}$
【答案】
B
【知识点】
扇形面积计算，周角的概念
【点评】
本题属于基础题，解题核心是准确求出阴影扇形的圆心角度数，再结合扇形面积公式计算即可，计算过程难度较低，主要考查对基础公式的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
要计算两个阴影扇形的面积之差，首先明确两个扇形半径均为1，阴影扇形的圆心角等于周角360°减去各自空白部分的圆心角。我们可以先分别求出两个阴影扇形的圆心角，再利用扇形面积公式计算出两者的面积，最后作差得到结果；也可以利用半径相同的扇形面积差等于圆心角度数差对应的扇形面积，简化计算。
【解析】
已知两个扇形半径$r=1$，扇形面积公式为$S=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为扇形圆心角度数）。
1. 计算两个阴影扇形的圆心角：
大阴影扇形的空白圆心角$β=60°$，因此它的圆心角$n_1=360°-β=360°-60°=300°$；
小阴影扇形的空白圆心角$α=120°$，因此它的圆心角$n_2=360°-α=360°-120°=240°$。
2. 分别计算两个阴影扇形的面积：
$S_大=\frac{n_1π r^2}{360}=\frac{300π×1^2}{360}=\frac{5π}{6}$
$S_小=\frac{n_2π r^2}{360}=\frac{240π×1^2}{360}=\frac{2π}{3}$
3. 计算面积差：
$S_大 - S_小=\frac{5π}{6}-\frac{2π}{3}=\frac{5π}{6}-\frac{4π}{6}=\frac{π}{6}$
【答案】
B
【知识点】
扇形面积计算，周角的概念
【点评】
本题属于基础题，解题核心是准确求出阴影扇形的圆心角度数，再结合扇形面积公式计算即可，计算过程难度较低，主要考查对基础公式的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
6. 扇形的面积是它所在圆的面积的$\frac{2}{3}$，这个扇形的圆心角的大小是
$240°$
。答案
6. $240°$
解析
【分析】
解题时首先明确同圆中扇形与所在圆的关系：扇形是圆的一部分，由于半径相等，扇形面积占圆面积的比例，恰好等于扇形对应的圆心角占周角（360°）的比例。已知扇形面积占圆面积的$\frac{2}{3}$，只需用周角度数乘以这个占比，即可求出扇形圆心角的度数。
【解析】
解：在同一个圆中，扇形面积与所在圆面积的比等于扇形圆心角与周角（$360°$）的比。
则该扇形的圆心角为：
$360° × \frac{2}{3} = 240°$
【答案】
$240°$
【知识点】
扇形面积与圆心角的关系、周角的度数
【点评】
本题为基础类题目，核心考查同圆内扇形面积占比和圆心角占比的对应关系，熟练掌握该规律就能快速求解，计算难度较低。
【难度系数】
0.85
解题时首先明确同圆中扇形与所在圆的关系：扇形是圆的一部分，由于半径相等，扇形面积占圆面积的比例，恰好等于扇形对应的圆心角占周角（360°）的比例。已知扇形面积占圆面积的$\frac{2}{3}$，只需用周角度数乘以这个占比，即可求出扇形圆心角的度数。
【解析】
解：在同一个圆中，扇形面积与所在圆面积的比等于扇形圆心角与周角（$360°$）的比。
则该扇形的圆心角为：
$360° × \frac{2}{3} = 240°$
【答案】
$240°$
【知识点】
扇形面积与圆心角的关系、周角的度数
【点评】
本题为基础类题目，核心考查同圆内扇形面积占比和圆心角占比的对应关系，熟练掌握该规律就能快速求解，计算难度较低。
【难度系数】
0.85
7. 如图，在$△ ABC$中，D是边BC的中点，分别以点B，C为圆心，BD长为半径作圆弧，分别交AB，AC于点E，F。若$∠ A = 60°$，$BC = 6$，则图中阴影部分图形的面积和为
$3π$
（结果保留π）。答案
7. $3π$
解析
【分析】
解题时首先观察阴影部分的构成：阴影是两个分别以B、C为圆心的扇形，要求面积和，可先确定两个扇形的半径和圆心角之和。首先由D是BC中点可得两个扇形的半径相等，均为BC长度的一半；再根据三角形内角和为180°，结合已知∠A的度数，可求出∠B与∠C的和，也就是两个扇形的圆心角之和。最后将两个扇形的面积转化为圆心角等于两角之和、半径为3的扇形面积计算即可。
【解析】
解：
∵在△ABC中，∠A=60°，
∴∠B + ∠C = 180° - ∠A = 180° - 60° = 120°，
∵D是BC的中点，BC=6，
∴BD = CD = $\frac{1}{2}$BC = 3，即两个扇形的半径均为3，
∵两个扇形的圆心角之和为120°，半径都为3，
∴阴影部分面积和$S=\frac{nπr^2}{360}=\frac{120π×3^2}{360}=\frac{120π×9}{360}=3π$。
【答案】
$3π$
【知识点】
三角形内角和，扇形面积计算，线段中点的性质
【点评】
本题解题的核心是运用转化思想，将两个圆心角未知但圆心角之和可求、半径相等的扇形，合并为一个扇形计算面积，简化了计算过程，是组合图形面积计算的典型考法。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察阴影部分的构成：阴影是两个分别以B、C为圆心的扇形，要求面积和，可先确定两个扇形的半径和圆心角之和。首先由D是BC中点可得两个扇形的半径相等，均为BC长度的一半；再根据三角形内角和为180°，结合已知∠A的度数，可求出∠B与∠C的和，也就是两个扇形的圆心角之和。最后将两个扇形的面积转化为圆心角等于两角之和、半径为3的扇形面积计算即可。
【解析】
解：
∵在△ABC中，∠A=60°，
∴∠B + ∠C = 180° - ∠A = 180° - 60° = 120°，
∵D是BC的中点，BC=6，
∴BD = CD = $\frac{1}{2}$BC = 3，即两个扇形的半径均为3，
∵两个扇形的圆心角之和为120°，半径都为3，
∴阴影部分面积和$S=\frac{nπr^2}{360}=\frac{120π×3^2}{360}=\frac{120π×9}{360}=3π$。
【答案】
$3π$
【知识点】
三角形内角和，扇形面积计算，线段中点的性质
【点评】
本题解题的核心是运用转化思想，将两个圆心角未知但圆心角之和可求、半径相等的扇形，合并为一个扇形计算面积，简化了计算过程，是组合图形面积计算的典型考法。
【难度系数】
0.7
8. 如图，A，B，C是$\odot O$上的三点，$∠ CAO=25°$，$∠ BCO=35°$，$OC=3$.
（1）求$∠ AOB$的度数；
（2）求阴影部分的面积.
（1）求$∠ AOB$的度数；
（2）求阴影部分的面积.
答案
8. 解（1）在$\odot O$中，$OA=OC$，所以$∠ACO=∠CAO=25°$. 所以$∠ACB = ∠ACO + ∠BCO = 25° + 35° = 60°$. 所以$∠AOB = 2∠ACB=120°$.
（2）由（1）知$∠AOB=120°$. 所以阴影部分的面积$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ R^2}{360}=\frac{120π × 3^2}{360}=3π$.
（2）由（1）知$∠AOB=120°$. 所以阴影部分的面积$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ R^2}{360}=\frac{120π × 3^2}{360}=3π$.
解析
【分析】
（1）要求∠AOB的度数，观察可知∠AOB是弧AB所对的圆心角，根据圆周角定理，只需求出弧AB所对的圆周角∠ACB的度数即可。首先由OA、OC都是⊙O的半径，可得OA=OC，利用等腰三角形等边对等角的性质，结合已知∠CAO=25°可求出∠ACO的度数，再加上已知的∠BCO的度数即可得到∠ACB，最后根据圆周角定理计算∠AOB。
（2）阴影部分是圆心角为∠AOB的扇形，已知半径OC=3，即扇形半径为3，只需将第一问求出的圆心角度数代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
（1）
∵ OA、OC都是⊙O的半径，
∴ OA=OC，
∴ ∠ACO=∠CAO=25°，
∴ ∠ACB = ∠ACO + ∠BCO = 25° + 35° = 60°，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ ∠AOB = 2∠ACB = 2×60° = 120°。
（2）已知⊙O的半径$R=OC=3$，扇形AOB的圆心角$n=∠AOB=120°$，
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ R^2}{360}$，
代入得$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{120π × 3^2}{360}=3π$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{120°}$；（2）$\boldsymbol{3π}$
【知识点】
等腰三角形性质，圆周角定理，扇形面积计算
【点评】
本题是圆的基础应用题目，解题的关键是灵活运用半径相等得到等腰三角形，再结合圆周角定理求出圆心角，熟记扇形面积公式即可完成求解，整体难度不大。
【难度系数】
0.8
（1）要求∠AOB的度数，观察可知∠AOB是弧AB所对的圆心角，根据圆周角定理，只需求出弧AB所对的圆周角∠ACB的度数即可。首先由OA、OC都是⊙O的半径，可得OA=OC，利用等腰三角形等边对等角的性质，结合已知∠CAO=25°可求出∠ACO的度数，再加上已知的∠BCO的度数即可得到∠ACB，最后根据圆周角定理计算∠AOB。
（2）阴影部分是圆心角为∠AOB的扇形，已知半径OC=3，即扇形半径为3，只需将第一问求出的圆心角度数代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
（1）
∵ OA、OC都是⊙O的半径，
∴ OA=OC，
∴ ∠ACO=∠CAO=25°，
∴ ∠ACB = ∠ACO + ∠BCO = 25° + 35° = 60°，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ ∠AOB = 2∠ACB = 2×60° = 120°。
（2）已知⊙O的半径$R=OC=3$，扇形AOB的圆心角$n=∠AOB=120°$，
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ R^2}{360}$，
代入得$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{120π × 3^2}{360}=3π$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{120°}$；（2）$\boldsymbol{3π}$
【知识点】
等腰三角形性质，圆周角定理，扇形面积计算
【点评】
本题是圆的基础应用题目，解题的关键是灵活运用半径相等得到等腰三角形，再结合圆周角定理求出圆心角，熟记扇形面积公式即可完成求解，整体难度不大。
【难度系数】
0.8
