3. 如图，在平面直角坐标系中，矩形$ABCD$的顶点$A$，$B$在$x$轴的正半轴上，反比例函数$y=\frac{k}{x}(k ＞ 0,x ＞ 0)$的图象经过顶点$D$，分别与对角线$AC$，边$BC$交于点$E$，$F$，连接$EF$，$AF$. 若点$E$为$AC$的中点，$\triangle AEF$的面积为$1$，则$k$的值为()

A.$\frac{12}{5}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$2$
D.$3$

D

设A(a,0)，B(b,0)，D(a,d)，则C(b,d)。
∵D在y=k/x上，∴d=k/a，即k=ad。
E为AC中点，A(a,0)，C(b,d)，则E((a+b)/2,d/2)。
∵E在y=k/x上，∴d/2=k/[(a+b)/2]，即k=d(a+b)/4。
联立k=ad与k=d(a+b)/4，得ad=d(a+b)/4，化简得b=3a。
F在BC上，BC为x=b的直线，设F(b,f)，F在y=k/x上，∴f=k/b=ad/(3a)=d/3，即F(3a,d/3)。
A(a,0)，E(2a,d/2)，F(3a,d/3)，由坐标面积公式得：
S△AEF=|a(d/2 - d/3)+2a(d/3 - 0)+3a(0 - d/2)|/2=|ad/6 + 2ad/3 - 3ad/2|/2=| -2ad/3 |/2=ad/3=1。
∴ad=3，即k=ad=3。

4. 若实数$a$，$b$满足$\vert b - 1\vert+\sqrt{8 - 2a}=0$，且一元二次方程$kx^{2}+ax + b = 0$有两个不相等的实数根，则$k$的取值范围是.

$k＜4$且$k\neq 0$

因为$\vert b - 1\vert+\sqrt{8 - 2a}=0$，绝对值和算术平方根具有非负性，所以$b - 1 = 0$，$8 - 2a = 0$，解得$b = 1$，$a = 4$。一元二次方程$kx^{2}+4x + 1 = 0$有两个不相等的实数根，所以$k\neq 0$且判别式$\Delta = 4^{2}-4k×1＞0$，即$16 - 4k＞0$，解得$k＜4$。综上，$k$的取值范围是$k＜4$且$k\neq 0$。

5. 如图，已知$A$是反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上的一点，$AB⊥ x$轴于点$B$，且$\triangle ABO$的面积是$3$，则$k$的值是.

$6$

由题意，点 $A$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上的一点，$AB ⊥ x$ 轴于点 $B$。
设点 $A$ 的坐标为 $(x_1, y_1)$，则 $y_1 = \frac{k}{x_1}$。
$\triangle ABO$ 的面积为 $3$，即：
$S_{\triangle ABO} = \frac{1}{2} × OB × AB = \frac{1}{2} × x_1 × y_1 = 3$。
代入 $y_1 = \frac{k}{x_1}$，得：
$\frac{1}{2} × x_1 × \frac{k}{x_1} = 3$，
$\frac{1}{2} × k = 3$，
$k = 6$。
由于反比例函数图象位于第一象限，$k$应为正数，故 $k = 6$。

6. 如图，直线$y = kx + b$与反比例函数$y=\frac{k'}{x}(x ＜ 0)$的图象相交于点$A$和点$B$，与$x$轴交于点$C$. 其中点$A$的坐标为$(-2,4)$，点$B$的横坐标为$-4$.
（1）试确定反比例函数的表达式.

（2）求$\triangle AOC$的面积.

（1）设反比例函数的表达式为$y = \frac{k'}{x}(k' \neq 0)$，
将$A(-2,4)$代入$y = \frac{k'}{x}$，得：
$4 = \frac{k'}{-2}$，
解得：
$k' = -8$，
反比例函数的表达式为$y = - \frac{8}{x}$。
（2）点$B$的横坐标为$-4$，将$x=-4$代入$y = - \frac{8}{x}$得：
$y = - \frac{8}{-4}=2$，
即$B(-4,2)$，
设直线$AB$的解析式为$y = kx + b$，
将$A(-2,4)$，$B(-4,2)$代入得：
$\begin{cases}-2k+b=4,\\-4k+b=2.\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}k=1,\\b=6.\end{cases}$
直线$AB$的解析式为$y = x+6$，
令$y=0$，则$x+6=0$，
解得$x=-6$，
所以$C(-6,0)$，
$OC$为三角形$AOC$的底，根据三角形面积公式，$A$点纵坐标的绝对值为高，即：
$S_{\triangle AOC} = \frac{1}{2} × OC × |y_A|$
$ = \frac{1}{2} × 6 × 4$
$ = 12$
故$\triangle AOC$的面积为$12$。