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8. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°. 在边 BC 上有一点 P,连接 AP,且 PA = PB,若 AC = 2,CB = 5,求 PA 的长.
答案
设 $ PA = PB = x $。
因为 $ CB = 5 $，所以 $ PC = CB - PB = 5 - x $。
在 $ Rt\triangle ACP $ 中，$ \angle C = 90° $，$ AC = 2 $，$ PC = 5 - x $，$ PA = x $。
由勾股定理得：$ AC^2 + PC^2 = PA^2 $
即 $ 2^2 + (5 - x)^2 = x^2 $
展开得：$ 4 + 25 - 10x + x^2 = x^2 $
化简得：$ 29 - 10x = 0 $
解得：$ x = 2.9 $
所以 $ PA = 2.9 $（或$\frac{29}{10}$）
因为 $ CB = 5 $，所以 $ PC = CB - PB = 5 - x $。
在 $ Rt\triangle ACP $ 中，$ \angle C = 90° $，$ AC = 2 $，$ PC = 5 - x $，$ PA = x $。
由勾股定理得：$ AC^2 + PC^2 = PA^2 $
即 $ 2^2 + (5 - x)^2 = x^2 $
展开得：$ 4 + 25 - 10x + x^2 = x^2 $
化简得：$ 29 - 10x = 0 $
解得：$ x = 2.9 $
所以 $ PA = 2.9 $（或$\frac{29}{10}$）
9. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,AC = 3,BC = 5,分别以点 A,B 为圆心,大于 $\frac{1}{2}AB$ 的长为半径画弧,两弧交于点 P,Q,作直线 PQ 交 BC 于点 D,求 CD 的长.
答案
∵PQ是AB的垂直平分线，∴AD=BD。
设CD=x，则BD=BC-CD=5-x，∴AD=5-x。
在Rt△ACD中，∠C=90°，AC=3，
由勾股定理得：AC²+CD²=AD²，
即3²+x²=(5-x)²，
9+x²=25-10x+x²，
9=25-10x，
10x=16，
x=8/5。
∴CD=8/5。
设CD=x，则BD=BC-CD=5-x，∴AD=5-x。
在Rt△ACD中，∠C=90°，AC=3，
由勾股定理得：AC²+CD²=AD²，
即3²+x²=(5-x)²，
9+x²=25-10x+x²，
9=25-10x，
10x=16，
x=8/5。
∴CD=8/5。
10. 如图,Rt△ABC 的两条直角边的长分别为 6 和 8,若以△ABC 三边的长为直径作半圆,则阴影部分的面积为
24
.答案
24
解析
在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∠C=90°，由勾股定理得AB=√(6²+8²)=10。
以AC为直径的半圆面积S₁=(1/2)π(6/2)²=(9/2)π；
以BC为直径的半圆面积S₂=(1/2)π(8/2)²=8π；
以AB为直径的半圆面积S₃=(1/2)π(10/2)²=(25/2)π。
∵S₁+S₂=(9/2)π+8π=(25/2)π=S₃，
∴阴影部分面积=S₁+S₂+S△ABC - S₃=S△ABC。
S△ABC=(6×8)/2=24，故阴影部分面积为24。
以AC为直径的半圆面积S₁=(1/2)π(6/2)²=(9/2)π；
以BC为直径的半圆面积S₂=(1/2)π(8/2)²=8π；
以AB为直径的半圆面积S₃=(1/2)π(10/2)²=(25/2)π。
∵S₁+S₂=(9/2)π+8π=(25/2)π=S₃，
∴阴影部分面积=S₁+S₂+S△ABC - S₃=S△ABC。
S△ABC=(6×8)/2=24，故阴影部分面积为24。
11. 我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”,证明了勾股定理,后人称该图为“赵爽弦图”. 如图,“赵爽弦图”是用 4 个全等的直角三角形与 1 个小正方形镶嵌而成的正方形图案. 如果该大正方形面积为 49,小正方形面积为 4,用 x,y 表示直角三角形的两直角边 (x ＞ y),下列四个推断:① $x^{2}+y^{2}= 49$;② x - y = 2;③ $2xy + 4 = 49$;④ x + y = 7,其中正确的有
①②③
.(填序号)答案
①②③
解析
1. 根据勾股定理，直角三角形的斜边平方等于两直角边平方和。大正方形面积为49，则斜边长为$\sqrt{49}=7$，所以$x^2 + y^2 = 7^2 = 49$，①正确。
2. 小正方形面积为4，边长为$\sqrt4=2$。由图可知，小正方形边长等于直角三角形两直角边之差，即$x - y = 2$，②正确。
3. 大正方形面积等于4个直角三角形面积与小正方形面积之和。直角三角形面积为$\frac{1}{2}xy$，4个直角三角形面积为$4 × \frac{1}{2}xy = 2xy$，所以$2xy + 4 = 49$，③正确。
4. 由$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，已知$x^2 + y^2 = 49$，$2xy = 45$，则$(x + y)^2 = 49 + 45 = 94$，$x + y = \sqrt{94} \neq 7$，④错误。
2. 小正方形面积为4，边长为$\sqrt4=2$。由图可知，小正方形边长等于直角三角形两直角边之差，即$x - y = 2$，②正确。
3. 大正方形面积等于4个直角三角形面积与小正方形面积之和。直角三角形面积为$\frac{1}{2}xy$，4个直角三角形面积为$4 × \frac{1}{2}xy = 2xy$，所以$2xy + 4 = 49$，③正确。
4. 由$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，已知$x^2 + y^2 = 49$，$2xy = 45$，则$(x + y)^2 = 49 + 45 = 94$，$x + y = \sqrt{94} \neq 7$，④错误。
12. 对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形,现有如图所示的“垂美”四边形 ABCD,对角线 AC,BD 交于点 O.
(1) 若 AO = 2,BO = 3,CO = 4,DO = 5,请求出 $AB^{2},BC^{2},CD^{2},DA^{2}$ 的值;
(2) 若 AB = 6,CD = 10,求 $BC^{2}+AD^{2}$ 的值;
(3) 请根据(1)(2)中的信息,写出关于“垂美”四边形的边的一条结论.
(1) 若 AO = 2,BO = 3,CO = 4,DO = 5,请求出 $AB^{2},BC^{2},CD^{2},DA^{2}$ 的值;
(2) 若 AB = 6,CD = 10,求 $BC^{2}+AD^{2}$ 的值;
(3) 请根据(1)(2)中的信息,写出关于“垂美”四边形的边的一条结论.
答案
(1)
因为$AC\perp BD$，根据勾股定理，在$Rt\triangle AOB$中，$AB^{2}=AO^{2}+BO^{2}$，已知$AO = 2$，$BO = 3$，则$AB^{2}=2^{2}+3^{2}=4 + 9=13$；
在$Rt\triangle BOC$中，$BC^{2}=BO^{2}+CO^{2}$，已知$BO = 3$，$CO = 4$，则$BC^{2}=3^{2}+4^{2}=9 + 16=25$；
在$Rt\triangle COD$中，$CD^{2}=CO^{2}+DO^{2}$，已知$CO = 4$，$DO = 5$，则$CD^{2}=4^{2}+5^{2}=16 + 25=41$；
在$Rt\triangle AOD$中，$DA^{2}=DO^{2}+AO^{2}$，已知$DO = 5$，$AO = 2$，则$DA^{2}=5^{2}+2^{2}=25 + 4=29$。
(2)
因为$AC\perp BD$，根据勾股定理，在$Rt\triangle AOB$中，$AB^{2}=AO^{2}+BO^{2}$；在$Rt\triangle BOC$中，$BC^{2}=BO^{2}+CO^{2}$；在$Rt\triangle COD$中，$CD^{2}=CO^{2}+DO^{2}$；在$Rt\triangle AOD$中，$DA^{2}=DO^{2}+AO^{2}$。
所以$BC^{2}+AD^{2}=BO^{2}+CO^{2}+DO^{2}+AO^{2}$，$AB^{2}+CD^{2}=AO^{2}+BO^{2}+CO^{2}+DO^{2}$。
则$BC^{2}+AD^{2}=AB^{2}+CD^{2}$，已知$AB = 6$，$CD = 10$，所以$BC^{2}+AD^{2}=6^{2}+10^{2}=36 + 100=136$。
(3)
“垂美”四边形两组对边的平方和相等。
因为$AC\perp BD$，根据勾股定理，在$Rt\triangle AOB$中，$AB^{2}=AO^{2}+BO^{2}$，已知$AO = 2$，$BO = 3$，则$AB^{2}=2^{2}+3^{2}=4 + 9=13$；
在$Rt\triangle BOC$中，$BC^{2}=BO^{2}+CO^{2}$，已知$BO = 3$，$CO = 4$，则$BC^{2}=3^{2}+4^{2}=9 + 16=25$；
在$Rt\triangle COD$中，$CD^{2}=CO^{2}+DO^{2}$，已知$CO = 4$，$DO = 5$，则$CD^{2}=4^{2}+5^{2}=16 + 25=41$；
在$Rt\triangle AOD$中，$DA^{2}=DO^{2}+AO^{2}$，已知$DO = 5$，$AO = 2$，则$DA^{2}=5^{2}+2^{2}=25 + 4=29$。
(2)
因为$AC\perp BD$，根据勾股定理，在$Rt\triangle AOB$中，$AB^{2}=AO^{2}+BO^{2}$；在$Rt\triangle BOC$中，$BC^{2}=BO^{2}+CO^{2}$；在$Rt\triangle COD$中，$CD^{2}=CO^{2}+DO^{2}$；在$Rt\triangle AOD$中，$DA^{2}=DO^{2}+AO^{2}$。
所以$BC^{2}+AD^{2}=BO^{2}+CO^{2}+DO^{2}+AO^{2}$，$AB^{2}+CD^{2}=AO^{2}+BO^{2}+CO^{2}+DO^{2}$。
则$BC^{2}+AD^{2}=AB^{2}+CD^{2}$，已知$AB = 6$，$CD = 10$，所以$BC^{2}+AD^{2}=6^{2}+10^{2}=36 + 100=136$。
(3)
“垂美”四边形两组对边的平方和相等。
