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12. (2024·山东威海)如图，在正六边形$ABCDEF$中，$AH// FG$，$BI⊥ AH$，垂足为$I$. 若$∠ EFG = 20°$，则$∠ ABI=$
$50°$
.答案
12. $50°$
13. 如图是互相垂直的两直线将四边形$ABCD$分成四个区域的情形. 若$∠ A = 100°$，$∠ B=∠ D = 85°$，$∠ C = 90°$，则$∠ 1$
$=$
$∠ 2$，$∠ 1$$＜$
$∠ 3$.(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)答案
13. $=$ $＜$ 解析：由题意，得$(180°-∠ 1)+∠ 2+90°+90°=360°$，所以$360°-∠ 1+∠ 2 = 360°$，即$∠ 1 = ∠ 2$。因为$(180°-∠ 2)+∠ 3+90°+85°=360°$，所以$∠ 3-∠ 2 = 5°$，所以$∠ 3 ＞ ∠ 2$，所以$∠ 1 ＜ ∠ 3$。
14. 在四边形$ABCD$中，$∠ A = 140°$，$∠ D = 80°$.
(1) 如图①，若$∠ B=∠ C$，求$∠ C$的度数；
(2) 如图②，若$∠ ABC$的平分线$BE$交$DC$于点$E$，且$BE// AD$，求$∠ C$的度数；
(3) 如图③，若$∠ ABC$和$∠ BCD$的平分线交于点$E$，求$∠ BEC$的度数.
(1) 如图①，若$∠ B=∠ C$，求$∠ C$的度数；
(2) 如图②，若$∠ ABC$的平分线$BE$交$DC$于点$E$，且$BE// AD$，求$∠ C$的度数；
(3) 如图③，若$∠ ABC$和$∠ BCD$的平分线交于点$E$，求$∠ BEC$的度数.
答案
14. （1）因为$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D = 360°$，$∠ B = ∠ C$，$∠ A = 140°$，$∠ D = 80°$，所以$∠ B = ∠ C = \frac{1}{2}(360°-∠ A-∠ D)=70°$。
（2）因为$BE// AD$，所以$∠ BEC = ∠ D = 80°$，$∠ ABE+∠ A = 180°$。因为$∠ A = 140°$，所以$∠ ABE = 180°-∠ A = 40°$。因为$BE$平分$∠ ABC$，所以$∠ CBE = ∠ ABE = 40°$，所以$∠ C = 180°-∠ CBE-∠ BEC = 60°$。
（3）因为$∠ A+∠ ABC+∠ BCD+∠ D = 360°$，$∠ A = 140°$，$∠ D = 80°$，所以$∠ ABC+∠ BCD = 360°-∠ A-∠ D = 140°$。因为$∠ ABC$和$∠ BCD$的平分线交于点$E$，所以$∠ CBE = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ BCE = \frac{1}{2}∠ BCD$，所以$∠ BEC = 180°-∠ CBE-∠ BCE = 180°-\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ BCD)=110°$。
（2）因为$BE// AD$，所以$∠ BEC = ∠ D = 80°$，$∠ ABE+∠ A = 180°$。因为$∠ A = 140°$，所以$∠ ABE = 180°-∠ A = 40°$。因为$BE$平分$∠ ABC$，所以$∠ CBE = ∠ ABE = 40°$，所以$∠ C = 180°-∠ CBE-∠ BEC = 60°$。
（3）因为$∠ A+∠ ABC+∠ BCD+∠ D = 360°$，$∠ A = 140°$，$∠ D = 80°$，所以$∠ ABC+∠ BCD = 360°-∠ A-∠ D = 140°$。因为$∠ ABC$和$∠ BCD$的平分线交于点$E$，所以$∠ CBE = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ BCE = \frac{1}{2}∠ BCD$，所以$∠ BEC = 180°-∠ CBE-∠ BCE = 180°-\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ BCD)=110°$。
15. (2025·江苏徐州期末)如图，$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F$的度数是(
A.$180°$
B.$360°$
C.$540°$
D.$720°$
B
)A.$180°$
B.$360°$
C.$540°$
D.$720°$
答案
15. B 解析：连接$BE$，设$BC$与$DE$交于点$O$。因为$∠ BOE = ∠ COD$，$∠ OBE+∠ OEB+∠ BOE = 180°$，$∠ COD+∠ C+∠ D = 180°$，所以$∠ OBE+∠ OEB = ∠ C+∠ D$，所以$∠ A+∠ ABO+∠ C+∠ D+∠ OEF+∠ F = ∠ A+∠ ABO+∠ OBE+∠ OEB+∠ OEF+∠ F = ∠ A+∠ ABE+∠ BEF+∠ F = 360°$。
16. 一机器人以$0.5m/s$的速度在平地上按如图所示的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为
96
$s$.答案
16. 96 解析：由题意，得该机器人所经过的路径是一个各边长都为$6\mathrm{ m}$的多边形，且多边形的边数为$360°÷45°=8$，则该机器人所走的路程为$6×8 = 48(\mathrm{m})$，所以该机器人从开始到停止所需时间为$48÷0.5 = 96(\mathrm{s})$。
17. 新趋势推导探究已知$△ ABC$的内角$∠ ACB$的平分线$CF$与外角$∠ CAE$的平分线$AD$的反向延长线交于点$F$.
(1) 如图①，若$∠ B = 90°$，则$∠ F=$
(2) 如图②，若$G$是线段$CB$延长线上的任意一动点，连接$AG$，$∠ AGB$与$∠ GAB$的平分线交于点$H$，则随着点$G$的运动，$∠ F+∠ H$的值是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值.
(1) 如图①，若$∠ B = 90°$，则$∠ F=$
$45°$
；若$∠ B=α$，则$∠ F=$$\frac{1}{2}α$
(结果用含$α$的代数式表示)；(2) 如图②，若$G$是线段$CB$延长线上的任意一动点，连接$AG$，$∠ AGB$与$∠ GAB$的平分线交于点$H$，则随着点$G$的运动，$∠ F+∠ H$的值是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值.
答案
17. （1）$45°$ $\frac{1}{2}α$ 解析：因为$AD$平分$∠ CAE$，$CF$平分$∠ ACB$，所以$∠ CAD = \frac{1}{2}∠ CAE$，$∠ ACF = \frac{1}{2}∠ ACB$。因为$∠ CAE+∠ CAB = 180°$，$∠ CAB+∠ B+∠ ACB = 180°$，所以$∠ CAE = ∠ B+∠ ACB$，所以$∠ B = ∠ CAE-∠ ACB$。因为$∠ CAD+∠ CAF = 180°$，$∠ CAF+∠ F+∠ ACF = 180°$，所以$∠ CAD = ∠ F+∠ ACF$，所以$∠ F = ∠ CAD-∠ ACF = \frac{1}{2}(∠ CAE-∠ ACB)=\frac{1}{2}∠ B$。当$∠ B = 90°$时，$∠ F = \frac{1}{2}×90°=45°$；当$∠ B = α$时，$∠ F = \frac{1}{2}α$。
（2）$∠ F+∠ H$的值不变。由（1），得$∠ F = \frac{1}{2}∠ ABC$。因为$∠ AGB$与$∠ GAB$的平分线交于点$H$，所以$∠ AGH = \frac{1}{2}∠ AGB$，$∠ GAH = \frac{1}{2}∠ GAB$，所以$∠ H = 180°-(∠ AGH+∠ GAH)=180°-\frac{1}{2}(∠ AGB+∠ GAB)=180°-\frac{1}{2}(180°-∠ ABG)=90°+\frac{1}{2}∠ ABG$，所以$∠ F+∠ H = \frac{1}{2}∠ ABC+90°+\frac{1}{2}∠ ABG = 90°+\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ABG)=90°+\frac{1}{2}×180°=180°$，所以$∠ F+∠ H$的值不变，为$180°$。
（2）$∠ F+∠ H$的值不变。由（1），得$∠ F = \frac{1}{2}∠ ABC$。因为$∠ AGB$与$∠ GAB$的平分线交于点$H$，所以$∠ AGH = \frac{1}{2}∠ AGB$，$∠ GAH = \frac{1}{2}∠ GAB$，所以$∠ H = 180°-(∠ AGH+∠ GAH)=180°-\frac{1}{2}(∠ AGB+∠ GAB)=180°-\frac{1}{2}(180°-∠ ABG)=90°+\frac{1}{2}∠ ABG$，所以$∠ F+∠ H = \frac{1}{2}∠ ABC+90°+\frac{1}{2}∠ ABG = 90°+\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ABG)=90°+\frac{1}{2}×180°=180°$，所以$∠ F+∠ H$的值不变，为$180°$。
