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9. 如图,$△ABC$是等边三角形,$AB= 10$,D是BC边上任意一点,$DE⊥AB$于点E,$DF⊥AC$于点F,则$BE+CF$的长是 ()
A. 5
B. 6
C. 8
D. 10
A. 5
B. 6
C. 8
D. 10
答案
A 解析:设BD=x,则CD=10−x,∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°.∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠DEB=∠DFC=90°,∴∠EDB=∠FDC=30°,∴BE=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{x}{2}$,同理可得,CF=$\frac{10−x}{2}$,∴BE+CF=$\frac{x}{2}$+$\frac{10−x}{2}$=5.故选A.
10. (2024·德州期末)如图,$△ABC$是等边三角形,AD是BC边上的高,E是AC的中点,P是AD上的一个动点,当PC与PE的和最小时,$∠CPE$的度数是 ()
A. $60^{\circ }$
B. $50^{\circ }$
C. $45^{\circ }$
D. $30^{\circ }$
A. $60^{\circ }$
B. $50^{\circ }$
C. $45^{\circ }$
D. $30^{\circ }$
答案
A 解析:连接BE,与AD交于点P,此时PE+PC最小,∵△ABC是等边三角形,AD⊥BC,∴PC=PB,∴PE+PC=PB+PE≥BE,即BE就是PE+PC的最小值.∵∠BCE=60°,BA=BC,AE=EC,∴BE⊥AC,∴∠BEC=90°,∴∠EBC=30°.∵PB=PC,∴∠PCB=∠PBC=30°,∴∠CPE=∠PCB+∠PBC=30°+30°=60°.故选A.
11. 如图,$∠AOB= 60^{\circ },OA= OB$,动点C从点O出发,沿射线OB方向移动,以AC为边在右侧作等边$△ACD$,连接BD,则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是 ()
A. 平行
B. 相交
C. 垂直
D. 平行、相交或垂直
A. 平行
B. 相交
C. 垂直
D. 平行、相交或垂直
答案
A 解析:∵∠AOB=60°,OA=OB,∴△OAB是等边三角形,∴OA=AB,∠OAB=∠ABO=60°.
①当点C在线段OB上时,如图①,∵△ACD是等边三角形,∴AC=AD,∠CAD=60°,∴∠OAC=∠BAD.在△AOC和△ABD中,{AO=AB,∠OAC=∠BAD,AC=AD,∴△AOC≌△ABD.∴∠ABD=∠AOC=60°,∴∠DBE=180°−∠ABO−∠ABD=60°=∠AOB,∴BD//OA;
②当点C在OB的延长线上时,如图②,∵△ACD是等边三角形,∴AC=AD,∠CAD=60°,∴∠OAC=∠BAD.在△AOC和△ABD中,{AO=AB,∠OAC=∠BAD,AC=AD,∴△AOC≌△ABD,∴∠ABD=∠AOC=60°,∴∠DBE=180°−∠ABO−∠ABD=60°=∠AOB,∴BD//OA,故选A.
①当点C在线段OB上时,如图①,∵△ACD是等边三角形,∴AC=AD,∠CAD=60°,∴∠OAC=∠BAD.在△AOC和△ABD中,{AO=AB,∠OAC=∠BAD,AC=AD,∴△AOC≌△ABD.∴∠ABD=∠AOC=60°,∴∠DBE=180°−∠ABO−∠ABD=60°=∠AOB,∴BD//OA;
②当点C在OB的延长线上时,如图②,∵△ACD是等边三角形,∴AC=AD,∠CAD=60°,∴∠OAC=∠BAD.在△AOC和△ABD中,{AO=AB,∠OAC=∠BAD,AC=AD,∴△AOC≌△ABD,∴∠ABD=∠AOC=60°,∴∠DBE=180°−∠ABO−∠ABD=60°=∠AOB,∴BD//OA,故选A.
12. 如图,在$△ABC$中,$∠BAC= 120^{\circ }$,AD平分$∠BAC,DE// AB,AD= 3,CE= 5$,则AC的长为____.
答案
8 解析:∵∠BAC=120°,AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=60°.∵DE//AB,∴∠BAD=∠ADE=60°,∠DEC=∠BAC=120°,∴∠AED=60°,∴∠ADE=∠AED,∴△ADE是等边三角形,∴AE=AD=3,∴AC=AE+CE=3+5=8.
13. (2024·新疆中考)如图,在$Rt△ABC$中,$∠C= 90^{\circ },∠A= 30^{\circ },AB= 8$.若点D在直线AB上(不与点A,B重合),且$∠BCD= 30^{\circ }$,则AD的长为____.
答案
6或12 解析:∵∠C=90°,∠A=30°,AB=8,∴∠B=60°,BC=$\frac{1}{2}$AB=4.
如图①,当点D在线段AB上时,∵∠BCD=30°,∠B=60°,∴∠BDC=90°,∴BD=$\frac{1}{2}$BC=2,∴AD=AB−BD=6;
如图②,当点D在线段AB延长线上时,∵∠BCD=30°,∠ABC=60°,∴∠D=∠ABC−∠BCD=30°=∠BCD,∴BC=BD=4,∴AD=AB+BD=12;如图③,当点D在线段BA延长线上时,此时∠BCD＞∠ACB,即∠BCD＞90°,故不符合题意,舍去.综上所述,AD的长为6或12.
如图①,当点D在线段AB上时,∵∠BCD=30°,∠B=60°,∴∠BDC=90°,∴BD=$\frac{1}{2}$BC=2,∴AD=AB−BD=6;
如图②,当点D在线段AB延长线上时,∵∠BCD=30°,∠ABC=60°,∴∠D=∠ABC−∠BCD=30°=∠BCD,∴BC=BD=4,∴AD=AB+BD=12;如图③,当点D在线段BA延长线上时,此时∠BCD＞∠ACB,即∠BCD＞90°,故不符合题意,舍去.综上所述,AD的长为6或12.
14. 改编题 如图,在四边形ABCD中,$AB= AD,BC= DC,∠A= 60^{\circ }$,点E为AD边上一点,连接BD,CE,CE与BD交于点F,且$CE// AB$,若$AB= 8,CE= 6$,则CF的长为____.
答案
4 解析:连接AC交BD于点O.∵AB=AD,BC=DC,∠BAD=60°,∴AC垂直平分BD,△ABD是等边三角形,∴∠BAO=∠DAO=30°,AB=AD=BD=8,BO=OD=4.∵CE//AB,∴∠BAO=∠ACE=30°,∠CED=∠BAD=60°,∴∠DAO=∠ACE=30°,∴AE=CE=6,∴DE=AD−AE=2.∵∠CED=∠ADB=60°,∴△EDF是等边三角形,∴DE=EF=DF=2,∴CF=CE−EF=4.
15. (2025·枣庄校级月考)如图,在等边三角形ABC中,M为AB边上任意一点,延长BC至点N,使$CN= AM$,连接MN交AC于点P,$MH⊥AC$于点H.
(1)求证:$MP= NP;$
(2)若$AB= a$,求线段PH的长.(结果用含a的代数式表示)
(1)求证:$MP= NP;$
(2)若$AB= a$,求线段PH的长.(结果用含a的代数式表示)
答案
(1)如图,过点M作MQ//BC,交AC于点Q,在等边△ABC中,∠A=∠B=∠ACB=60°.∵MQ//BC,∴∠AMQ=∠B=60°,∠AQM=∠ACB=60°,∠QMP=∠N,∴△AMQ是等边三角形,∴AM=QM.
∵AM=CN,∴QM=CN.在△QMP和△CNP中,{∠QPM=∠CPN,∠QMP=∠N,QM=CN,∴△QMP≌△CNP(AAS),∴MP=NP.
(2)∵△AMQ是等边三角形,且MH⊥AC,∴AH=HQ,∵△QMP≌△CNP,∴QP=CP,∴PH=HQ+QP=$\frac{1}{2}$AC.∵AB=α,AB=AC,∴PH=$\frac{1}{2}$a.
∵AM=CN,∴QM=CN.在△QMP和△CNP中,{∠QPM=∠CPN,∠QMP=∠N,QM=CN,∴△QMP≌△CNP(AAS),∴MP=NP.
(2)∵△AMQ是等边三角形,且MH⊥AC,∴AH=HQ,∵△QMP≌△CNP,∴QP=CP,∴PH=HQ+QP=$\frac{1}{2}$AC.∵AB=α,AB=AC,∴PH=$\frac{1}{2}$a.
16. 如图,在$Rt△ACB$中,$∠ACB= 90^{\circ },∠A= 30^{\circ },∠ABC$的平分线BE交AC于点E,点D为AB上一点,且$AD= AC$,CD,BE交于点M.
(1)求$∠DMB$的度数;
(2)若$CE= 1$,求AD的长度;
(3)若$CH⊥BE$于点H,证明:$AB= 4MH$.
(1)求$∠DMB$的度数;
(2)若$CE= 1$,求AD的长度;
(3)若$CH⊥BE$于点H,证明:$AB= 4MH$.
答案
(1)∵∠A=30°,AD=AC,∴∠ADC=∠ACD=$\frac{1}{2}$×(180°−30°)=75°.又∵∠ACB=90°,∴∠ABC=60°.∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=30°,∴∠DMB=∠ADC−∠ABE=75°−30°=45°.
(2)∵∠ABE=∠CBE=30°,∴BE=2CE=2.∵∠ABE=∠A=30°,∴AE=BE=2,∴AC=3,∴AD=AC=3.
(3)∵CH⊥BE,∴∠CHB=90°.∵∠HMC=∠DMB=45°,∴∠HCM=∠HMC=45°,∴HM=HC.∵∠CHB=90°,∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°,∴HC=HM=$\frac{1}{2}$BC.∵∠A=30°,∠ACB=90°,∴BC=$\frac{1}{2}$AB,∴AB=2BC=4MH.
(2)∵∠ABE=∠CBE=30°,∴BE=2CE=2.∵∠ABE=∠A=30°,∴AE=BE=2,∴AC=3,∴AD=AC=3.
(3)∵CH⊥BE,∴∠CHB=90°.∵∠HMC=∠DMB=45°,∴∠HCM=∠HMC=45°,∴HM=HC.∵∠CHB=90°,∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°,∴HC=HM=$\frac{1}{2}$BC.∵∠A=30°,∠ACB=90°,∴BC=$\frac{1}{2}$AB,∴AB=2BC=4MH.
